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高斯白噪声

天蚕宝衣
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发布于 2017/04/16 21:14
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1. 概念

本文科普一下高斯白噪声(white Gaussian noise, WGN)。

百度百科上解释为“高斯白噪声,幅度分布服从高斯分布,功率谱密度分布服从均匀分布”,听起来有些晦涩难懂,下面结合例子通俗而详细地介绍一下。

白噪声,如同白光一样,是所有颜色的光叠加而成,不同颜色的光本质区别是它们的频率各不相同(如红色光波长长而频率低,相应的,紫色光波长短而频率高)。白噪声在功率谱上(若以频率为横轴,信号幅度的平方为功率)趋近为常值,即噪声频率丰富,在整个频谱上都有成分,即从低频到高频,低频指的是信号不变或缓慢变化,高频指的是信号突变。

由傅里叶变换性质可知,时域有限,频域无限;频域有限,时域无限。那么频域无限的信号变换到时域上,对应于冲击函数的整数倍(由公式也可推得)。即说明在时间轴的某点上,噪声孤立,与其它点的噪声无关,也就是说,该点噪声幅值可以任意,不受前后点噪声幅值影响。简而言之,任意时刻出现的噪声幅值都是随机的(这句话实际上说的就是功率谱密度分布服从均与分布的意思,不同的是,前者从时域角度描述,而后者是从频域角度描述)。这里要指出功率谱密度(Power Spectral Density, PSD的概念,它从频域角度出发,定义了信号的功率是如何随频率分布的,即以频率为横轴,功率为纵轴

既然白噪声信号是“随机”的,那么反过来,什么叫做“相关”呢?顾名思义,相关就是某一时刻的噪声点不孤立,和其它时刻的噪声幅值有关。其实相关的情况有很多种,比如此时刻的噪声幅值比上一时刻的大,而下一时刻的噪声幅值比此时刻的还大,即信号的幅值在时间轴上按从小到大的顺序排列。除此之外,幅值从大到小,或幅值一大一小等都叫做“相关”,而非“随机”的。

解释完了“白噪声”,再来谈谈“高斯分布”。高斯分布,又名正态分布(normal distribution)。概率密度函数曲线的形状由两个参数决定:平均值和方差。简单来说,平均值决定曲线对称中线,方差决定曲线的胖瘦,即贴近中线的程度。概率密度定义了信号出现的频率是如何随着其幅值变化的,即以信号幅值为横轴,以出现的频率为纵轴。因此,从概率密度角度来说,高斯白噪声的幅度分布服从高斯分布。

描述了“白噪声”和“高斯噪声”两个含义,那么,回到文章开头的解释:高斯白噪声,幅度分布服从高斯分布,功率谱密度分布服从均匀分布。它的意义就很明确了,上半句是从空域(幅值)角度描述“高斯噪声”,而下半句是从频域角度描述“白噪声”。

2. 举例

下面以matlab程序演示,感性认识一下高斯白噪声。

2.1. 程序1(高斯白噪声)

由上图可以看出,高斯白噪声的功率谱密度服从均匀分布

若对噪声进行由小到大排序,则使其从随机噪声变为相关噪声,则功率谱密度就不再是均匀分布了。

2.2. 程序2(非高斯白噪声)

下面让我们从高斯白噪声的统计信息和幅值分布看一下它的特点。

2.3. 程序3(高斯白噪声)

高斯白噪声的标准差(standard deviation)可以改变。

直方图的纵轴为频次,而概率密度的纵轴为频率,但是两者大致的分布曲线却是一样的,因此,这幅图解释了高斯白噪声的幅度分布服从高斯分布

阅读延伸:

正态分布的函数(又称密度函数)为:

                               (1)

式中π是圆周率3.14159...

e是自然对数的底2.71828…

x为随机变量取值一∞<x<∞

μ为理论的平均数

σ2为理论的方差

y为概率密度即正态分布上的纵坐标。

依上面的公式,当x=μ时,上式可写作:

y=

当σ=1时,=0.3989在中央点的y最高,即y的最大值为0.3989。

正态分布的图形见下图1。

图1 正态分布的图形

正态曲线下的面积为1,由于它在平均数处左右对称,故过平均数点的垂线将正态曲线下的面积划分为相等的两部分,即,各为0.50。正态曲线下各对应的横坐标(即标准差)处与平均数之间的面积可用积分公式加以计算:

                      (5—3)

式中σ为标准差,,Z的大小随变量X的值而变。因正态曲线下每一横坐标所对应的面积与总面积(总面积为1)之比其值等于该部分面积值,故正态曲线下的每一面积可视为概率,即值为每一横坐标值(灭加减一定标准差)的随机变量出现的概率。

(五)正态分布是一族分布。它随随机变量的平均数,标准差的大小与单位不同而有不同的分布形态。如果平均数相同,标准差不同,这时标准差大的正态分布曲线形式低阔,如果标准差小,则正态曲线的形式高狭。

但所有的正态分布都可通过(或)容易地转换成标准正态分布。根据Z分数的性质(见第三章)亩知,标准正态分布的μ=0,σ2 =1。标准正态分布通常写作N(0,1)正态分布。从正态分布的密度函数可知,正态分布的两个重要的参数是:平均数和标准差。而标准正态分布这两个参数分别为0与1。

标准正态分布的密度函数可写作:

由此其密度函数及面积(或概率)的计算可大大简化。目前各种统计书后面都列有标准正态分布的统计表,它可应用于一切正态分布形式、使用简便,已不再需要每次去进行繁复的计算了。

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