频谱
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天蚕宝衣 发表于9个月前
频谱
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频谱是指一个时域的信号在频域下的表示方式,可以针对信号进行傅里叶变换而得,所得的结果会是以分别以幅度及相位为纵轴,频率为横轴的两张图,不过有时也会省略相位的信息,只有不同频率下对应幅度的资料。有时也以“幅度频谱”表示幅度随频率变化的情形,“相位频谱”表示相位随频率变化的情形。

简单来说,频谱可以表示一个信号是由哪些频率的弦波所组成,也可以看出各频率弦波的大小及相位等信息。 

图1

1. 简介

信号若随着时间变化,且可以用幅度来表示,都有其对应的频谱。包括可见光(颜色)、音乐无线电波振动等都有这样的性质。当这些物理现象用频谱表示时,可以提供一些此信号产生原因的相关信息。例如针对一个仪器的振动,可以借由其振动信号频谱的频率成分,推测振动是由哪些元件所造成。

2. 一些信号的频谱

2.1. 可见光

图2 在可见光部分的发射光谱

光源由不同的颜色所组成,各颜色的光有不同的频率,所占的比例可能也有不同。三棱镜透过折射的方式,将不同频率的光折射到不同的位置,因此可以看到不同颜色的光。同样的,也可以将一般光源用三棱镜处理,投映(投影映射)出连续的或不连续的彩色光带。光带的颜色表示其频率,而明暗可表示其比例的多寡,这就是光的频谱,一般称为光谱。若所有频率的颜色含量都一様,其合成的颜色会是白色,而其幅度对应频率的频谱会是一条水平线。因此一般会将频谱为水平线的信号以“白色”来称呼。

2.2. 声音

音源也可以由许多不同频率的声音组成。不同频率会刺激耳朵中对应的接收器。若主要的刺激只有一个频率,我们就可以听到其音高,音源的音色会由声音频号的频谱中,其他频率的部分来决定,也就是所谓泛音。一般会称为“噪音”的声音,其中会包括许多不同频率。若声音的频谱是一条水平线,则称为白噪声或白噪音,此词也可常用在其他型式的信号及频谱。

2.3. 广播及通信

在广播及通信的领域中,频谱会由许多不同的信号来源共享。每个广播电台及电视台所传送信号的频率均需在各自指定的范围内,称为“信道”。当许多广播同时发送信号时,各个信道上有各自独立的信息,广播的频谱即为所有个别信道信号的总和,分布在很广的频率范围内。任何一个广播接收器只能接收到单一的电压对时间信号,因此会使用LC电路来选择单一的信道频率范围,然后将接收到的信息解调制,得到需要的信息。若将接收器各频率下信号的强弱对应频率绘图,所得的就是其接收信号的频谱。

3. 频谱分析

图3 一个三角波在时域(上图)及频域(下图)的图形。三角波的基频为220Hz。

图4

图5

频谱分析是一种将复噪声号分解为较简单信号的技术。许多物理信号均可以表示为许多不同频率简单信号的和。找出一个信号在不同频率下的信息(可能是幅度、功率、强度或相位等)的作法就是频谱分析。

频谱分析可以对整个信号进行。不过有时也会将信号分割成几段,再针对各段的信号进行频谱分析。周期函数(例如sint)最适合只考虑一个周期的信号来进行频谱分析。傅里叶分析中有许多分析非周期函数时需要的数学工具。

一个函数的傅里叶变换包括了原始信号中的所有信息,只是表示的形式不同。因此可以用反傅里叶变换重组原始的信号。若要完整的重组原始信号,需要有每个频率下的幅度及其相位,这些信息可以用二维向量、复数、或是极座标下的大小及角度来表示。在信号处理中常常考虑幅度的平方,也就是功率,所得的就是功率谱密度

3.1. 离散傅里叶变换

实际上,大部分的仪器及软件都用快速傅里叶变换来产生频谱的信号。快速傅里叶变换是一种针对采样信号计算离散傅里叶变换的数学工具,可以近似傅里叶变换的结果。至于为什么要用离散傅里叶变化这个数学工具来处理采样信号呢,因为傅里叶变换的定义是关于积分的,傅里叶变换的定义中的f(t)是一个连续函数,而在实际应用中,信号虽然是连续的,但我们只能进行离散地采样。如果我们使用傅里叶变换,就必须有一个连续的函数,否则没法使用傅里叶变换。所以,离散版本的傅里叶变换就应运而生。离散版本的傅里叶变换专门用来处理原始输入不是连续函数,而是采样得到的离散序列的情况。

随机性信号(或噪声的傅里叶变换也是随机性的。需要利用一些取平均值的方式来得到其频率分布(frequency distribution)。一般来说会将资料依一定的时间分段,将各段资料进行傅里叶变换,再将变换后的幅度或幅度平方(幅度平方较常用)平均,以得到傅里叶变换的平均值。在处理取样的时域资料时,常用上述的作法,配合离散傅里叶变换来处理,这种处理方式称为Welch法(Welch's method)。若所得的频谱是平的,此信号会视为“白噪声”,不过许多信号在时域下看似噪声,却可以借由这样的处理方式得到一些频域的信息。

3.1.1. 离散余弦变换

离散余弦变换(Discrete Cosine Fourier transform)是离散版本的余弦傅里叶变换。至于为什么要使用余弦变换而不是使用正弦变换,最主要的原因是余弦函数是偶函数,有沿着坐标轴对称的性质,在离散版本中,我们只需要用一半的空间去存储,另一半的信息可以通过计算得到,没有必要存储。

这就涉及到离散余弦变换(DCT)的最主要的一个应用:压缩。一串采样后信号(声音1D,图像2D)经过DCT处理后,变成了其频域信息,利用偶函数特点,只需要存储一半的信息;再利用频率叠加的特性,删去后面几个表示频率的系数(节约空间),再做逆变换,对人眼、人耳来说,不容易察觉(这些丢失的高频信号)。

3.1.2. 沃尔什变换

3.1.3. 小波变换

4. 音乐的声学特性

音乐的频谱是决定音色的要素之一,是指不同频率的谐波及泛音相对于基频(也就是音高)的强度。但实际上用得更多的是时频谱。时频谱不但能将讯号分解,还能显示出各信号成分随时间的变化情况。频谱分析仪(也叫做信号分析仪)可以将输入的音乐信号变换为其组成频率的图像,并显示出这些组分随时间如何起伏变化。

图6 频谱分析仪(即信号分析仪)

这种图像称为声学时频谱。以软件为主的声音频谱分析仪只需很低的价格即可购得,一般而言也可达到令人满意的结果。由频谱分析仪产生的频谱图可以提供音乐的声波标记图(acoustic signature)。频谱图可以看出其基频及泛音,也可以用用来分析乐器的起音、衰减、延音及释音(即ADSR),应用在音乐合成上。

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