数据结构---->数组
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小强斋太 发表于1年前
数据结构---->数组
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数组(Arrays)

一、数组

1.1数组的定义

数组: 由一组名字相同、下标不同的n(n≥1)个相同数据类型的数据元素a0,a1,a2,...,an-1构成的占用一块地址连续的内存单元的有限集合

数组的处理比其它复杂的结构要简单

① 数组中各元素具有统一的类型;

② 数组元素的下标一般具有固定的上界和下界,即数组一旦被定义,它的维数和维界就不再改变。

③数组的基本操作比较简单,除了结构的初始化和销毁之外,只有存取元素和修改元素值的操作。

高级语言中的数组是顺序结构;此处的数组既可以是顺序的,也可以是链式结构。

1.2数组的顺序存储表示和实现

问题:计算机的存储结构是一维的,而数组一般是多维的,怎样存放?

解决办法:事先约定按某种次序将数组元素排成一列序列,然后将这个线性序列存入存储器中。

行优先顺序:存储时先按行从小到大的顺序存储,在每一行中按列号从小到大存储。

列优先顺序:存储时先按列从小到大的顺序存储,在每一列中按行号从小到大存储。

若规定好了次序,则数组中任意一个元素的存放地址便有规律可寻,可形成地址计算公式;约定的次序不同,则计算元素地址的公式也有所不同

无论规定行优先或列优先,只要知道以下三要素便可随时求出任一元素的地址

①  始结点的存放地址(即基地址)

②  维数和每维的上、下界;

③  每个数组元素所占用的单元数 

假如:每个元素占有c个存储单元

一维数组:                                   

loc(ai)=loc(a1)+(i-1)*c

m*n的二维数组(共有m行,每行有n列)

loc(aij)=loc(a11)+[(i-1)*n+j-1]*c

三维数组R[p][m][n]:

LOC(i,j,k)= LOC(0,0,0) +(i*m*n +j*n+k) *c

N维数组的顺序存储表示

#define MAX_ARRAY_DIM   8   //假设最大维数为8
 typedef struct{
      ELemType *base;       //数组元素基址
      int            dim;             //数组维数
      int          *bound;        //数组各维长度信息保存区基址
      int         *constants;   //数组映像函数常量的基址
   }Array;

二、矩阵的存储(二维数组)

2.1矩阵的存储

由于矩阵是由m行n列组成,逻辑上与二维数组相同,故通常用二维数组来做矩阵的存储结构。

矩阵的运算:

1、矩阵相加  2、矩阵相间 3、矩阵相乘 4、矩阵转置5、矩阵求逆6、写数据7、读数据

2.2矩阵的传统

2.3矩阵乘法:

C=AB即

算法描述:

 1、判断矩阵B的行、列是否等于A的列、行数

 2、创建A的行数B的列数的矩阵C

 3、计算C的元素值

for(int  i=0;i<m;i++)

     for(int j=0;j<n;j++)

         for(int k=0;k<n;k++)

              c[i][j]+=a[i][k]*b[k][j];

 

三、矩阵的压缩存储

特殊矩阵是指其中有许多值相同的元素或有许多零元素,且值相同的元素或零元素的分布有一定规律例如: 对称矩阵,三角矩阵,对角矩阵(所有非主对角线元素全等于零的n阶矩阵,称为对角矩阵或称为对角方阵。)

如果在矩阵中有许多值相同的元素或者是零元素。为了节省存储空间,可以对这类矩阵进行压缩存储。所谓压缩存储是指:为多个值相同的元只分配一个存储空间;对零元不分配空间。

稀疏矩阵压缩存储的缺点:将失去随机存取功能  

以三角矩阵为例

空间分配:对角线及对角线上(或下)的每一元素分配一个存储空间,对角线下(或上)的重复元素分配一个存储空间。

占存储空间数:n*(n+1)/2 +1。

假设以一维数组sa[n(n+1)/2]作为n阶对称A的存储结构

 若a ij存储到Sa[k]中,则k与i,j 对应关系为:

 

四、稀疏矩阵

稀疏矩阵:假设 m行n列的矩阵含t个非零元素,则称t/(m*n)为稀疏因子。通常认为 d £0.05的矩阵为稀疏矩阵且零值元素分布是随机的。

4.1稀疏矩阵的存储

4.1.1三元组表法

以下面的矩阵为例

三元组表线性表示

实现方法:将每个非零元素用一个三元组(i,j,aij)来表示,则每个稀疏矩阵可用一个三元组表来表示。如(( 1,2,12) ,(1,3,9), (3,1,-3), (3,5,14),(4,3,24), (5,2,18),(6,1,15), (6,4,-7))

三元组表矩阵表示

三元组矩阵表示(通常再加一行“总体”信息:即总行数、总列数、非零元素总个数)

  

带辅助向量的三元组表示

在三元组矩阵表示的基础上增加2个辅助向量:

①  记录每行非0元素个数,用NUM(i)表示;

②  记录稀疏矩阵中每行第一个非0元素在三元组中的行号,用POS(i)表示。

 

一个结点的结构定义

public  class Triple
{
     private int  i;      //行号
     private int   j;     //列号
     private double  value;  //数值
}

整个三元组表的定义

public class TSMatrix {

    privatefinalintMAXSIZE = 1000; // 数组的默认大小  

    privateintmu; // 行数

    privateintnu; // 列数

    privateinttu; // 矩阵中非零元素总个数

    Triple[] data;// 三元组表,以行为主序存入一维向量 data[ ]中

}


4.1.2十字链表

①   每行非零元素链接成带表头结点的链表;

②   每列非零元素也链接成带表头结点的链表。

则每个非零元素既是行循环链表中的一个结点;又是列循环链表中的一个结点,即呈十字链状。

4.2、稀疏矩阵的转置运算

若采用三元组压缩技术存储稀疏矩阵,只要把每个元素的行下标和列下标互换,就完成了对该矩阵的转置运算,这种说法正确吗?

除了:  (1)每个元素的行下标和列下标互换(即三元组中的i和j互换);

还应该: (2)转置后矩阵T的总行数和总列数与转置前矩阵M值不同(互换);

        (3)重排三元组内元素顺序,使转置后的三元组也按行(或列)为主序有规律的排列

难点在(3)有以下两种实现方法

4.2.1压缩转置

思想:反复扫描a.data中的列序,从小到大依次进行转置。

算法描述:

4.2.2(压缩)快速转置

思路:依次把a.data中的元素直接送入b.data的恰当位置上(即M三元组的p指针不回溯)。

关键:怎样寻找b.data的“恰当”位置?

设计思路:

如果能预知M矩阵每一列(即T的每一行)的非零元素个数,又能预知第一个非零元素在b.data中的位置,则扫描a.data时便可以将每个元素准确定位。

 

技巧:类比带辅助向量的三元组表,它正好携带每行(或列)的非零元素个数NUM(i)以及每行(或列)的第一个非零元素在三元组表中的位置POS(i)等信息。不过我们需要的是按列生成的M矩阵的辅助向量。

按列生成的M矩阵的辅助向量

 

快速转置算法描述

 

效率比较:mu行数 nu:列数tu:矩阵中非零元素总个数

传统转置:O(mu*nu)   

压缩转置:O(mu*tu)

压缩快速转置:O(nu+tu)——牺牲空间效率换时间效率。

 

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小强斋太
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