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傅丽叶变换(一)

自由的角马
 自由的角马
发布于 2015/01/10 13:56
字数 1175
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       因为这些都是从《数字图像处理基础 . 阮秋琦》(注:这本书确实写的不错,虽然没有具体的算法实现,并且有些小错误,但是通俗易懂)里搬过来的,但又是进行图像傅丽叶变换之前需要了解的一些知识,所以不敢写原创,只能算是转载吧!如果想直接了解“图像傅丽叶变换”的算法实现请看下一章《傅丽叶变换(二)

 数字图像处理的方法主要分为两大类:

   一个是空间域处理法(或称空域法),

   一个是频域法(或称变换域法)。

   在频域法处理中最为关键的预处理便是变换处理。

目前,在图像处理技术中正交变换被广泛地运用于图像特征提取、图像增强、图像复原、图像识别以及图像编码等处理中。

傅里叶变换是大家所熟知的正交变换。在一维信号处理中得到了广泛应用。把这种处理方法推广到图像处理中是很自然的事。下面从傅丽叶的基本概念讲起,再讲图像处理中的傅丽叶变换算法实现。

一维傅里叶变换

定义

傅里叶变换在数学中的定义是严格的。设f(x)为x的函数,如果满足下面的狄里赫莱条件:

    (1)具有有限个间断点;

    (2)具有有限个极值点;

(3)绝对可积。

则有下列二式成立


式中x是时域变量,u为频率变量。

如令, 则有


通常把以上公式称为傅里叶变换对。

函数f(x)的傅里叶变换一般是一个复数,它可以由式(5)表示


或写成指数形式


|F(x)|叫做f(x)的傅里叶谱,而叫相位谱。

傅丽叶变换的几个概念:

    (1)只要满足狄里赫莱条件,连续函数就可以进行傅里叶变换,实际上这个条件在工程运用中总是可以满足的。

    (2)连续非周期函数的傅里叶谱是连续的非周期函数,连续的周期函数的傅里叶谱是离散的非周期函数。

二维傅丽叶变换

定义

傅里叶变换可推广到二维函数。如果二维函数f(x,y)满足狄里赫莱条件,那么将有下面二维付里哀变换对存在:


与一维傅里叶变换类似,二维傅里叶变换的幅度谱和相位谱如下式


式中:F(u,v)是幅度谱;是相位谱;E(u,v)是能量谱。

傅里叶变换的性质 

傅里叶变换有许多重要性质。这些性质为实际运算处理提供了极大的便利。这里,仅就二维傅里叶变换为例列出其主要的几个性质。 

具有可分性

这个性质说明一个二维傅里叶变换可用二次一维傅里叶变换来实现。 

线性 

傅里叶变换是线性算子,即 

 

共轭对称性 

 如果F(u, v)f(x, y)的傅里叶变换,F*(-u, -v)f(-x, -y) 傅里叶变换的共轭函数,那么 

F(u, v) = F*(-u, -v)

旋转性

 如果空间域函数旋转的角度为 ,那么在变换域中此函数的傅里叶变换也旋转同样的角度,即 


比例变换特性 

如果F(u, v) f(x, y)的傅里叶变换。ab分别为两个标量,那么 


帕斯维尔(Parseval)定理

这个性质也可称为能量保持定理。如果F(u, v) f(x, y)的傅里叶变换,那么有下式成立 


 这个性质说明变换前后并不损失能量

相关定理 

    如果,f(x),g(x)为两个一维时域函数;f(x,y)g(x,y)为两个二维空域函数,那么,定义下二式为相关函数


由以上定义可引出傅里叶变换的一个重要性质。这就是相关定理,即


式中F(u, v) f(x, y)的傅里叶变换,G(u, v)g(x, y) 的傅里叶变换,G*(u, v)G(u, v)的共轭,g*(x, y)g(x, y)的共轭。

卷积定理 

如果f(x)g(x)是一维时域函数,f(x,y)g(x,y)是二维空域函数,那么,定义以下二式为卷积函数,即


由此,可得到傅里叶变换的卷积定理如下


式中 F(u,v) 和 G(u,v)  分别是f(x)g(x)的傅里叶变换。 

本文转载自:http://blog.csdn.net/luoweifu/article/details/8246299

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