随机变量的数学特征:均值、方差、协方差、相关系数

原创
2014/10/26 12:08
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不把基本概念搞清楚,路越走越难,这里把一些基本概念列出来

数学期望

数学期望求的是随机变量的平均值,因此并不随着数据量的增大而增大。

离散型随机变量:

连续型随机变量


二维离散型随机变量


二维离连续随机变量同理,这里不再写出

性质

1、若C是常数,则EC=C
2、设X是一个随机变量,且Y=aX+b,EY=aEX+b
3、
X,Y是两个随机变量,E(X+Y)=EX+EY(注意:这个条件没有要求X,Y独立)
4、若X,Y是两个独立的随机变量,则E(XY)=E(X)E(Y)


方差


方差反映的是随机变量的离散程度,方差越大,离散程度越大,通过平方得非负性体现出。同样,方差也不随着数据量的增大而增大。



性质

1、C为常数,D(C)=0;
2、a,b是常数,X是随机变量,D(aX+b)=a^2D(X)
3、X,Y是两个独立的随机变量,D(X+Y)=DX+DY


协方差 

反应随机变量X、Y的相关程度,相关程度越大,协方差越大。



性质


1、cov(X,Y)=cov(Y,X)
2、对任意实数a,b,c,d,有cov(aX+b,cY+d)=abcov(X,Y)      

3、cov(X1+X2,Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y)

4、若X,Y独立,则cov(X,Y)=0

5、对任意a,b,有D(aX+bY+c)=a^2DX+b^2DY+2abcov(X,Y)


相关系数


我的理解,相关系数是标准化的协方差。

性质

1、|p|<=1
2、若X,Y相互独立,则Pxy=0,反之不一定成立。
3、|Pxy|=1的充要条件是存在常数a,b,使得P(Y=aX+b)=1,且Pxy=1,当a>0,Pxy=-1,当a<0


随机变量X的标准化



有EX*=0,DX*=1的性质


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