PID微分器与滤波器的爱恨情仇

2020/09/24 20:42
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0 前面的话

这篇文章肝了好久,控制有时候给人的感觉是披着数学外衣的,但是脱下外衣,发现还是控制,本文有一些基本的推导,无非是为最后的算法C实现做铺垫,最终目的是能在实践中进行应用和系统调优。

这首歌是赵小雷在参加访谈节目录制过程中即兴演唱的作品,但这个无心之举却受到了众多听众的喜爱,包括我,推荐给大家。

目录

  • 0 前面的话

  • 目录

  • 1 先说噪声

  • 2 噪声对于系统的影响

  • 3 对于PID控制器的影响

  • 4 加入滤波器

    • 4.1 传递函数

    • 4.2 串联微分的等效形式反馈积分

  • 5 C语言实现

  • 6 参考

1  先说噪声

在电子设备等电路系统中,噪声是不被系统需要的电信号;电子设备产生的噪声会由于多种不同的影响而产生很大的差异。在通信系统中,噪声是一个错误或不希望出现的随机干扰从而作用于有效的信号

2  噪声对于系统的影响

噪声出现的第一个场景,当我们在教室里做英语听力,然后旁边的同学手机忽然来了一条短信,这时候往往可以听到放英语听力的喇叭会被干扰,然后会发出哔哔哔的声音;

下面是一个正弦信号跌加噪声的例子,在原始信号上叠加一定幅度的高斯噪声,可以看到信号不再像原来的正弦信号那样完美,具体如下图所示;

或者,很久很久以前,数字电视还没有普及,那时候的显像管的黑白电视,也容易出现这样的雪花一样的噪声,叠加在图片上就会出现这样的效果,具体如下图所示;

从上述的例子中可以看到,噪声往往会对系统造成一定程度的影响,但是如果噪声的幅度减小到一定程度,对于系统的影响可能就没有那么容易被发现。

下面做一个实验;在一张黑色图片上叠加幅度很小幅度的高斯噪声;从第二张图片中发现噪声没有影响到整体图片;  

然后我尝试提高了整幅图片的亮度,发现,噪点便开始出来了,这像极平时那些枪版影片的马赛克画质;整体的实验结果如下图所示;


3 对于PID控制器的影响

既然噪声的幅度减小到一定程度,对于系统的影响可能就没有那么容易被发现,那么对理想的PID控制器又有什么影响呢?

不要忘了,在理想PID控制器中,微分控制器会对偏差的变化率(斜率)进行累加,从而产生积分器的输出;

对于微分器来说,即使噪声幅度足够小,但是只要达到足够高频率,偏差的变化率一样可以变得很大,下面举个例子;

这里有一个固定频率 和赋值 的噪声为信号1,这个信号可以表示为:

于是我们尝试将信号1的幅度减半,频率变为原来的两倍,得到了信号2

以此类推,在信号2的基础上,幅度再减半,频率乘以2,得到信号3

简单画了一下这个信号,具体如下图所示;

假设分别取三个信号位于 该点的斜率,从图中可以看到,斜率1斜率2斜率3是相同的,简单验证一下,在 时刻,可以得到:

所以这里就是求复合函数的微分,由于选取的点比较特殊,发现最终计算得到的结果 ,因此也可以发现,即使减小了噪声的幅度,但是对于较高频率的噪声,依然会产生较大斜率

遇到高频噪声,那么微分器会产生较大的输出,从而最终对系统造成影响,这是我们不希望出现的结果,因此在反馈回路中并不希望高频噪声进入PID控制器的计算,这里就需要低通滤波器将噪声滤除。

4 加入滤波器

低通滤波器可以滤除高频信号,这样保留了有效信号,可以设置所需的截止频率;系统处理有效信号,由于低频部分信噪比较高,因此噪声对于系统的影响较小,而高频部分,信噪比就很低,这时候对于系统来说,噪声就会造成不小的影响,具体如下图所示;

信噪比:有效信号和噪声的比值,英文名称叫做SNR或S/N(SIGNAL-NOISE RATIO);

所以下面我们会在PID控制器的微分部分加入低通滤波器,这样对反馈的信号进行一部分处理,从而减小系统干扰,如下图所示;

4.1 传递函数

概念拉普拉斯变换是对于 函数值不为零的连续时间函数 通过关系式 (式中 为自然对数底 的指数)变换为复变量 的函数 。它也是时间函数 的“复频域”表示方式。

也就是说拉式变换可以将时域关系变换到频域中,这样可以便于系统进行分析。

下面是本文下面会用到的时域函数对应的拉普拉斯变换:

  • 积分:
  • 微分:
  • 低通滤波器的传递函数:

低通滤波器中的截止频率即为 ,单位是

4.2 串联微分的等效形式反馈积分

串联等效传递函数的关系为,两个方框串联等于各个方框传递函数的乘积;具体如下所示;

因此低通滤波串联微分的传递函数为:

闭环负反馈的等效传递函数的关系如下所示

这里我们可以使用负反馈积分的方式,构建等效于串联微分的传递函数,最终的传递函数结果是相同的,具体如下图所示;

串联微分的形式,可能在算法的实现上会更加直观,但是会比较费资源

使用负反馈积分的等效形式进行实现,则进一步减少了算法的资源消耗,下面给出一个TI公司的PID算法实现就是通过负反馈积分的等效形式进行实现的。

5 C语言实现

这里直接使用了TI公司的PID算法,对于微分部分做了滤波的处理,并且使用的是负反馈积分的方式, 具体可以参考controlSUITE\libs\app_libs\motor_control\math_blocks\v4.2\pid_grando.hPID控制器的整体框图如下所示,我们只关心微分部分;

首先可以发现 满足:

这里滤波器有两个系数 ,它们必须满足截止频率 (单位Hz)和采样周期 (单位秒)以下的关系:

C语言实现如下:

/* =================================================================================
File name:       PID_GRANDO.H 
===================================================================================*/



#ifndef __PID_H__
#define __PID_H__

typedef struct {  _iq  Ref;      // Input: reference set-point
      _iq  Fbk;      // Input: feedback
      _iq  Out;      // Output: controller output 
      _iq  c1;      // Internal: derivative filter coefficient 1
      _iq  c2;      // Internal: derivative filter coefficient 2
    } PID_TERMINALS;
    // note: c1 & c2 placed here to keep structure size under 8 words

typedef struct {  _iq  Kr;    // Parameter: reference set-point weighting 
      _iq  Kp;    // Parameter: proportional loop gain
      _iq  Ki;       // Parameter: integral gain
      _iq  Kd;           // Parameter: derivative gain
      _iq  Km;           // Parameter: derivative weighting
      _iq  Umax;   // Parameter: upper saturation limit
      _iq  Umin;   // Parameter: lower saturation limit
    } PID_PARAMETERS;

typedef struct {  _iq  up;    // Data: proportional term
      _iq  ui;    // Data: integral term
      _iq  ud;    // Data: derivative term
      _iq  v1;    // Data: pre-saturated controller output
      _iq  i1;    // Data: integrator storage: ui(k-1)
      _iq  d1;    // Data: differentiator storage: ud(k-1)
      _iq  d2;    // Data: differentiator storage: d2(k-1) 
      _iq  w1;    // Data: saturation record: [u(k-1) - v(k-1)]
    } PID_DATA;


typedef struct {  PID_TERMINALS term;
      PID_PARAMETERS param;
      PID_DATA  data;
    } PID_CONTROLLER;

/*-----------------------------------------------------------------------------
Default initalisation values for the PID objects
-----------------------------------------------------------------------------*/
                     

#define PID_TERM_DEFAULTS {    \
          0,    \
                           0,    \
                           0,    \
                           0,    \
          0    \
                   }


#define PID_PARAM_DEFAULTS {   \
                           _IQ(1.0), \
                           _IQ(1.0),  \
                           _IQ(0.0), \
                           _IQ(0.0), \
                           _IQ(1.0), \
                           _IQ(1.0), \
                           _IQ(-1.0)  \
                   }


#define PID_DATA_DEFAULTS {       \
                           _IQ(0.0), \
                           _IQ(0.0),  \
                           _IQ(0.0), \
                           _IQ(0.0), \
                           _IQ(0.0),  \
                           _IQ(0.0), \
                           _IQ(0.0), \
                           _IQ(1.0)  \
                   }



/*------------------------------------------------------------------------------
  PID Macro Definition
------------------------------------------------------------------------------*/


#define PID_MACRO(v)          \
               \
/* proportional term */          \
v.data.up = _IQmpy(v.param.Kr, v.term.Ref) - v.term.Fbk; \
               \
/* integral term */           \
v.data.ui = _IQmpy(v.param.Ki, _IQmpy(v.data.w1,    \
(v.term.Ref - v.term.Fbk))) + v.data.i1;     \
v.data.i1 = v.data.ui;          \
               \
/* derivative term */           \
v.data.d2 = _IQmpy(v.param.Kd, _IQmpy(v.term.c1,    \
(_IQmpy(v.term.Ref, v.param.Km) - v.term.Fbk))) - v.data.d2;\
v.data.ud = v.data.d2 + v.data.d1;       \
v.data.d1 = _IQmpy(v.data.ud, v.term.c2);     \
               \
/* control output */           \
v.data.v1 = _IQmpy(v.param.Kp,         \
(v.data.up + v.data.ui + v.data.ud));      \
v.term.Out= _IQsat(v.data.v1, v.param.Umax, v.param.Umin); \
v.data.w1 = (v.term.Out == v.data.v1) ? _IQ(1.0) : _IQ(0.0);\
 

#endif // __PID_H__


6 参考

https://en.wikipedia.org/wiki/Low-pass_filter 

自动控制原理 第五版 胡寿松 P47

虽然写的不一定是最好,但是每一个字、每一个公式都是用心码的,每一张图都是用心画的,每一句话都是加入了自己的理解,如果帮到了你,请无情三连吧;另外笔者能力有限,文中难免存在错误和纰漏,望轻拍指正。

END
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