-
二进制0.1，用十进制表示的话是多少
0.5。
解析：二进制数的小数点后第一位的位权是2的负一次方 = 0.5。也就是说，
二进制数0.1转换成十进制数是1 × 0.5 = 0.5（数值的各数位的数值和位权相乘后再相加的结果） -
用小数点后有3位的二进制数，能表示十进制数0.8125
能，1101。
解析：十进制数转二进制数的小数部分为“乘2取整”，
0.8125 × 2 = 1.625，
0.625 × 1 = 1.25,
0.25 × 2 = 0.5，
0.5 × 2 = 1.0 -
将小数分为符号、尾数、基数、指数4部分进行表现的形式称为什么
浮点数 -
二进制数的基数是多少
2 -
通过把0作为数值范围的中间值，从而在不适用符号位的情况下来表示负数的表示方法称为什么
EXCESS系统表现 -
1010 1100.0101 0011这个二进制数，用十六进制表示的话是多少
AC.53 解析：整数部分和小数部分一样，二进制数的4位，就相当于十六进制数的1位。 二进制数的3位，就相当于八进制的1位
章节重点
- 计算机进行小数处理的机制
- 了解计算机在运算时出错的原因以及如何避免这类错误
章节结构
- 0.1累加到100次也得不到10的现象（引出计算机如何表示小数的问题）
- 用二进制数表示小数（将二进制小数转换成十进制）
- 计算机运算出错的原因（二进制表示小数部分的机制决定的）
- 有小数部分的数——浮点数（表现形式和内部构造）
- 浮点数的尾数部分和指数部分的表示方法——正则表达式和EXCESS系统
- 在实际的程序中进行确认
- 如何避免计算机计算出错
- 利用二进制和十六进制的特殊关系，缩短数的位数
- 数学意义上的进制转换
0.1累加到100次也得不到10的现象（引出计算机如何表示小数的问题）
在计算机中0.1累加到100次是得不到10的，这是由计算机处理小数的机制决定的。
用二进制数表示小数（将二进制小数转换成十进制）
我们知道表示一个数，是由数值、位权、位数、基数构成的。
由我们最熟悉的十进制数开始分析所谓的进制数如何表示一个数的。
比如十进制数13和0.34是什么含义
13 其实表示的是1 × 10的1次方 和 3 × 10的0次方，其中1和2表示的是数值，10表示是基数，1次方和0次方表示的是位权，而决定是几次方的是位数。
同时我们知道十进制的0.34表示的是3 × 10的-1次方和4 × 10 的-1次方。
分析上面两个十进制数特点我们可以知道，在表示一个数的时候，是以小数点前面一位为基准点，它的位权是0，因此小数部分的第一位的位权是-1.
因此我们可以推理出如何用二进制小数转换成十进制数
二进制的0000.0011 为十进制的0.1875
1 × pow(2,-3) =0.125;
1 × pow(2,-4) =0.0625；
推广应用，任何进制数转换成十进制的方法
更进一步的总结可以得到以下结论，
规则：进制数位权的取值范围是正无穷到负无穷，从左到右依次递减1，其中小数点前面的那一位就是位权为0的位置。
之前我们就知道的一个规则：任何一个进制数转换成十进制数： 只需将各数位数值和位权相乘，然后再将相乘的结果相加即可实现。
根据上述两个规则我们可以将任何进制数转变成十进制数
计算机运算出错的原因（二进制表示小数部分的机制决定的）
计算机运算出错的原因是有一些十进制的小数无法转换成二进制数。
比如十进制的0.1就无法用二进制数表示。
我们知道二进制数的小数部分转换成十进制，是2的负多少次幂。
- 而无论是2的负多少次幂相加得到的和都不会等于0.1。
小数点后四位用二进制数表示时的数值范围为0.0000~0.1111。因此这能表示为0.5、0.25、0.125、0.0625这四个二进制数小数点后面的位权组合而成（相加综合）的小数 （16种情况）。
小数点后4位能够用二进制数表示的数值 二进制数是连续的，十进制数是非连贯的
| 二进制数 | 对应的十进制数 |
|---|---|
| 0.0000 | 0 |
| 0.0001 | 0.0625 |
| 0.0010 | 0.125 |
| 0.0011 | 0.1875 |
| 0.0100 | 0.25 |
| 0.0101 | 0.3125 |
| 0.0110 | 0.375 |
| 0.0111 | 0.4375 |
| 0.1000 | 0.5 |
| 0.1001 | 0.5625 |
| 0.1010 | 0.625 |
| 0.1011 | 0.6875 |
| 0.1100 | 0.75 |
| 0.1101 | 0.8125 |
| 0.1110 | 0.875 |
| 0.1111 | 0.9375 |
从上面表中可知，十进制0的下一位就是0.625。因此这中间的小数就无法用小数点后4位数的二进制数来表示。**就算增加二进制数小数点后面的位数，与其对应的十进制数的位数也会增加。虽然这样可以表示更小的数，组合起来可以更接近0.1这个结果。
** 但是无论增加多少位，2的-○○次幂怎么相加都无法得到0.1这个结果
十进制的0.1转换成二进制数是无限循环小数0.00011001100....(1100），类似于十进制的1/3的循环小数是0.3333333（3）
有小数部分的数——浮点数
二进制数1011.0011 这种表示法只是一种纸面上的表现形式，换句话说，只是能书写出来，真正的计算机内部是无法实现的。
此时在计算机中是用下面的方式来用浮点数表示小数的。
浮点数是指用符号、尾数、基数和指数这四部分来表示的小数。
十进制浮点数转换成计算机内部的二进制浮点数的步骤（五步）
第1步，先将十进制浮点数转化成“纸面的”二进制数（这是纯数学意义的进制转换）
第2步，将“纸面意义的”二进制浮点数转换成IEEE标准的二进制浮点数（即计算机内部的二进制浮点数）
第3步，符号位，正数为1，负数为0
第4步，指数部分，将纯数学意义的二进制浮点数用将小数点前面的值固定为1的正则表达式的形式，此时往右移位的得到的是正数，往左移位的得到的是负数，移动多少位；
用127加上这个数（带上符号，正数为加，负数则实际是减）；
然后再把这个数转换成二进制即得到指数部分（使用的EXCESS系统）第5步，尾数部分，将小数点前面的值固定为1的正则表达式，移动，使得小数点前面一位始终是1，然后保留小数点后面部分，缺位补0，使其为23位。
- 浮点数的表现形式(四部分）： 符号 m × n^e (n的e次方)
- 符号：正负号 + 或者 -
- m：尾数
- n : 基数
- e：指数
- 浮点数的内部构造（三部分）：符号部分、指数部分、尾数部分。（有很多种，此为IEEE标准）
- 符号部分：使用一个数据位来表示数值的符号。该数据位是1时表示负数，0表示正数或0。
数值的大小由尾数部分和指数部分来表示，小数就是用“尾数部分×2的指数部分次幂”这样的形式来表示的。
尾数部分：“将小数点前面的值固定为1的正则表达式”
指数部分：EXCESS系统表现
IEEE关于浮点数的规定
顺序为：符号部分-指数部分-尾数部分
-
双精度浮点数（共64位）
符号部分：1位
指数部分： 11位
尾数部分：52位 -
单精度浮点数（共32位）
符号部分：1位
指数部分：8位
尾数部分： 23位
浮点数的尾数部分和指数部分的表示方法——正则表达式和EXCESS系统
指数部分使用的EXCESS系统
使用这种方法主要是为了表示负数时不使用符号位，即用一个正数来表示负数。
比如说我们规定127为0，那么128就相当于0 + 1 =1，那么126就相当于0-1=-1。
在某些情况下，在指数部分，需要通过“负的多少次幂”的形式表示负数。EXCESS系统表现是指，通过将指数部分表示范围的中间值设为0，是的负数不需要使用符号来表示。
- 比如当指数部分是8位单精度浮点数时，最大值1111 1111 =255，他的中间值为0111 1111 = 127（小数部分舍弃）表示的是0，则8位可以表示的范围-127~128，即-127次幂到128次幂范围。
- 同理，指数部分是11位双精度浮点数时，最大值为1111 1111 111 =2047，他的中间值为01 1111 1111 1111 1111=1023（小数部分舍弃）表示的是0
单精度浮点数指数部分的EXCESS系统表现
| 实际的值（二进制数） | 实际的值（十进制数） | EXCESS系统表现（十进制数) |
|---|---|---|
| 1111 11111 | 255 | 128(255~127) |
| 1111 1110 | 254 | 127(= 254 - 127) |
| ... | ... | ... |
| 0111 1111 | 127 | 0(=127-127) |
| 0111 1110 | 126 | -1(=126-127) |
| ... | ... | ... |
| 0000 0001 | 1 | -126(=1 -127) |
| 0000 0000 | 0 | -127(=0-127) |
尾数部分用正则表达式
按照特定的规则来表示数据的形式即为正则表达式。除小数之外，字符串等也都有各自的正则表达式。
- 十进制的浮点数应该遵循“小数点前面是0，小数点后面第1位不能是0”这样的规则。
如十进制小数0.75有跟多种表现形式，但是根据上述规则，应表示为 “0.75×10的0次幂” 这种形式
- 而二进制数的浮点数，使用的是"将小数点前面的值固定为1的正则表达式"
- 将二进制数表示的小数左移或右移数次后（这里是逻辑移位（即补0）。因为符号位是独立的）。
- 整数部分的第1位变为1，第2位之后都变为0（这样是为了消除第2位以上的数位）。注意：整数部分的位数是从左到右依次增加1的
- 而且，第1位的1在实际的数据中不保存。
- 因此省略该部分后就节省了一个数据位，从而就可以表示更多的数据范围。
单精度浮点数的正则表达式的具体例子
单精度浮点数中，尾数部分是23位，但由于第1位的1被省略了，所以实际上可以表示24位的数值。双精度浮点数的表示方法也是如此，只是位数不同而已。
1011.0011 原始数值
0001.0110011 右移使整数部分的第1位
0001.011 0011 0000 0000 0000 0000 确保小数点以后的长度为23位
011 0011 0000 0000 0000 0000
十进制0.75作为单精度浮点数在计算机中存储的形式
-
首先，计算机内部都是以二进制形式存储的。
-
第二步，将十进制0.75用"纸面的二进制形式表示"(有小数点的二进制形式），根据十进制小数部分转换成二进制小数部分，“乘2取整”的规则，得到0.1100
-
第三步，纸面的二进制数使用科学计数法形式，即小数就是用“尾数部分×2的指数部分次幂”这样的形式来表示，1.1 × 2的 -1 次幂（科学计数法）
-
第四步，根据浮点数指数部分使用的是EXCEED系统表现，-1也就是127 +（ -1 ）=126（十进制形式），转换成二进制则为0111 1110。因此指数部分为0111 1110
-
第五步，尾数部分：用的是正则表达式，将小数点前面的值固定为1的正则表达式
- 0.1100为了得到整数第1位为1（从小数点开始往左边的顺序），需要逻辑左移1次，变为1.100，
- 补0，确保小数点以后的长度为23位，得到1.100 0000 0000 0000 0000 0000
- 仅保留小数点后面的部分，完成正则表达式，得到100 0000 0000 0000 0000
综上所述，在计算机中0.75是以符号位-指数部分-尾数部分
1-0111 1110-100 0000 0000 0000 0000
如何避免计算机计算出错
- 回避策略，即无视这些错误。因为有些计算不需要那么精确，允许误差，所以可以忽视这种问题。
- 另一种方法则是，将小数转换成整数计算（前提是保证不超过可处理的数值范围），然后再把计算结果用小数表示出来即可。
利用二进制和十六进制的特殊关系，缩短数的位数
在以位位单位表示数据时，使用二进制数比较方便，但是也容易出现位数太多的问题。
而二进制数的4位，正好相当于十六进制数的1位。因此在实际编程中常常用十六进制数代替二进制数。如在C语言中，只需在数值的开头加上0x(0和x)就可以表示十六进制数了。
用十六进制数来表示二进制数小数
小数点后的二进制数的4位也相当于十六进制数的1位。不够4位时用0填补二进制数的低位即可
如1011.011（二进制）转换成十六进制
低位补0,得到1011.0110，1011为B，0110为6 因此为B.6
十进制数转二进制数 正数部分为“除2取余”，小数部分为“乘2取整”，
102.625
- 正数部分： 1100110 除2取余，直到商为0为止（即除数大于被除数时）
| 除2 | 商 | 余数 |
|---|---|---|
| 101/2 | 51 | 0 |
| 51/2 | 25 | 1 |
| 25/2 | 12 | 1 |
| 12/2 | 6 | 0 |
| 6/2 | 3 | 0 |
| 3/2 | 1 | 1 |
| 1/2 | 0 | 1 |
- 小数部分：101
乘2取整，直到积的小数部分为0为止
| 乘2 | 积 | 整数 |
|---|---|---|
| 0.625 * 2 | 1.25 | 1 |
| 0.25 * 2 | 0.5 | 0 |
| 0.5 * 2 | 1.0 | 1 |
数学意义上的进制转换
十进制数转n进制数
正数部分为“除n取余”，小数部分为“乘n取整”
非十进制数之间的转换
- 二进制数转换成八进制数 二进制数的3位相当于八进制数的1位
- 二进制数转换成十六进制数 二进制数的4位相当于十六进制数的1位
