浅谈差分约束问题

2018/03/06 18:04
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差分约束

差分约束是解决这样一类问题

给出$n$个形如$x[j]-x[i]<=k$的式子,求$x[n]-x[1]$的最大/最小值

思路

其实这个问题是挺套路的

我们把给出的式子变一下

$x[j]-x[i]<=k$

$x[j]<=x[i]+k$

我们不难联想到图论中最短路的性质

假设$d[x]$表示$1$到$x$的最短路

那么对于任意一条边$(u,v)$

有$d[v]<=d[u]+k$(k表示边权)

可能有些抽象,举个例子

经过计算不难得到三个不等式

  1.(3)                 x3 - x0 <= 8
  2.(2) + (5)           x3 - x0 <= 9
  3.(1) + (4) + (5)     x3 - x0 <= 7

这样的话,我们在满足条件的情况下$x[3]-x[0]$最大为$7$

我们按上面的方法建出图

不难发现图中的最短路就是我们想要的答案!

难道这是巧合么?

肯定不是。仔细观察不难发现,我们连边的过程其实就是在转换不等式,求最短路其实就是求最小的限制条件。这样求出来的最短路即为满足条件的最大值

总结

这玩意儿其实挺套路的

如果你找出了题目中的限制条件,直接建图就好

最大值—>把所有式子整理为$x[j]-x[i]<=k$,从$i$向$j$连一条边权为$k$的边,跑最

最小值—>把所有式子整理为$x[j]-x[i]>=k$,从$i$向$j$连一条边权为$k$的边,跑最

在求解的时,因为经常要判断负环,所以选用SPFA算法

当一个点的入队次数超过$n$时必定出现负环

例题

几道水题

POJ1201

POJ1275

HDU3440

还有两道$n$年以前做的,没写题解

洛谷P1993

洛谷P3275

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