BZOJ2440: [中山市选2011]完全平方数(莫比乌斯+容斥原理)

2018/03/06 20:44
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2440: [中山市选2011]完全平方数

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Description

小 X 自幼就很喜欢数。但奇怪的是,他十分讨厌完全平方数。他觉得这些
数看起来很令人难受。由此,他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数。然而
这丝毫不影响他对其他数的热爱。 
这天是小X的生日,小 W 想送一个数给他作为生日礼物。当然他不能送一
个小X讨厌的数。他列出了所有小X不讨厌的数,然后选取了第 K个数送给了
小X。小X很开心地收下了。 
然而现在小 W 却记不起送给小X的是哪个数了。你能帮他一下吗?

Input

包含多组测试数据。文件第一行有一个整数 T,表示测试
数据的组数。 
第2 至第T+1 行每行有一个整数Ki,描述一组数据,含义如题目中所描述。 

Output

含T 行,分别对每组数据作出回答。第 i 行输出相应的
第Ki 个不是完全平方数的正整数倍的数。

Sample Input

4
1
13
100
1234567

Sample Output

1
19
163
2030745

HINT

 

对于 100%的数据有 1 ≤ Ki ≤ 10^9

,    T ≤ 50

 

Source

 

 

题目大意:求第$n$个无完全平方因子的数

如果直接硬求得话非常麻烦,因为我们无法确定枚举的范围,只能边枚举边统计,但这样 一定会T

所以我们转换一下思路,二分一个mid,表示$1-mid$中有多少个无完全平方因子的数

我们把$mid$质因数分解为$p_1*p_2*\dots p_k$

设$A_i$表示$\frac{x}{i*i}$,即$1-x$中含有$i*i$这个因子的数的个数

那么答案为

$mid - (A_{p_1} + A_{p_2} + \cdots + A_{p_k}) + (A_{p_1 \cdot p_2} + A_{p_1 \cdot p_3} + \cdots + A_{p_{k-1} \cdot p_k}) + \cdots + (-1)^{k} A_{\prod_{i=1}^{k} p_i}$

然后不难发现每一项的系数即为$mu[k]$,$k$表示分解出来的质数的个数

一个数的平方因子最大为$sqrt(n)$,因此只要枚举到$sqrt(n)$就好

二分的上界有一个公式,设置为$2*x$就好

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define int long long 
using namespace std;
const int MAXN=1e6+10;
inline int read()
{
    char c=getchar();int x=0,f=1;
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    return x*f;
}
int N;
int vis[MAXN],prime[MAXN],mu[MAXN],tot=0;
void GetMu()
{
    vis[1]=1;mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=N;i++)
    {
        if(!vis[i]) prime[++tot]=i,mu[i]=-1;
        for(int j=1;i*prime[j]<=N&&j<=tot;j++)
        {
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0){mu[i*prime[j]]=0;break;}
            else mu[i*prime[j]]=-mu[i];
        }
    }
}
int check(int val)
{
    int limit=sqrt(val),ans=0;
    for(int i=1;i<=limit;i++)
        ans+=mu[i]*(val/(i*i));
    return ans;
}
main()
{
    #ifdef WIN32
    freopen("a.in","r",stdin);
    #else
    #endif
    N=1e6+10;
    GetMu();
    int QWQ=read();
    while(QWQ--)
    {
        int x=read();
        int l=1,r=x<<1,ans=0;
        while(l<=r)
        {
            int mid=l+r>>1;
            if(check(mid)>=x) ans=mid,r=mid-1;
            else l=mid+1;
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
} 

 

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mu
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