空间射线与三角形相交算法的两种实现

02/16 20:37
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1. 概述

任何复杂的三维模型都可以视作空间三角面片的集合,很容易碰到的一个问题就是空间射线与三角形相交的问题,例如拾取、遮蔽检测等。这里就总结下该问题的两种算法实现。

2. 常规算法

一种很常规的思路就是先计算射线与三角面片的交点,再看该交点是否再三角形内部。

2.1. 理论推导

对于空间一条射线,令起点为O,其方向为D,根据射线的参数公式,其上任意一点P(也就是要求的交点)为: $$P = O + tD \tag{1}$$

其中t>0,根据t的取值不同,可得射线上不同的点,也就是关键在于求未知量t的值。

已知空间三角面片三个顶点为v1,v2,v3,那么很容易可以求得三角面片的法向量n。显然面上的向量(v1-P)与n是垂直的,则它们的点积为0: $$(v1-P) \cdot n = 0 \tag{2}$$

将式(1)代入式(2),求得未知量t为: $$t = \frac{ (v1-O) \cdot n }{ D \cdot n} $$

再将t代入到(1)式中,即可得到射线与该三点组成的平面了。

接下来就是判断这个交点是否在三角形面之内了,由于是空间三角形,所以比较好的算法是文献[2]中提到的同向法,摘录如下:<div align = 'center'>同向法</div>

2.2. 具体实现

具体的C/C++实现代码如下:

#include <iostream>

using namespace std;

#define EPSILON 0.000001

// 3D vector
class Vector3d
{
public:
	Vector3d()
	{
	}

	~Vector3d()
	{
	}

	Vector3d(double dx, double dy, double dz)
	{
		x = dx;
		y = dy;
		z = dz;
	}

	// 矢量赋值
	void set(double dx, double dy, double dz)
	{
		x = dx;
		y = dy;
		z = dz;
	}

	// 矢量相加
	Vector3d operator + (const Vector3d& v) const
	{
		return Vector3d(x + v.x, y + v.y, z + v.z);
	}

	// 矢量相减
	Vector3d operator - (const Vector3d& v) const
	{
		return Vector3d(x - v.x, y - v.y, z - v.z);
	}

	//矢量数乘
	Vector3d Scalar(double c) const
	{
		return Vector3d(c*x, c*y, c*z);
	}

	// 矢量点积
	double Dot(const Vector3d& v) const
	{
		return x * v.x + y * v.y + z * v.z;
	}

	// 矢量叉积
	Vector3d Cross(const Vector3d& v) const
	{
		return Vector3d(y * v.z - z * v.y, z * v.x - x * v.z, x * v.y - y * v.x);
	}

	double _x()
	{
		return x;
	}

	double _y()
	{
		return y;
	}

	double _z()
	{
		return z;
	}

private:
	double x, y, z;
};

// v1 = Cross(AB, AC)
// v2 = Cross(AB, AP)
// 判断矢量v1和v2是否同向
bool SameSide(Vector3d A, Vector3d B, Vector3d C, Vector3d P)
{
	Vector3d AB = B - A;
	Vector3d AC = C - A;
	Vector3d AP = P - A;
	
	Vector3d v1 = AB.Cross(AC);
	Vector3d v2 = AB.Cross(AP);

	// v1 and v2 should point to the same direction
	//return v1.Dot(v2) >= 0 ;
	return v1.Dot(v2) > 0;
}

// 判断点P是否在三角形ABC内(同向法)
bool PointinTriangle1(Vector3d A, Vector3d B, Vector3d C, Vector3d P)
{
	return SameSide(A, B, C, P) && SameSide(B, C, A, P) && SameSide(C, A, B, P);
}

//ray-triangle intersection algorithm  (通过平面方程计算)
//参数说明:V1,V2,V3,三角形三点;O,射线原点;D,射线方向
bool ray_triangle_intersection1(Vector3d V1, Vector3d V2, Vector3d V3, Vector3d O, Vector3d D, Vector3d *I)
{
	bool rv = false;

	//v1(n1,n2,n3);
	//平面方程: na * (x – n1) + nb * (y – n2) + nc * (z – n3) = 0 ;
	double na = (V2._y() - V1._y())*(V3._z() - V1._z()) - (V2._z() - V1._z())*(V3._y() - V1._y());
	double nb = (V2._z() - V1._z())*(V3._x() - V1._x()) - (V2._x() - V1._x())*(V3._z() - V1._z());
	double nc = (V2._x() - V1._x())*(V3._y() - V1._y()) - (V2._y() - V1._y())*(V3._x() - V1._x());

	//平面法向量
	Vector3d nv(na, nb, nc);

	//平面法向量与射线方向向量差积
	double vpt = D.Dot(nv);
	if (vpt == 0)
	{
		rv = false;  //此时直线与平面平行
	}
	else
	{
		Vector3d P = V1 - O;
		double t = P.Dot(nv) / vpt;

		*I = O + D.Scalar(t);
		if (PointinTriangle1(V1, V2, V3, *I))
		{
			rv = true;
		}
		else
		{
			rv = false;
		}
	}

	return rv;
}

int main()
{
	Vector3d V1(0, 0, 0);
	Vector3d V2(50, 0, 0);
	Vector3d V3(0, 50, 0);
	Vector3d O(5, 10, -10);
	Vector3d P(10, 10, 10);
	Vector3d D = P - O;
	Vector3d I;

	if (ray_triangle_intersection1(V1, V2, V3, O, D, &I)) {
		cout << I._x() << '\t' << I._y() << '\t' << I._z() << endl;
	}	
}

3. 优化算法

仔细思考常规算法的思路,在计算射线与平面的交点的时候,实际是将射线的参数方程与平面的参数方程联立求值即可。那么如果知道空间三角形的参数方程,将其与射线的参数方程联立,不就可以直接求得交点了吗?Tomas Moller的论文《Fast, Minimum Storage Ray Triangle Intersection》提出了一种优化算法,正是基于这个思路,并且给出了合理的解法。

3.1. 理论推导

对于三个顶点为V1,V2,V3组成的空间三角形,对于三角形内的任一点,有如下参数方程: $$P = (1-u-v)V1 + uV2 + vV3 \tag{3}$$

u, v是V2和V3的权重,1-u-v是V1的权重,并且满足u>=0, v >= 0,u+v<=1。这个参数方程的具体解释可参考文献[5],摘录如下:<div align = 'center'>三角形参数方程</div>

将射线公式(1)与三角形公式(3)联立起来,有: $$(1-u-v)V1 + uV2 + vV3 = O + tD$$

很显然,u、v、t都是未知数,移项并整理,可得如下线性方程组: $$ \left[ \begin{matrix} -D & V2-V1 & V3-V1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} t \ u \ v \end{matrix} \right] = O - V1 $$

可以使用克莱姆法则来求解这个线性方程组,大家可以复习下线性代数(文献[6]),我这里也将其摘录如下:<div align = 'center'>克莱姆法则</div>

令$E1 = V2 - V1,E2 = V3 - V1,T = O - V1$,则上式可以改写成: $$ \left[ \begin{matrix} -D & E1 & E2 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} t \ u \ v \end{matrix} \right] = T $$

根据克莱姆法则,有: $$\begin{cases} t = \frac{1}{\begin{vmatrix} -D&E1&E2\ \end{vmatrix}} \begin{vmatrix} T&E1&E2\ \end{vmatrix} \ u = \frac{1}{\begin{vmatrix} -D&E1&E2\ \end{vmatrix}} \begin{vmatrix} -D&T&E2\ \end{vmatrix} \ v = \frac{1}{\begin{vmatrix} -D&E1&E2\ \end{vmatrix}} \begin{vmatrix} -D&E1&T\ \end{vmatrix} \ \end{cases} $$

接下来就要用到向量的混合积公式(具体可参看文献[7])了,对于三向量a,b,c,有: $$ \begin{vmatrix} a&b&c\ \end{vmatrix} = a \times b \cdot c = - a \times c \cdot b = - c \times b \cdot a $$ 上式可改写成: $$\begin{cases} t = \frac{1}{D \times E2 \cdot E1} (T \times E1 \cdot E2) \ u = \frac{1}{D \times E2 \cdot E1} (D \times E2 \cdot T) \ v = \frac{1}{D \times E2 \cdot E1} (T \times E1 \cdot D) \ \end{cases} $$ 令$P=D \times E2, Q = T \times E1$,进一步简化可得: $$\begin{cases} t = \frac{1}{P \cdot E1} (Q \cdot E2) \ u = \frac{1}{P \cdot E1} (P \cdot T) \ v = \frac{1}{P \cdot E1} (Q \cdot D) \ \end{cases} $$

3.2. 具体实现

具体的C/C++实现代码如下:

#include <iostream>

using namespace std;

#define EPSILON 0.000001

// 3D vector
class Vector3d
{
public:
	Vector3d()
	{
	}

	~Vector3d()
	{
	}

	Vector3d(double dx, double dy, double dz)
	{
		x = dx;
		y = dy;
		z = dz;
	}

	// 矢量赋值
	void set(double dx, double dy, double dz)
	{
		x = dx;
		y = dy;
		z = dz;
	}

	// 矢量相加
	Vector3d operator + (const Vector3d& v) const
	{
		return Vector3d(x + v.x, y + v.y, z + v.z);
	}

	// 矢量相减
	Vector3d operator - (const Vector3d& v) const
	{
		return Vector3d(x - v.x, y - v.y, z - v.z);
	}

	//矢量数乘
	Vector3d Scalar(double c) const
	{
		return Vector3d(c*x, c*y, c*z);
	}

	// 矢量点积
	double Dot(const Vector3d& v) const
	{
		return x * v.x + y * v.y + z * v.z;
	}

	// 矢量叉积
	Vector3d Cross(const Vector3d& v) const
	{
		return Vector3d(y * v.z - z * v.y, z * v.x - x * v.z, x * v.y - y * v.x);
	}

	double _x()
	{
		return x;
	}

	double _y()
	{
		return y;
	}

	double _z()
	{
		return z;
	}

private:
	double x, y, z;
};

//ray-triangle intersection algorithm
//参数说明:V1,V2,V3,三角形三点;O,射线原点;D,射线方向。
bool ray_triangle_intersection(Vector3d V1, Vector3d V2, Vector3d V3, Vector3d O, Vector3d D, Vector3d *I)
{
	//Find vectors for two edges sharing V1
	Vector3d e1 = V2 - V1;
	Vector3d e2 = V3 - V1;

	//Begin calculating determinant - also used to calculate u parameter
	Vector3d P = D.Cross(e2);
	//if determinant is near zero, ray lies in plane of triangle
	double det = e1.Dot(P);
	//NOT CULLING
	if (det > -EPSILON && det < EPSILON)
	{
		return false;
	}
	double inv_det = 1.f / det;

	//calculate distance from V1 to ray origin
	Vector3d T = O - V1;

	//Calculate u parameter and test bound
	double u = T.Dot(P) * inv_det;
	//The intersection lies outside of the triangle
	if (u < 0.f || u > 1.f)
	{
		return false;
	}

	//Prepare to test v parameter
	Vector3d Q = T.Cross(e1);
	//Calculate V parameter and test bound
	double v = D.Dot(Q) * inv_det;

	//The intersection lies outside of the triangle
	if (v < 0.f || u + v  > 1.f)
	{
		return false;
	}

	double t = e2.Dot(Q) * inv_det;

	//ray intersection
	if (t > EPSILON)
	{
		*I = O + D.Scalar(t);
		return true;
	}

	return false;
}

int main()
{
	Vector3d V1(0, 0, 0);
	Vector3d V2(50, 0, 0);
	Vector3d V3(0, 50, 0);
	Vector3d O(5, 10, -10);
	Vector3d P(10, 10, 10);
	Vector3d D = P - O;
	Vector3d I;

	if (ray_triangle_intersection(V1, V2, V3, O, D, &I)) {
		cout << I._x() << '\t' << I._y() << '\t' << I._z() << endl;
	}
}

可以看到这种优化算法无论是代码量还是时间、空间复杂度都由于原来的常规算法,最直观的体现就是判断语句多,能够即使返回避免后续运算。

4. 参考

[1] Möller–Trumbore intersection algorithm [2] 判断点是否在三角形内 [3] 射线与平面的相交检测(Ray-Plane intersection test) [4] 射线和三角形的相交检测(ray triangle intersection test) [5] 三角形方程? - 高崎汀步的回答 - 知乎 [6] 克莱姆法则 [7] 三矢量的混合积

原文出处:https://www.cnblogs.com/charlee44/p/12318605.html

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