【信号与系统】06 - 有理系统

2019/04/10 10:10
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1. 连续有理系统

1.1 系统函数

  很多物理模型的系统都可以表示为式(1)的线性常微分方程,它显然是一个LIT系统。后面将会看到,这样的系统实现简单,却可以满足复杂的需求。需要注意的是,从系统角度,\(x(t),y(t)\)分别是输入、输出;但从方程角度,这里\(t\)是变量,\(x(t)\)为确定的函数,\(y(t)\)则是待求的变量。而且我们知道(回顾常微分方程),这个方程由特解\(y_0(t)\)和齐次解组成(式(2),如果\(z_0\)是\(\sum_{k=0}^n b_kz^k=0\)的\(r\)重根,那么\(e^{z_0t},te^{z_0t},\cdots,t^{r-1}e^{z_0t}\)都是齐次解)。它有无穷多组解,即可以代表无穷多个系统。

\[\sum_{k=0}^ma_kx^{(k)}(t)=\sum_{k=0}^nb_ky^{(k)}(t)\tag{1}\]

\[y(t)=y_0(t)+\sum_{i=1}^nc_ie_i(t),\;\;\sum_{k=0}^nb_ke_i^{(k)}(t)=0\tag{2}\]

  然而,现实中的系统往往满足初始松弛条件:如果\(t<t_0\)时\(x(t)=0\),那么\(t<t_0\)时也有\(y(t)=0\)。这个条件其实暗含了系统的因果性,且由\(y^{(n)}(t)\)的存在性(以及所有式子非奇异),可知\(y(t)\)满足边界条件\(y(t_0)=y'_t(t_0)=\cdots=y_t^{(n-1)}(t_0)=0\),这个边界条件可以确定式(2)的唯一解。满足式(1)和初始松弛的系统,可以认为是唯一的,下面就是分析它的特性。如果想知道系统的单位冲激响应,需把\(x(t)=\delta(t)\)带入方程,然而对奇异函数的求解是十分困难的。

  时域上暂时无法分析,下面转向\(s\)域(频域),来看看系统函数\(H(s)\)。记\(x(t),y(t)\)的\(s\)域系数是\(X(s),Y(s)\),根据微分性质计算式(1)的\(s\)域系数,整理后便有系统函数式(3),它是一个实数域的分式,这样的系统称为有理系统。我们知道,分式可以分解为一阶分式和二阶分式之和,结合ROC便能得知系统的单位冲激响应。然而在没有初始松弛的限定时,分式并不能确定唯一系统。

\[H(s)=\dfrac{Y(s)}{X(s)}=\dfrac{\sum_{k=0}^ma^ks^k}{\sum_{k=0}^nb^ks^k}\tag{3}\]

  分式在分母为\(0\)时无意义,所以它在分母的根上一定不收敛,这些值称为分式的极点。其实,通过繁杂的论证(使用分式分解)可以知道,极点就是有理系统ROC的天然边界。特别地,因果有理系统的ROC是右平面,且以右平面为ROC的有理系统也必然是因果的。还有就是,有理因果系统稳定的充要条件是:所有极点的实部都是负数。

1.2 一阶、二阶系统

  这里简单讨论一下一阶、二阶微分方程\(b_0y(t)+b_1y'(t)+b_2y''(t)=x(t)\)所代表的因果系统。为了简化讨论,先将系统增益缩为\(1/b_0\)使得\(y(t)\)的系数为\(1\),再进行频域的伸缩将\(y''(t)\)或\(y'(t)\)的系数也化为\(1\)。得到的标准式如式(4)所示(只考虑稳定系统,故最高次系数为正),可以先讨论标准系统的特征,再考虑频域的缩放对原系统的影响。

\[y'(t)+y(t)=x(t);\;\;y''(t)+2\zeta y'(t)+y(t)=x(t)\tag{4}\]

  先看一阶系统,它的频率响应为\(\dfrac{1}{1+j\omega}\),单位冲激响应为\(e^{-t}u(t)\)。Bode图上(图见上一篇)的分贝数为\(-10\log_{10}(1+\omega^2)\),当\(\omega\to 0\)时趋于\(0\),当\(\omega\to\infty\)时趋于\(-20\log_{10}\omega\)。在对数尺度上它们是两条直线,相交点\(\omega=1\)称为转折频率,此处与原值有最大偏差3dB。Bode图上的相移,当\(\omega\to 0\)时趋于\(0\),当\(\omega\to\infty\)时趋于\(-\pi/2\),在\(\omega\in[0.1,10]\)上也有近似直线。这个例子就体现了Bode图的优势。

  再看二阶系统,其频谱响应为\(\dfrac{1}{(j\omega)^2+2\zeta(j\omega)+1}\),也是一个近似低通滤波,请自行讨论其Bode图的性质。\(\zeta>0\)称为阻尼系数,当\(\zeta>1\)时可以拆分为两个一阶系统之和,它称为过阻尼的。当\(\zeta<1\)时为一般的二阶系统,前面知道,它的单位冲激响应有波动和超量(含正弦函数),称为是欠阻尼的。而\(\zeta=1\)时为一阶二次系统,称为临界阻尼,它比过阻尼系统有更快的响应速度,又没有欠阻尼系统的波动和超量。

2. 离散有理系统

2.1 系统函数

  离散信号也有类似的有理系统,它一般表示为式(5)的常系数差分方程,它也是LIT系统。这个方程的解也可以表示为特解和齐次解的线性和(式(6)),如果\(z_0\)是\(\sum_{k=0}^Nb_kz^{N-k}=0\)的\(r\)重根,则\(z_0^n,nz_0^n,\cdots,n^{r-1}z_0^n\)都是齐次解。现实中的系统还要满足初始松弛条件:如果\(n<n_0\)时\(x[n]=0\),那么\(n<n_0\)时\(y[n]=0\)。初始松弛了确保了系统的因果性,而且确定了唯一的输出信号,因为式(5)可以看成是递归方程\(y[n]=\cdots\)。当\(N=0\)时方程是非递归的,这时可以直接写出单位脉冲响应(式(7),根据脉冲响应的累加性),它是一个有限脉冲响应系统(FIR)。

\[\sum_{k=0}^Ma_kx[n-k]=\sum_{k=0}^Nb_ky[n-k]\tag{5}\]

\[y[n]=y_0[n]+\sum_{i=1}^nc_ie_i[n],\;\;\sum_{k=0}^nb_ke_i[n-k]=0\tag{6}\]

\[y[n]=\sum_{k=0}^Ma_kx[n-k]\;\Rightarrow\;h[n]=a_n,\;(0\leqslant n\leqslant M)\tag{7}\]

  接着利用LT的时移性质,不难得到系统函数为式(8),仍然可以把它看成关于\(z^{-1}\)的分式。分式的极点其实就是多项式\(\sum_{k=0}^Nb_kz^{N-k}\)的根,可以证明极点是有理系统ROC的天然边界。特别地,因果有理系统的ROC是一个圆外区域,且以圆外区域为ROC的有理系统也必然是因果的。还有有理因果系统稳定的充要条件是:所有极点都在单位圆内。这些性质都与连续系统相对应。

\[H(z)=\dfrac{Y(z)}{X(z)}=\dfrac{\sum_{k=0}^Ma_kz^{-k}}{\sum_{k=0}^Nb_kz^{-k}}\tag{8}\]

  有了系统函数,便可以将它分解为多个一阶、二阶系统之和,也就能得到单位脉冲响应。另外根据\(\delta[n-n_0]\overset{Z}{\leftrightarrow}z^{-n_0}\)可知,如果系统函数能写成式(9)左,则可以直接写出单击脉冲响应(式(9)右)。回看式(7)便有了另外一种解释,对于其它系统函数(不限于有理系统),也可以通过泰勒级数得到式(9)左的格式。
\[H(s)=\sum_{k\in\Bbb{Z}} a_kz^{-k}\;\;\Rightarrow\;\;h[n]=a_n\tag{9}\]

2.2 一阶、二阶系统

  现在简单讨论一下一阶、二阶差分方程所代表的系统,由于频域的缩放不同于连续系统,这里的标准式仅将\(b_0\)统一为\(1\)。一阶系统(式(10))的频率响应为\(\dfrac{1}{1-ae^{-j\omega}}\),单位脉冲响应为\(a^nu[n]\)(只讨论稳定的因果系统),其中\(0<|a|<1\)。\(a>0\)时表现为一个低通滤波,\(a\to 1\)时往低频集中;\(a<0\)时则表现为一个高通滤波,但它有震荡和超量。

\[y[n]-ay[n-1]=x[n]\tag{10}\]

  二阶差分有标准式(11),其中\(0<r<1,0\leqslant\theta\leqslant\pi/2\),它是一个低通滤波,\(r\to 1\)时往低频集中。这里只讨论稳定的因果系统,且不讨论过阻尼系统(可分解为两个一阶系统之和)。当\(\theta>0\)时,系统的单位脉冲响应是式(12),它是一个欠阻尼系统,有震荡和超量(\(\theta\to\pi/2\)时震荡加剧、但过渡带变窄)。当\(\theta=0\)时,系统的单位脉冲响应是式(12)的极限,它是一个临界阻尼系统,没有震荡和超量。

\[y[n]-2r\cos\theta y[n-1]+r^2y[n-2]=x[n]\tag{11}\]

\[h[n]=\dfrac{\sin\,(n+1)\theta}{\sin\theta}r^nu[n]\tag{12}\]

3. 线性反馈系统

3.1 线性反馈系统

  为了实现有理系统,这里需要展开讨论一下反馈系统的概念和性质,限定在LIT中也叫线性反馈系统。反馈系统可以根据之前的输出调整输入信号,以修改后续的输出结果,它有较强的纠错性和抗干扰性。典型的反馈系统如图所示,其中LIT系统\(H(s)\)和\(G(s)\)所在的分别叫正向通路反馈通路,整个构成一个闭环系统,没有反馈通路的系统也叫开环系统

  根据\(R(s)=X(s)+G(s)Y(s)\)和\(Y(s)=H(s)R(s)\),可有式(13)成立,也就是说整个闭环系统还是LIT系统,且其系统函数为\(Q(s)\)(一般假定为因果系统)。\(Q(s)\)的分式形式会为系统设计带来很大的发挥空间,这里简单举几个例子。比如式(14)是\(P(s)\)的近似逆系统;式(15)利用稳定的衰减器\(K\)得到一个稳定的放大器,其中普通放大器\(H(s)\)是不稳定的。

\[Q(s)=\dfrac{Y(s)}{X(s)}=\dfrac{H(s)}{1-G(s)H(s)}\tag{13}\]

\[\dfrac{K}{1+KP(s)}\approx\dfrac{1}{P(s)},\;\;(K\gg 1)\tag{14}\]

\[\dfrac{H(s)}{1+KH(s)}\approx\dfrac{1}{K},\;\;(|KH(s)|\gg 1)\tag{15}\]

  反馈系统另一种广泛的应用是调节稳定性。比如一阶系统\(H(s)=\dfrac{1}{s-a}\),加上常数反馈\(K\)便得到可调节系统\(\dfrac{1}{s-a-K}\)。二阶系统\(\dfrac{1}{s^2+as+b}\)需要同时调节一次项和常数项,也只需加上反馈\(K_1s+K_2\),其中\(s\)是微分系统。对离散一阶系统\(\dfrac{1}{1-az^{-1}}\),可以使用时移反馈\(Kz^{-1}\)使其变成可调节系统\(\dfrac{1}{1-(a+K)z^{-1}}\)。

3.2 稳定性判定-根轨迹法

  稳定性在系统设计中,往往是首先要满足的,而稳定性的判定就变得尤为重要。在闭环系统中,一般会给\(H(s\)或\(G(s)\)设定一个可调系数,使得系统分母为\(1-KG(s)H(s)\)。系统稳定的充要条件是,式(16)的根不出现在虚轴及其右半平面上,这里把\(D(s)\)与\(K\)分隔开来,是为了分析过程不受\(K\)的影响。记\(D(s)\)分子、分母中较高的次数为\(N\),则式(16)有\(N\)个根(可能有重根,对特殊\(K\)也许少于\(N\))。另外我们有理由相信,随着\(K\)从\(-\infty\)到\(+\infty\)连续变化,这\(N\)个根的轨迹一定也是连续的。

\[D(s)=G(s)H(s)=\dfrac{1}{K}\tag{16}\]

  观察根的轨迹、以判定系统稳定性的方法,就叫根轨迹法。对于简单的分式\(D(s)\)(次数小且只有一阶因式),其实是可以根据分式特点描述出精确的根轨迹的。首先易知,当\(K\to 0\)时根趋向于\(D(s)\)的极点,而\(K\to\infty\)时根趋向于\(D(s)\)的零点。可以想象,每一个极点、零点都是根轨迹的端点;如果把根轨迹按\(K\)的正负分为两个分支,则每个分支都起于零点而终于极点。然后易知实数轴上的每一点都在根轨迹上,而且被\(2N\)个极点、零点分隔为\(2N\)段(两个无穷大视为同一个点,重根之间视长度为\(0\)),\(D(s)\)在每一段的值正负交替(最右段为正)。

  接下来看实轴上的分段与根轨迹分支的关系。如果分段的两端分别为极点、零点,那么这个分段一定是根轨迹的一个分支。否则分段的两端是两个分支的端点(包括重根处),这两个分支在分段上的某一点分道扬镳,进入到实轴外的复平面。而实轴之外的根轨迹一定是以实轴对称的,故两个分支走向相反的反向。当然,出走的分支终会和另一个符号相同、端点互异的分支衔接,极点、零点的成对性可以保证这一点。

  至于实轴外根轨迹的形状,这里只能做简单讨论。首先,两个分支的相遇点\(s_0\)其实就是式(16)的重根,所以有\(D'(s_0)=0\)。然后看伸向无穷远的分支(与无穷远的极点、零点会合),记\(D(s)\)的零点、极点之和分别为\(p,q\)(不包含无穷点),当\(s\to\infty\)时有式(17)成立。利用该式对比\(D(s)=-1/K\)和\((s-\sigma)^l=-1/K\)根,可知它们的差随着\(s\to\infty\)而趋于\(0\)。后者的根是\(l\)条经过\((\sigma,0)\)、角度为\(2k\pi/l\)的直线,它们就是根轨迹的渐进线。拿二次式举例来说,如果有两个有穷外出点,它们之间的半圆弧就是根轨迹(需证明);如果只有一个有穷外出点,垂直平分线就是根轨迹。

\[D(s)=\dfrac{s^m-ps^{m-1}+\cdots}{s^n-qs^{n-1}+\cdots}=(s-\sigma)^l+o(s^{l-1}),\;\;(l=m-n,\;\;\sigma=\dfrac{p-q}{l})\tag{17}\]

3.3 稳定性判定-Nyquist判据

  根轨迹法只能适用于简单的分式,而且难以将轨迹与具体的\(K\)值相对应。如果有计算机辅助,对具体的\(K\)值,是可以求解式(6)的根的。但这个方法又缺少对动态的\(K\)的讨论,而本段介绍的奈奎斯特(Nyquist)判据就可以跟踪\(K\)值做稳定性判断(需要计算机辅助)。

  先来复习一下复变分式\(D(s)\)的性质,它的辐角是所有分子因式\(s-\alpha_i\)的辐角和、减去所有分母因式\(s-\beta_j\)的辐角和。当\(s\)沿某个闭环(单环)顺时针绕转一周时,对不在闭环内的极点、零点,因式的辐角恢复原值;但对在闭环内的极点、零点,因式的辐角分别增加、减少了\(2\pi\);而对闭环上的点则比较复杂,需要单独讨论、或事先排除这种情况。复变函数的辐角变化\(2\pi\)的整数倍,虽然不影响函数值,但在连续性讨论中(值的轨迹、微分)至关重要。设闭环内有\(P\)个零点、\(Q\)个极点,可知\(D(s)\)辐角总共减少了\(2(P-Q)\pi\),即值的轨迹绕原点顺时针旋转了\(P-Q\)圈。

  有了这个结论,下面继续讨论式\(1-KD(s)\)或\(F(s)=D(s)-1/K\)的零点分布。这里不考虑\(K=0\)的特殊情况,以及要求\(D(s)\)分母的阶不小于分子的阶,这样\(F(s)\)的零点都是有穷的(极点就是\(D(s)\)的极点,也是有穷的)。构造一个如图所示的闭环,当直径足够大后,它能包含右半平面所有的极点\(N_p^+\)和零点\(N_0^+\)。而直径趋于无穷时,圆弧上趋于定值,\(F(s)\)的轨迹长度在这里也趋于\(0\),所以\(F(s)\)轨迹最终等价于\(F(j\omega)\)的轨迹。

  借助计算机画出\(D(j\omega)\)的轨迹,它绕\((1/K,0)\)顺时针旋转的次数\(N_c\),其实就是\(F(j\omega)\)绕原点顺时针旋转的次数。如果\((1/K,0)\)在\(D(j\omega)\)的轨迹上,说明\(F(j\omega)\)在虚轴有零点,系统不稳定。否则有关系式\(N_c=N_0^+-N_p^+\),系统稳定的充要条件是\(N_0^+=0\)即\(N_c=-N_p^+\),描述成\(D(j\omega)\)的轨迹绕\((1/K,0)\)逆时针旋转的次数,应当等于右半平面的极点数。顺便说一句,\(N_c\)当然也能表示左半平面零点极点的关系,但由于总的零点极点数相等,其实并不会有新鲜的结论。

  可以看到,把\(D(s)\)和\(K\)分割开来,可以跟踪动态\(K\)对系统稳定性的影响,而且\(D(j\omega)\)与\((1/K,0)\)的距离也能表示系统允许的波动范围,这个距离称为系统的稳定性裕度。还有至于离散系统,把虚轴映射成单位圆,即有系统稳定的充要条件是:\(D(e^{j\omega})\)在\(\omega\in[0,2\pi]\)上的轨迹绕\((1/K,0)\)逆时针旋转的次数,应当等于单位圆外的极点数。

3.4 有理系统的框图

  有理系统不仅功能强大,而且实现简单,本节使用框图来表示有理系统。首先,理论上任何分式都可以分解为简单分式(多项式)的和或者积,只要先构造出简单有理系统,通过级联、并联总可以构造出任何有理系统的框图。然而实际使用中,还要考虑器件的可靠程度和复用程度,比如微分器就没有积分器简易稳定。为了说明问题,先从最简单的一阶分式系统\(1/(s-a)\)讨论起。结合反馈系统的式(13)、以及尽量使用积分器\(1/s\),可设\(H(s)=1/s,\;G(s)=a\)。

  这个框图还有另外一种解释,为此来看系统的微分方程\(y'(t)-ay(t)=x(t)\),并改写成\(x(t)+ay(t)=y'(t)\)。\(ay(t)\)是\(y(t)\)放大后的反馈,且与\(x(t)\)合并后做为正向通路的输入。再看正向通路输入\(y'(t)\)、输出\(y(t)\),\(H(s)\)自然应当是积分器\(1/s\)。这种视角可以扩展到任何分式\(\dfrac{1}{f(s)},\;f(s)=s^n-a_1s^{n-1}-\cdots-a_n\),正向通路上是\(n\)个积分器,第\(k\)个积分器的输出放大\(a_k\)倍后反馈到输入信号。

  对于一般分式\(\dfrac{g(s)}{f(s)}\),只需看成两个系统级联\(\dfrac{1}{f(s)}\cdot g(s)\)。其中多项式\(g(s)\)可直接由微分器和放大器组成,然而利用微分器和积分器的互相抵消,可直接从\(\dfrac{1}{f(s)}\)的积分器后引出所需信号。图示是分式\(\dfrac{s^2+3s+5}{s^2-2s-4}\)的系统框图,这样的图称为直接型框图。值得提醒的是,虽然分析过程使用了系统函数,结果的框图却是与之无关的。这就更加确定,\(s\)域分析或基波的选择只是工具和跳板,最终还是要回到对时域的影响。

  最后来看离散系统,所有的分析都很类似,但还是要注意方程不同带来的框图差异。比如分式\(\dfrac{1}{1-az^{-1}}\)所代表的系统\(y[n]-ay[n-1]=x[n]\),输出\(y[n]\)移位放大后的\(ay[n-1]\),反馈给\(x[n]\)后又直接输出为\(y[n]\) 。这将导致离散系统直接型框图的一些差异,图示为分式\(\dfrac{1+3z^{-1}+5z^{-2}}{1-2z^{-1}-4z^{-2}}\)的系统框图(\(z^{-1}\)为移位操作),与差分方程的对应关系还是很直观的。

原文出处:https://www.cnblogs.com/edward-bian/p/12324871.html

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