量子隐形传态 Quantum Teleportation

2019/04/10 10:10
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量子隐形传态是量子纠缠的又一个应用。

隐形传态,所谓隐形的意思就是没有物质介质就传递了信息,在经典世界,传递信息要有介质,光、电磁波或者其他的什么,但是在量子的世界里,我可以把信息传递给你,并且不传递任何一个量子比特。

量子不能克隆原理

不能克隆就是说,没有任何一个U操作,可以输入$|\psi\rangle$ 和 $|0\rangle$ 然后得到输出 $|\psi\rangle$ 和 $|\psi\rangle$ 。

why? 若是真的有这么一个操作算符,如图a,可以复制任意的量子比特 $|u\rangle$ 我们希望的结果如下:

输入:$(\alpha_0 | 0\rangle +\alpha_1 | 1\rangle)|0\rangle$

输出:$(\alpha_0 | 0\rangle +\alpha_1 | 1\rangle)(\alpha_0 | 0\rangle +\alpha_1 | 1\rangle)$

另一方面

我们希望输入是$|00\rangle$输出也是$|00\rangle$,当输入变成$|10\rangle$后,输出也就变成$|11\rangle$

而要以上两种情况相等,只有一种可能,即$|u\rangle$是$|0\rangle$或者$|1\rangle$的时候,但是这样,也就没有叠加态的,这样复制的,也就是一个普通的bit。

量子隐形传态

如果Alice要把一个她也不知道具体状态的量子态 $|\psi\rangle=\alpha | 0\rangle +\beta | 1\rangle$ 的信息传给远方的Bob,她应该怎么办?

测量 $\alpha $ 和 $\beta$ ?

因为Alice也不知道这个比特的具体状态,所以,Alice不能直接告诉Bob $\alpha \beta$ 的值。

但是Alice也不能去测量,因为一旦测量了,就会导致量子态的坍缩,你只能得到 $|0\rangle$ 或者 $|1\rangle$ 而不能得到 $\alpha $ 和 $\beta$ 的具体值。

但是你也不能复制大量的 $|\psi\rangle$ 然后去看掉落到 $|0\rangle$ 或者 $|1\rangle$ 的概率,因为量子态不能被复制,用CNOT看似能能够copy量子态的信息,但是他们的状态是纠缠的,测量一个,另一个也就跟着坍缩了。

Teleportation with CNOT

图b是前面介绍过的CNOT门,有CNOT门,我们很容易就可以把 $\alpha_0 | 00\rangle +\alpha_1 | 10\rangle$变成 $\alpha_0 | 00\rangle +\alpha_1 | 11\rangle$ 。

此时并没有被复制,因为第一个比特和第二个比特之间还是纠缠的,也就是说你测量第一个比特,第二个就会坍缩,你测量第二个,第一个也同理,信息并没有copy两份,所以量子不可复制原理没有被打破。

接下来我们要来处理第一个比特。

如果直接测量第一个比特,很明显,第二个比特就坍缩了。

但是测量还是要测的,不过不是在 $| 0\rangle$ 、 $| 1\rangle$ 基,而是在 $| +\rangle$ 、 $| -\rangle$ 基。

$$\begin{align}|\psi\rangle&=\alpha_0|00\rangle + \alpha_1|11\rangle\&=\alpha_0(\frac{1}{\sqrt2}|+\rangle + \frac{1}{\sqrt2}|-\rangle)|0\rangle+\alpha_1(\frac{1}{\sqrt2}|+\rangle - \frac{1}{\sqrt2}|-\rangle)|1\rangle\&=\frac{1}{\sqrt2}|+\rangle(\alpha_0|0\rangle + \alpha_1|1\rangle)+\frac{1}{\sqrt2}|-\rangle(\alpha_0|0\rangle - \alpha_1|1\rangle) \end{align}$$

在 $| +\rangle$ 、 $| -\rangle$ 基对第一个比特测量: 如果测量的结果是 $|+\rangle$ ,那么第二比特的状态就是 $\alpha_0 | 0\rangle +\alpha_1 | 1\rangle$ ,正好是我们最初想要传递的态。

如果测量的结果是 $|-\rangle$ ,那么第二比特的状态就是 $\alpha_0 | 0\rangle -\alpha_1 | 1\rangle$ ,再经过Z门的翻转就是我们最初想要传递的态了。

Teleportation without CNOT

第一个量子比特是Alice想要把信息给Bob的 $|\psi\rangle=\alpha | 0\rangle +\beta | 1\rangle$ ,第二个和第三个是一对纠缠的贝尔态量子比特 $\frac{1}{\sqrt2}|00\rangle + \frac{1}{\sqrt2}|11\rangle$ ,将第二个比特放到Alice处,第三个在Bob那里。

最初三个比特的状态是 $|\phi\rangle=\alpha \frac{1}{\sqrt2}| 000\rangle +\beta \frac{1}{\sqrt2}| 100\rangle+\alpha \frac{1}{\sqrt2}| 011\rangle +\beta \frac{1}{\sqrt2}| 111\rangle$

经过CNOT门,现在的状态 $|\phi\rangle=\alpha \frac{1}{\sqrt2}| 000\rangle +\beta \frac{1}{\sqrt2}| 110\rangle+\alpha \frac{1}{\sqrt2}| 011\rangle +\beta \frac{1}{\sqrt2}| 101\rangle$

在$| 0\rangle$、$| 1\rangle$基测量第二个比特:

如果测量得到的结果是 $|0 \rangle$ ,那么接下来的第一个比特和第三个比特的状态是:$|\phi_0\rangle=\alpha | 00\rangle +\beta | 11\rangle$

如果测量得到的结果是 $|1 \rangle$ ,那么接下来的第一个比特和第三个比特的状态是:$|\phi_1\rangle=\alpha | 01\rangle +\beta | 10\rangle$ ,那么对第三个比特作用一个X门,X门的作用是$| 0\rangle$、$| 1\rangle$互换,在这之后 $|\phi_1\rangle=\alpha | 00\rangle +\beta | 11\rangle$ ,和 $|\phi_0 \rangle$ 统一

对第一个量子比特作用H门,然后在$| 0\rangle$、$| 1\rangle$基测量。(事实上,加上H门,然后测量在$| 0\rangle$、$| 1\rangle$基测量得到的结果和直接在 $| +\rangle$ 、 $| -\rangle$ 基测量的效果是一样的)

H门之后的状态:

$|\phi\rangle=\alpha (\frac{1}{\sqrt2}|0\rangle + \frac{1}{\sqrt2}|1\rangle)| 0\rangle +\beta (\frac{1}{\sqrt2}|0\rangle - \frac{1}{\sqrt2}|1\rangle)| 1\rangle$

$|\phi\rangle=|0\rangle(\frac{\alpha}{\sqrt2}|0\rangle+\frac{\beta}{\sqrt2}|1\rangle)+|1\rangle(\frac{\alpha}{\sqrt2}|0\rangle-\frac{\beta}{\sqrt2}|1\rangle)$

参考资料 Quantume Mechanics & Quantume Computation Lecture 5

原文出处:https://www.cnblogs.com/zmzzzz/p/11087037.html

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