算法分析实验之The Josephus Problem(约瑟夫问题)

03/23 15:13
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题目描述

The problem is named after Flavius Josephus, a Jewish historian who participated in and chronicled the Jewish revolt of 66-70C.E. against the Romans. Josephus, as a general, managed to hold the fortress of Jotapata for 47days, but after the fall of the city he took refuge with 40 diehards in a nearby cave. There the rebels voted to perish rather than surrender. Josephus proposed that each man in turn should dispatch his neighbor, the order to be determined by casting lots. Josephus contrived to draw the last lot, and as one of the two surviving men in the cave, he prevailed upon his intended victim to surrender to the Romans. Your task:computint the position of the survivor when there are initially n people.

输入

a Positive Integer n is initially  people. n< = 50000

输出

the position of the survivor

样例输入复制

6

样例输出

5

据说著名犹太历史学家 Josephus有过以下的故事:
在罗马人占领乔塔帕特后,39 个犹太人与Josephus及他的朋友躲到一个洞中,
39个犹太人决定宁愿死也不要被敌人抓到,于是决定了一个自杀方式,41个人排成一个圆圈,
由第1个人开始报数,每报数到第3人该人就必须自杀,然后再由下一个重新报数,直到所有人都自杀身亡为止。然而Josephus 和他的朋友并不想遵从。

首先从一个人开始,越过k-2个人(因为第一个人已经被越过),并杀掉第k个人。
接着,再越过k-1个人,并杀掉第k个人。
这个过程沿着圆圈一直进行,直到最终只剩下一个人留下,这个人就可以继续活着。
问题是,给定了和,一开始要站在什么地方才能避免被处决?
Josephus要他的朋友先假装遵从,他将朋友与自己安排在第16个与第31个位置,于是逃过了这场死亡游戏。

问题描述:n个人(编号0~(n-1)),从0开始报数,报到(m-1)的退出,剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。
我们知道第一个人(编号一定是(m-1)mod n) 出列之后,剩下的n-1个人组成了一个新的 约瑟夫环(以编号为k=m mod n的人开始):
k k+1 k+2 ... n-2,n-1,0,1,2,... k-2
并且从k开始报0。
我们把他们的编号做一下转换:
k --> 0
k+1 --> 1
k+2 --> 2
...
...
k-2 --> n-2
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题,假如我们知道这个子问题的解:例如x是最终的胜利者,那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗?!!变回去的公式很简单,相信大家都可以推出来:x'=(x+k) mod n
如何知道(n-1)个人报数的问题的解?对,只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢?当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题!好了,思路出来了,下面写 递推公式
令f表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号,最后的结果自然是f[n]
递推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m) mod i; (i>1)
有了这个公式,我们要做的就是从1-n顺序算出f的数值,最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始,我们输出f[n]+1
由于是逐级递推,不需要保存每个f,程序也是异常简单(解析来源于百度)

因为题目说的是报数到3的自杀,所以报数最多只能进行到2,m=2

#include <iostream>
using namespace std;
const int m = 2;
int main()
{
    int n, f = 0;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) f = (f + m) % i;
    cout << f + 1 << endl;
}

 

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