python 图像的离散傅立叶变换

2018/01/26 21:35
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  图像(MxN)的二维离散傅立叶变换可以将图像由空间域变换到频域中去,空间域中用x,y来表示空间坐标,频域由u,v来表示频率,二维离散傅立叶变换的公式如下:

 

  在python中,numpy库的fft模块有实现好了的二维离散傅立叶变换函数,函数是fft2,输入一张灰度图,输出经过二维离散傅立叶变换后的结果,但是具体实现并不是直接用上述公式,而是用快速傅立叶变换。结果需要通过使用abs求绝对值才可以进行可视化,但是视觉效果并不理想,因为傅立叶频谱范围很大,所以要用log对数变换来改善视觉效果。

  在使用log函数的时候,要写成log(1 + x) 而不是直接用log(x),这是为了避开对0做对数处理。

  另外,图像变换的原点需要移动到频域矩形的中心,所以要对fft2的结果使用fftshift函数。最后也可以使用log来改善可视化效果。

  代码如下:

 1 import numpy as np
 2 import matplotlib.pyplot as plt
 3 
 4 img = plt.imread('photo.jpg')
 5 
 6 #根据公式转成灰度图
 7 img = 0.2126 * img[:,:,0] + 0.7152 * img[:,:,1] + 0.0722 * img[:,:,2]
 8 
 9 #显示原图
10 plt.subplot(231),plt.imshow(img,'gray'),plt.title('original')
11 
12 #进行傅立叶变换,并显示结果
13 fft2 = np.fft.fft2(img)
14 plt.subplot(232),plt.imshow(np.abs(fft2),'gray'),plt.title('fft2')
15 
16 #将图像变换的原点移动到频域矩形的中心,并显示效果
17 shift2center = np.fft.fftshift(fft2)
18 plt.subplot(233),plt.imshow(np.abs(shift2center),'gray'),plt.title('shift2center')
19 
20 #对傅立叶变换的结果进行对数变换,并显示效果
21 log_fft2 = np.log(1 + np.abs(fft2))
22 plt.subplot(235),plt.imshow(log_fft2,'gray'),plt.title('log_fft2')
23 
24 #对中心化后的结果进行对数变换,并显示结果
25 log_shift2center = np.log(1 + np.abs(shift2center))
26 plt.subplot(236),plt.imshow(log_shift2center,'gray'),plt.title('log_shift2center')

  运行结果:

   根据公式实现的二维离散傅立叶变换如下:

 1 import numpy as np
 2 import matplotlib.pyplot as plt
 3 PI = 3.141591265
 4 img = plt.imread('temp.jpg')
 5 
 6 #根据公式转成灰度图
 7 img = 0.2126 * img[:,:,0] + 0.7152 * img[:,:,1] + 0.0722 * img[:,:,2]
 8 
 9 #显示原图
10 plt.subplot(131),plt.imshow(img,'gray'),plt.title('original')
11 
12 #进行傅立叶变换,并显示结果
13 fft2 = np.fft.fft2(img)
14 log_fft2 = np.log(1 + np.abs(fft2))
15 plt.subplot(132),plt.imshow(log_fft2,'gray'),plt.title('log_fft2')
16 
17 h , w = img.shape
18 #生成一个同样大小的复数矩阵
19 F = np.zeros([h,w],'complex128')
20 for u in range(h):
21     for v in range(w):
22         res = 0
23         for x in range(h):
24             for y in range(w):
25                 res += img[x,y] * np.exp(-1.j * 2 * PI * (u * x / h + v * y / w))
26         F[u,v] = res
27 log_F = np.log(1 + np.abs(F))
28 plt.subplot(133),plt.imshow(log_F,'gray'),plt.title('log_F')

  直接根据公式实现复杂度很高,因为是四重循环,时间复杂度为O(M2N2),所以实际用的时候需要用快速傅立叶变换来实现

 参考

1、https://www.cnblogs.com/xianglan/archive/2010/12/30/1922386.html

 

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