Modeling Filters and Whitening Filters

2018/06/27 23:55
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Colored and White Process

White Process

White Process,又称为White Noise(白噪声),其中white来源于白光,寓意着PSD的平坦分布,white noise指的就是在PSD上具有平坦分布(常数)的随机过程。PSD是auto-correlation的傅里叶变换,PSD上为常数意味着auto-correlation是一个位于零点上的脉冲函数。

image回顾auto-correlation的定义:

$R_{xx}(\tau) = E\Big\{x(t+\tau)x(t)\Big\}$

Auto-correlation在零点上为脉冲,除此之外都是0,这表明了各个采样点之间是相互独立的,正是由于各采样点之间相互独立,才体现出了white noise的white这一特点

理想的White noise要求PSD是一个常数,不过由于传输媒介以及有限的监测能力的关系,通常我们所得到的PSD都受限于某个带宽范围之内,因此如果一个process的PSD在监测范围(或者我们所感兴趣的频率范围)表现得平坦的话,就可以称该process为white noise。比如,如果一个音频的PSD在20~20000Hz内表现平坦的话,我们就可以称该音频为white noise。

 

i.i.d. process就是一个最简单white noise的例子。i.i.d. process中样本的PDF常见的有Uniform、Poisson、Gaussian等分布方式,如果PDF为Gaussian,则该process称为Gaussian white noise。

 

Colored Process

PSD表现得平坦的就是white noise,否则就是colored process。

 

 

Modeling Filter

输入为white process,输出为colored process的LTI系统被称为Modeling filter或者shaping filter。如果我们需要某个PSD为$S_{xx}(e^{j\Omega})$的process,可以通过设计一个LTI系统,并且对该系统输入mean为0的Bernoulli process(PSD为常数1)来得到,所设计的系统需要使得输出的process的PSD为$S_{xx}(e^{j\Omega})$。根据WSS Process在LTI系统中的性质,有

$\displaystyle{ H(e^{j\Omega}) = \sqrt{S_{xx}(e^{j\Omega})} }$

我们只需要对$H(e^{j\Omega})$进行傅里叶逆变换就可以得到所需LTI系统的脉冲响应$h[n]$。

image

 

其中也可能会出现一些特殊情况,比如说所需要的process的PSD,即$S_{xx}(e^{j\Omega})$中包含脉冲,这些情况下,PSD可以表示为脉冲PSD非脉冲PSD之和,由于傅里叶变换的线性性质,LTI系统的脉冲响应最终也可以表示为脉冲PSD的脉冲响应非脉冲PSD的脉冲响应之和。非脉冲PSD可以按照上面的步骤求解,而脉冲PSD主要分为两种情况:

  • 脉冲在零点。那么脉冲PSD的脉冲响应是一个常数,该常数的大小与脉冲PSD的大小有关。
  • 脉冲在$\Omega = \pm \Omega_0\neq 0$上。那么脉冲PSD的脉冲响应是一个余弦函数$Acos(\Omega_0 n+\Theta)$,其中$A$以及$\Theta$都与脉冲PSD的大小有关。

hybrid_PSD

※这一段只是计算时需要,不算理解时的重点,如想加深了解,请参考常用序列的DTFT

 

 

Whitening Filter

输入为colored process,输出为white process的LTI系统被称为Whitening filter。如下系统框图:

image

输入process为$x[n]$,其PSD为$\displaystyle{S_{xx}(e^{j\Omega}) = \mathcal{F}R_{xx}[m]}$,输出为白噪声,该白噪声的variance为$\sigma_{w}^2$,mean为0。

那么根据WSS Process在LTI系统中的性质,有

$\displaystyle{S_{ww}(e^{j\Omega}) = |H(e^{j\Omega})|^2S_{xx}(e^{j\Omega})}$

进一步可以推导出(详情请查看Reference的第二条链接)

$\displaystyle{|H(e^{j\Omega})|^2 = \frac{\sigma_w^2}{S_{xx}(e^{j\Omega})}}$

 

 

Reference:

Alan V. Oppenheim: Signals, Systems and Inference, Chapter 10:Power Spectral Density

Where does the delta function come from if we derive autocorrelation directly?

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