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穿针引线法的前世今生

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发布于 2018/08/06 11:45
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前言

前世方法

  • 穿针引线法的前世--零点分区间讨论法

说起穿针引线法,不得不说零点分区间讨论法,比如碰到高次不等式,也有人这样来解。

比如解不等式$(x+1)(x-2)(x+3)>0$,为便于表述令$P=(x+1)(x-2)(x+3)$,

先找到零点$x=-3,x=-1,x=2$,然后分区间列表得到</br>

$$\begin{array}{c |ccccccc} x范围& x<-3&x=-3&-3<x<-1&x=-1&-1<x<2&x=2 &x>2\ \hline P的值& - & 0 &+& 0 & - & 0 & + \ \end{array}$$

由表格就可以得到不等式的解集${x\mid -3<x<-1 或x>2}$。

这和绝对值不等式的解法中的零点分区间讨论法是一样的。后来有人对此方法做了改进,就得到了穿针引线法。

方法今生

  • “穿针引线法”也叫“数轴标根法”,或“数轴穿根法”或“穿根法”,准确的说,应该叫做“序轴标根法”。

序轴:省去原点和单位,只表示数的大小的数轴。序轴上标出的两点中,左边的点表示的数比右边的点表示的数小。

  • 当高次不等式$f(x)>0(或<0)$的左边整式,分式不等式$\cfrac{\phi(x)}{h(x)}>0(<0)$的左边分子、分母能分解成若干个一次因式的积$(x-a_1)(x-a_2)\cdots (x-a_n)$的形式,可把各因式的根标在序轴上,形成若干个区间,最右端的$f(x)$,$\cfrac{\phi(x)}{h(x)}$的值必须为正值,从右往左通常为正值、负值依次相间,这种解不等式的方法称为序轴标根法。为了形象地体现正负值的变化规律,可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点,穿过最后一个点后就不再变方向,这种画法俗称“穿针引线法“。很显然,这种方法体现了数形结合思想,所以用起来很方便。

  • 据说是河南省信阳市高二的一名老教师,于上世纪八十年代发表的一篇论文上介绍此法,从此流传开来。

使用步骤

我们以穿针引线法解不等式$x^3-x+2>2x^2$为例,加以说明。

第一步:<font color=red>一端化为$0$</font>;先将不等式转化为$f(x)>0(<0)$的形式。为什么呢,其实这种方法是利用了高中数学中的“函数与方程”思想,做出函数$y=f(x)$和数轴$y=0$,利用两个函数图像的交点来解读不等式。所以右端必须化为$0$。比如我们将不等式$x^3-x+2>2x^2$转化为$x^3-2x^2-x+2>0$;

第二步:<font color=red>分解调系数</font>;将不等式$x^3-2x^2-x+2>0$分解为$(x-2)(x-1)(x+1)>0$;务必将每一个因式的最高次项的系数调整为正值,比如某不等式分解后为$(2-x)(x+1)(x+3)>0$,就必须调整为$(x-2)(x+1)(x+3)<0$, 分解方法

第三步:<font color=red>变等求零点</font>;将上述的不等式$f(x)>0$的不等号变成等号即$f(x)=0$,求出函数$f(x)$的零点;如令$(x-2)(x-1)(x+1)=0$;得到零点为$x=-1,x=1,x=2$

<img src="http://images2015.cnblogs.com/blog/992978/201707/992978-20170715171055978-1076961298.png" />

第四步:<font color=red>序轴并标根</font>;在序轴上从左到右按照大小依次标出各根$-1,1,2$。

第五步:<font color=red>划线穿序轴</font>;以序轴为标准,从“最右端的根$2$”的右上方穿过序轴,往左下画线,然后又穿过“次右根$1$”上去,一上一下依次穿过各根。

第六步:<font color=red>读图写解集</font>;观察不等号,如果不等号为$>$,则取数轴上方,穿根线以内的范围;如果不等号为$<$,则取数轴下方,穿根线以内的范围。

比如不等式$(x-2)(x-1)(x+1)>0$的解集为${x\mid -1<x<1或x>2}$。

  • 可以简单记为秘籍口诀:自上而下,自右而左,奇穿偶不穿;

注意事项

使用“穿针引线法”时,常犯以下的几种错误:

①如将不等式分解为$(x+2)(1-x)(x+3)>0$解直接穿根,错在需要将其调整为$(x+2)(x-1)(x+3)<0$再穿根;

当然不等式$(x+2)(x^2-1)<0$也不能直接穿根,因为没有分解到最后;

<img src="http://images2015.cnblogs.com/blog/992978/201707/992978-20170715171103447-1427558732.png" />

②没有分清重根的奇偶,比如不等式$(x-0.5)^2(x-1)(x-2)^3>0$,其中根$x=0.5$是二次重根(偶次重根),根$x=1$是一次重根(奇次重根),根$x=2$是三次重根(奇次重根),故穿根时,在$x=2$和$x=1$出都是一次穿过,而在根$x=0.5$处,是穿而不过,就像蜻蜓点水一样。

③出现不能再分解的二次因式时,简单地放弃“穿针引线”,如$x(x+1)(x-2)(x^3-1)>0$也可以用,先化为$x(x+1)(x-2)(x-1)(x^2+x+1)>0$,注意到二次三项式$x^2+x+1$由于其$\Delta <0$,故$x^2+x+1>0$恒成立,所以原不等式等价于$x(x+1)(x-2)(x-1)>0$,穿针引线法如右图得到解集${x\mid x<-1或0<x<1或x>2}$。

<img src="http://images2015.cnblogs.com/blog/992978/201707/992978-20170715175222478-637245196.png" />

④以为只可以用来解高次不等式,不能用来解分式不等式,比如解分式不等式$\cfrac{x(x-2)}{(x-1)(x+1)}>0$,利用符号法则,就可以等价转化为$x(x+1)(x-2)(x-1)>0$,故解集同上。具体解分式不等式时,我们甚至不需要将其转化为整式不等式,直接穿根就行了。

适用范围

可以用来解高次不等式和分式不等式,当然也可以解一次和二次不等式。等到使用熟练后,我们利用心算能力就可以画图写出解集了。

对应练习

可以使用转化法或者穿根法求解;

<LT>练1</LT>解不等式$x<\cfrac{1}{x}<x^2$;

分析:先转化为$\left{\begin{array}{l}{x<\cfrac{1}{x}①}\{\cfrac{1}{x}<x^2②}\end{array}\right.$,再用穿根法分别求解,

解①$\cfrac{x^2-1}{x}<0$得到$x<-1$或$0<x<1$;解②$\cfrac{x^3-1}{x}>0$得到$x<0$或$x>1$,

①②求交集得到,解集为$(-\infty,-1)$.

<LT>练2</LT>解不等式$\cfrac{2}{x+1}<1$;

提示:$(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$

<LT>练3</LT>解不等式$\cfrac{x-2}{x^2-1}<0$;

提示:$(-\infty,-1)\cup(1,2)$

<LT>练4</LT>解不等式$\cfrac{x^2-x-6}{x}\leqslant 0$;

提示:$(-\infty,-2]\cup(0,3]$

<LT>练5</LT>解不等式$\cfrac{6}{x-4}+1<0$;

提示:$(-2,4)$

<LT>练6</LT>解不等式$(x^2-4)(x-6)^2\leqslant 0$;

提示:$[-2,2]\cup{6}$;

相关阅读

1、因式分解法参见打开博文的试商法,分组分解法,多项式除法

2、零点分区间讨论法解绝对值不等式

3、穿根法的另类应用

比如函数$f(x)=(x+1)^2\cdot (x-2)$,我们可以做出函数的图像,

<center> <iframe src="https://www.desmos.com/calculator/fswepfsip6?embed" width="500px" height="500px" style="border: 1px solid #ccc" frameborder=0></iframe> <center>

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