动画 | 什么是红黑树?(与2-3-4树等价)

2019/04/10 10:10
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二分搜索树是为了快速查找而生,它是一颗二叉树,每一个节点只有一个元素(值或键值对),左子树所有节点的值均小于父节点的值,右子树所有的值均大于父节点的值,左右子树也是一颗二分搜索树,而且没有键值相等的节点。它的查找、插入和删除的时间复杂度都与树高成比例,期望值是O(log n)。

但是插入数组如[],二分搜索树的缺点就暴露出来了,二分搜索树退化成线性表,查找的时间复杂度达到最坏时间复杂度O(n)。

动画:二分搜索树退化成线性表

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那有没有插入和删除操作都能保持树的完美平衡性(任何一个节点到其叶子节点的路径长度都是相等的)?

有,B树。B树是一种自平衡的树,根节点到其叶子节点的路径高度都是一样的,能够保持数据有序(通过中序遍历能得到有序数据)。B树一个节点可以拥有2个以上的子树,如2-3树、2-3-4树甚至2-3-4-5-6-7-8树,它们满足二分搜索树的性质,但它们不属于二叉树,也不属于二分搜索树。

2-3-4树的完美平衡,每条从根节点到叶子节点的路径的高度都是一样的

2-3-4树有以下节点组成:

2-节点,含有一个元素(值或键值对)和两个子树(左右子树),左子树所有的值均小于父节点的值,右子树所有的值均大于父节点的值;

3-节点,含有两个元素和三个子树,左子树所有的值均小于父节点最小元素的值,中间子树所有的值均位于父节点两个元素之间,右子树所有的值均大于父节点最大元素的值;

4-节点,含有三个元素和四个子树,节点之间的比较也满足二分搜索树的性质。

2-3-4树查找算法

2-3-4树的查找类似二分搜索树的查找。

2-3-4树插入算法

2-3-4树的插入算法是消除当前节点是4-节点,将4-节点分解成多个2-节点,中间的2-节点与父节点合并成3-节点或4-节点。

沿着链接向下进行变换分解4-节点分为两种情况:

1)4-节点作为根节点,分解成3个2-节点,中间的2-节点作为根节点;

2)当前节点为4-节点,分解成3个2-节点,中间的2-节点与父节点合并成3-节点或4-节点;

file 图:沿着链接向下进行变换,分解4-节点

在沿着左右链接向下进行变换的同时,也会进行命中查找。如果元素是键值对的话,查找命中将旧的值赋值为新的值;如果元素是一个值的话,查找命中将忽略之,因为二分搜索树需要满足没有相等的元素;如果需要支持重复的元素,则在元素对象添加count属性,默认为1。

如果查找未命中,则将待插入元素插入在叶子节点上。树底下插入一个元素只有两种情况:向2-节点中插入和向3-节点中插入。

file 图:树底下插入一个元素

2-3-4树删除算法

2-3-4树的删除算法是消除当前节点是2-节点,向兄弟节点或父节点借一个元素过来。

删除最小元素

从根节点的左孩子开始,沿着左链接向下进行变换可以分为三种情况:

1)当前节点不是2-节点,跳过;

2)当前节点是2-节点,兄弟节点是2-节点,将当前节点、父节点最小元素和兄弟节点合并为4-节点,当前节点变换成4-节点;

3)当前节点是2-节点,兄弟节点不是2-节点,将兄弟节点的最小元素移到父节点,父节点的最小元素移到当前节点,当前节点变换成3-节点。

file 图:沿着左链接向下进行变换

删除最大元素

从根节点的右孩子开始,沿着右链接向下进行变换也同样分为三种情况:

1)当前节点不是2-节点,跳过;

2)当前节点是2-节点,兄弟节点是2-节点,将当前节点、父节点的最大元素和兄弟节点合并为4-节点,当前节点变换成4-节点;

3)当前节点是2-节点,兄弟节点不是2-节点,将兄弟节点的最大元素移到父节点,父节点的最大元素移到当前节点,当前节点变换成3-节点。

file 图:沿着右链接向下进行变换

删除任意元素

学习过删除最小元素和删除最大元素算法之后,删除任意元素的算法自然就简单了。删除任意元素算法需要先进行命中查找,若查找命中,则将右子树的最小值替换掉待删除元素,然后将右子树进行删除最小元素的算法。

2-3-4树虽满足二分搜索树的性质,但不是一颗二分搜索树。如果期望它是一颗二分搜索树,就需要将3-节点和4-节点替换为多个2-节点,还需要注明元素之间的关系(用红链接表示)。

替换3-节点和4-节点

file 图:替换3-节点

file 图:替换4-节点

但是存在一个问题,2-3-4树因为3-节点的不同表示会有很多种不同的红黑树,3-节点既可以左倾,也可以右倾。所以为了保证树的唯一性,3-节点只考虑左倾,当然你也可以只考虑右倾。

这样对于任何一颗2-3-4树,只考虑左倾的情况下,都能得到唯一的一颗对应的红黑树,这种树也叫左倾红黑树,相对比较减少了复杂性,设计更容易被实现。

红黑树查找算法

红黑树的查找算法和二分搜索树一样。

关于链接的颜色变换只跟颜色转换有关,而旋转不会改变链接的颜色变换,只在被红链接指向的节点变成红色,被黑链接指向的节点变成黑色。

旋转

旋转是将不满足红黑树性质的3-节点和4-节点进行旋转,如果3-节点出现右链接,则将右链接通过左旋转变成左链接;如果4-节点出现一个红节点连着两条红链接,则将4-节点配平。

左旋转

file 图:左旋转

右旋转

file 图:右旋转

file 图:3-节点和4-节点的旋转

Code:右旋转和左旋转

file

颜色转换

颜色转换只应用于4-节点。

file 图:颜色转换

Code:颜色转换

file

红黑树插入算法

回顾之前的2-3-4树的插入算法,它有两个过程:沿着链接向下进行分解4-节点和树底下插入一个元素。

红黑树的插入算法和2-3-4树的插入算法类似,它不仅包含前面两个过程,还增加了向上进行变换的过程,此过程是将3-节点左倾和4-节点配平。

红黑树插入算法会先从根节点开始,沿着左右链接向下进行变换,目的是为了分解4-节点。如果该节点的左右孩子都是红节点,则通过flipColors方法进行颜色转换,接着进行下一个子节点;如果不是,则直接进行下一个子节点。

到达树底的时候,则意味着可以开始插入新的元素。

如果红黑树目前是一颗空树,插入红色的元素作为第一个节点,然后该节点变成黑色。如果不是一颗空树,插入元素分为三种情况:向2-节点插入新元素、向3-节点插入新元素和向4-节点插入新元素。

向2-节点插入新元素

向2-节点插入新元素很简单,如果新元素的值小于父节点,直接插入红色的节点即可;如果新元素的值大于父节点,则产生一个红色右链接,插完之后则将3-节点进行左旋转,将右链接变成左链接,被红链接指向的节点变成红色,被黑链接指向的节点变成黑色。

file 图:向2-节点插入新元素

向3-节点插入新元素

因为前面的3-节点进行过旋转,此时的3-节点肯定满足左倾红黑树的性质。向3-节点插入新元素分为三种情况:

1)新元素的值位于3-节点中的两元素之间;

2)新元素的值小于3-节点中的最小元素;

3)新元素的值大于3-节点中的最大元素。

file 图:向3-节点插入新元素

##### 向4-节点插入新元素

向4-节点插入新元素之前需要先进行颜色转换,才可以进行插入新的元素。

file 图:向4-节点插入新元素

插完新元素之后需要满足红黑树的性质,则在沿着父节点的链接向上进行变换,具体做法和向3-节点插入新元素的做法类似,通过左旋转将3-节点左倾和左右旋转将4-节点配平,没有颜色转换。

动画:2-3-4树与红黑树的插入

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Code:红黑树插入算法

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红黑树删除算法

红黑树删除算法也需要进行旋转和颜色转换操作,在插入算法中为了待插入元素所在的节点不是4-节点,所以在沿着左右链接向下进行变换时将4-节点分解成3个2-节点,中间的2-节点与父节点合并;而在删除算法中为了待删除元素所在的节点不是2-节点,所以在沿着左右链接向下进行变换时将2-节点向其它不是2-节点的节点(兄弟节点或父节点)借一个元素过来,合并成3-节点。

所以,只要是2-节点的节点,如果兄弟节点不是2-节点,就将兄弟节点的与父节点邻近的元素移到父节点,而父节点将与当前节点邻近的元素移到当前节点;如果兄弟节点是2-节点,则将父节点的与当前节点邻近的元素移到当前节点。(是不是很绕?待会在后面删除最值算法中详细给出)

然后删除完一个元素之后需要进行修复调整,将这个树满足红黑树的性质。如果右链接是红色,将右链接通过左旋转变成左链接;如果有连续的左链接,通过右旋转配平,然后进行颜色转换。

Code:向上变换(修复调整)

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删除最小元素

删除最小元素算法和二分搜索树一样,一直递归它的左孩子,直到它的左孩子为空才进行删除这个最小元素。但是红黑树在递归的同时如何旋转和颜色转换是个问题。

删除最小元素算法一直沿着左链接向下进行转换,对照2-3-4树,我们可以给出三种情况,从根节点开始:

1)当前节点(父节点位置)的左子节点不是2-节点,直接进行下一个节点(左子节点);

2)当前节点的左子节点和右子节点都是2-节点,则将左子节点、当前节点的最小元素和右子节点合并成4-节点,然后进行下一个节点;

3)当前节点的左子节点是2-节点,右子节点不是2-节点,则将右子节点的最小元素移到当前节点的位置,当前节点的最小元素移到左子节点,然后进行下一个节点。

file 图:沿着左链接向下进行转换

Code:沿着左链接向下变换

file

直到某元素左孩子为空的时候,此时的元素是这个树的最小元素。因为通过前面的转换,最小元素肯定被一个红链接指向,删除这个元素之后通过balance方法修复调整为红黑树。

Code:删除最小元素算法

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删除最大元素

删除最大元素算法和删除最小元素算法类似的,也分为三种情况:

1)当前节点(父节点位置)的右子节点不是2-节点,直接进行下一个节点(右子节点);

2)当前节点的右子节点和左子节点都是2-节点,则将右子节点、当前节点的最大元素和左子节点合并成4-节点,然后进行下一个节点;

3)当前节点的右子节点是2-节点,左子节点不是2-节点,则将左子节点的最大元素移到当前节点的位置,当前节点的最大元素移到左子节点,然后进行下一个节点。

file 图:沿着右链接向下进行变换

Code:沿着右链接向下变换

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Code:删除最大元素算法

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删除任意元素

学习过前面的删除最小元素算法和删除最大元素算法,删除任意元素会变得很简单。删除最小元素算法会一直沿着左链接向下进行变换,删除最大元素算法会一直沿着右链接向下进行变换,而删除任意元素算法需要同时存在着左右链接向下进行变换。

删除任意元素算法需要先进行命中查找,在命中查找的过程中会进行沿着左右链接向下变换,如果查找命中则将右子树的最小元素替换掉待删除元素,然后进行右子树的删除最小元素算法;如果查找未命中,则直接返回balance函数,向上将3-节点左倾或将4-节点配平。

Code:删除任意元素算法

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动画:2-3-4树与红黑树的删除

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学习完上面的算法之后,可以总结下红黑树的性质:

1)每个节点或是红色的,或是黑色的;

2)根节点是黑色的;

3)每个叶子节点(NIL)是黑色的;

4)如果一个节点是红色的,则它的两个子节点都是黑色的(NIL节点也是黑色的);

5)对每个结点,从该节点到其所有后代叶子节点的简单路径上,均包含相同数目的黑色节点(黑链接平衡)。

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原文出处:https://www.cnblogs.com/wotxdx/p/12230482.html

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