超定方程组最优解(最小二乘解)推导

2018/07/13 13:35
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##一、超定方程组## 超定方程组即为有效方程个数大于未知数个数的方程组。(这里只讨论多元一次的情况) 超定方程组可以写成矩阵的形式: \begin{equation} \begin{split} Ax=b \end{split} \end{equation} 其中$A$为$m\times n$的矩阵,其与$b$组成的增广矩阵$[A|b]$的秩大于$n$。$x$为$n$维列向量未知数。 ##二、超定方程组的最小二乘解## 超定方程组是无解的,但是我们可以求得其最小二乘解,就是将等式左右两端乘上$A$的转置。 \begin{equation} \begin{split} A^TAx=A^Tb \end{split} \end{equation} 该方程有增广矩阵$[A^TA|A^Tb]$的秩等于$n$,即该方程的未知数的个数等于有效方程的个数,所以该方程有唯一解且为原方程的最小二乘解。 <font color='red'>平时记住结论直接用就好</font> ##三、推导过程## (记录,大家不要看:其实小生也是只知道结论不知道结论是怎么来的,不过有一天看斯坦福大学的机器学习公开课的第二节,看到了推导过程。) ###1.前置结论###

  1. $trAB = trBA$
  2. $trABC = trBCA = trCAB$
  3. $\nabla_AtrAB = B^T$
  4. $trA = trA^T$
  5. $tra = a$ 6)$\nabla_AtrABA^TC = CAB + C^TAB^T$ tr代表矩阵的迹,大写字母为矩阵小写字母表示实数,$\nabla表示求导$。

###2.公式推导### 作差 \begin{equation} \begin{split} Ax-b = \left[ \begin{array}{c} a_1^Tx - b_1 \ \vdots \ a_m^T - b_m \end{array} \right ] \end{split} \end{equation}

构建最小二乘 \begin{equation} \begin{split} \frac{1}{2}(Ax-b)^T(Ax-b) = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^m(a_i^Tx-b_i)^2 \end{split} \end{equation}

对$x$求导 \begin{equation} \begin{split} \nabla_x \frac{1}{2}(Ax-b)^T(Ax-b) = \nabla_x tr(x^TA^TAx-x^TA^Tb-b^TAx+b^Tb) \end{split} \end{equation}

利用前置结论2)4)5) \begin{equation} \begin{split} \nabla_x \frac{1}{2}(Ax-b)^T(Ax-b) = \nabla_xtr[xx^TA^TA-\nabla_xb^TAx-\nabla_xb^TAx] \end{split} \end{equation}

其中利用前置结论6) 注:大括号下的A为前置结论中的A,大括号上的A为矩阵A。

\begin{equation} \nabla_xxx^TA^TA = \nabla_x \cdot \underbrace{x}_A \cdot \underbrace{I}_B \end{equation}

\begin{equation} \cdot \underbrace{x^T}_{A^T} \cdot \underbrace{A^TA}_C \end{equation}

利用前置结论1)3) \begin{equation} \begin{split} \nabla_x\underbrace{b^TA}_B\underbrace{x}_A = A^Tb \end{split} \end{equation}

所以就有: \begin{equation} \begin{split} \frac{1}{2}(Ax-b)^T(Ax-b) = A^TAx - A^Tb = 0 \end{split} \end{equation}

则有: \begin{equation} A^TAx = A^Tb \end{equation} \begin{equation} x=(A^TA)^{-1}A^Tb \end{equation}

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