【编程练习】正整数分解为几个连续自然数之和

04/20 16:09
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题目:输入一个正整数,若该数能用几个连续正整数之和表示,则输出所有可能的正整数序列。

一个正整数有可能可以被表示为n(n>=2)个连续正整数之和,如:
15=1+2+3+4+5
15=4+5+6
15=7+8


有些数可以写成连续N(>1)个自然数之和,比如14=2+3+4+5;有些不能,比如8.那么如何判断一个数是否可以写成连续N个自然数之和呢?

一个数M若可以写成以a开头的连续n个自然数之和,则M=a+(a+1)+(a+2)+…+(a+n-1)=n*a+n*(n-1)/2,要求a!=0,否则就是以a+1开头的连续n-1个整数了,也就是要求(M-n*(n-1)/2)%n==0,这样就很容易判断一个数可不可以写成连续n个自然数的形式了,遍历n=2…sqrt(M)*2,还可以输出所有解。

copycode

void divide(int num)  
{  
    int i,j,a;  
    for(i=2; i<=sqrt((float)num)*2; ++i)  
    {  
        if((num-i*(i-1)/2)%i==0)  
        {  
            a=(num-i*(i-1)/2)/i;  
            if(a>0)  
            {  
                for(j=0; j<i; ++j)  
                    cout<<a+j<<" ";  
            }  
            cout<<endl;  
        }  
    }   
}

copycode[1]

第二个问题是什么样的数可以写成连续n个自然数之和,什么样的数不能?

通过编程实验发现,除了2^n以外,其余所有数都可以写成该形式。下面说明为什么。
若数M符合条件,则有M=a+(a+1)+(a+2)+…+(a+n-1)=(2*a+n-1)*n/2,而2*a+n-1与n肯定一个为奇数一个为偶数,即M一定要有一个奇数因子,而所有2^n都没有奇数因子,因此肯定不符合条件。
再证明只有M有一个奇数因子,即M!=2^n,M就可以写成连续n个自然数之和。假设M有一个奇数因子a,则M=a*b。

  1. 若b也是奇数,只要b-(a-1)/2>0,M就可以写成以b-(a-1)/2开头的连续a个自然数;将这条结论里的a和b调换,仍然成立。15=3*5=1+2+3+4+5=4+5+6.
  2. 若b是偶数,则我们有一个奇数a和一个偶数b。
  • 2.1 若b-(a-1)/2>0,M就可以写成以b-(a-1)/2开头的连续a个自然数。24=3*8=7+8+9.
  • 2.2 若(a+1)/2-b>0,M就可以写成以(a+1)/2-b开头的连续2*b个自然数。38=19*2=8+9+10+11.

上述两个不等式必然至少有一个成立,所以可以证明,只要M有一个奇数因子,就一定可以写成连续n个自然数之和。

另一个正整数分解的算法:
sum(i,j)为i累加到j的和 
令 i=1 j=2 
if sum(i,j)>N i++ 
else if sum(i,j)<N j++ 
else cout i...j




参考代码:

copycode[2]

#include <iostream>   
using namespace std;  
  
int add(int m,int n)  
{  
    int sum=0;  
    for(int i=m;i<=n;i++)  
        sum+=i;  
    return sum;  
}  
  
void divide(int num)  
{  
    int i=1,j=2,flag;  
    int sum=0;  
    while(i<=num/2)  
    {  
     sum=add(i,j);  
     while(sum!=num)  
     {  
        if(sum>num)  
            i++;  
        else  
            j++;  
        sum=add(i,j);  
     }  
     for(int k=i;k<=j;k++)  
        cout<<k<<" ";  
     ++i;  
     cout<<endl;  
    }  
}  
  
int main()  
{  
    int num;  
    cout<<"Please input your number:"<<endl;  
    cin>>num;  
    divide(num);  
    return 0;  
}

copycode[3]

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