问题描述：
对于两个序列X和Y的公共子序列中，长度最长的那个，定义为X和Y的最长公共子序列。X Y 各自字符串有顺序，但是不一定需要相邻。
最长公共子串(Longest Common Substring )：顺序相同，并且各个字符的位置也必须相邻。
最长公共子序列(Longest Common Subsequence，LCS )：顺序形同，各个字符的位置不一定相邻。
比如：
字符串 13455 与 245576 的最长公共子序列为455
字符串 acdfg 与 adfc 的最长公共子序列为adf adf在acdfg中的顺序相同，但是不相邻。
1：暴力求解
即对X的每一个子序列，检查它是否也是Y的子序列，从而确定它是否为X和Y的公共子序列，并且在检查过程中选出最长的公共子序列。X和Y的所有子序列都检查过后即可求出X和Y的最长公共子序列。X的一个子序列相应于下标序列{1, 2, …, m}的一个子序列，因此，X共有2m个不同子序列（Y亦如此，如为2^n，每个元素都有取或者不取的情况），从而穷举搜索法需要指数时间（2^m * 2^n）。
2：动态规划
先定义一些内容：定义两个字符串X,Y
Xi=<x1,x2.....xi> 表示字符串的 i 前缀
Yj = <y1,y2....yj> 表示字符串y的j前缀
用LCS(Xi,Yj) 表示字符串X，Y的最长公共子序列
如果：
- Xm = Yn（如果字符串X的第m位置上的字符等于字符串Y的第n个位置上的字符(下面类似，不再表述)）
则LCS(Xm,Yn) = LCS(Xm-1,Yn-1)+Xm
- Xm != Yn
则LCS(Xm,Yn) = LCS(Xm-1,Yn) 或者LCS(Xm,Yn)=LCS(Xm,Yn-1)
但是为了追求最大的公共子串则可以这么定义：LCS(Xm,Yn) = max { LCS ( Xm-1 , Yn ) , LCS( Xm , Yn-1 ) }
所以综上两种情况，我们可以得出如下的推导公式：
最后的最长公共子序列 ，为了将问题变成数学问题，可以这么定义上面的过程。
- 利用一个二维数组表示每一部分LCS的长度 c[m][n]
- 用c[i][j] 记录字符串Xi和Yj的最长公共子序列长度。
因此可以得到下面的推论：
为了方便表示，我们可以将字符的从1开始。
下面是一个实例图
对于 X = ABCBDAB
Y = BDCABA
下面是具体的代码演示：
1 import java.util.Stack;
2
3 /**
4 * 题目：最长公共子序列。(longest common subsequence)
5 * 比如字符串a = acdfg b =adfc 则其lcs 为 adf 。
6 * 思路：可以利用动态规划的思想。
7 *
8 * @author Xia
9 *
10 */
11 public class StringLCS {
12 public String lsc(String s1,String s2){
13 int len1 = s1.length();
14 int len2 = s2.length();
15 //用一个二维数组表示，这里面为了方便表示将数组行、列都扩大一个(想一想原因，可以结合上面的模式图思考)
16 int[][] c = new int[len1 + 1][len2 + 1];
17 //为了配合上面的增加一列，字符串中也应该增加一个字符
18 s1 = ","+s1;
19 s2 = "?"+s2;
20
21 //c中的第一行第一列都赋值为0
22 int i,j;
23 for (i = 0; i <= len1; i++) {
24 c[i][0] = 0;
25 }
26
27 for (j = 0; j <= len2; j++) {
28 c[0][j] = 0;
29 }
30 //这里面开始遍历的时候必须从1开始
31 for ( i = 1; i <= len1; i++) {
32 for ( j = 1; j <= len2; j++) {
33 if (s1.charAt(i) == s2.charAt(j)) {
34 c[i][j] = c[i-1][j-1]+ 1;
35 }else {
36 c[i][j] = Math.max(c[i-1][j], c[i][j-1]);
37 }
38 }
39 }
40 //--------------两层for循环结束后即可得到最长公共子序列的长度
41
42 //--------------开始求解最长公共子序列------------------
43 //从求好的二维数组末端开始向前寻找,那么为了最后能够最长的输出子序列，需要定义一个stack
44 i = len1;
45 j = len2;
46 Stack<Character> s = new Stack<Character>();
47 while (i != 0 && j != 0) {
48 if (s1.charAt(i) == s2.charAt(j)) {
49 s.push(s1.charAt(i));
50 i--;
51 j--;
52 }else {
53 if (c[i][j-1] > c[i-1][j]) {
54 j--;
55 }else {
56 i--;
57 }
58 }
59 }
60 //-------------到这一步，已经求好了最长公共子序列并且存储在stack中
61 StringBuilder sb = new StringBuilder();
62 while (!s.isEmpty()) {
63 sb.append(s.pop());
64 }
65 return sb.toString();
66 }
67
68 }
测试类：
public class Test {
public static void main(String[] args) {
StringLCS lcs = new StringLCS();
String s1 = "acdfg";
String s2 = "adcf";
String result = lcs.lsc(s1, s2);
System.out.println(result); //acf
}
}
总结：根据最后的结论，多运行几次我们可以看到，其实最长公共子序列是可以有多种情况的。
还会继续更新关于其他的字符串的操作算法演示。
