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有趣的智力题

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 osc_mervd488
发布于 2018/04/23 17:30
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偶然在订阅号中看到一些校招的智力题,觉得有点意思,于是花了些时间收集一些,网上搜了下,在此mark下~~

  1. 有20瓶药丸,其中19瓶装有1克/粒的药丸,余下一瓶装有1.1克/粒的药丸。给你一台称重精准的天平,怎么找出比较重的那瓶药丸?天平只能用一次。

解法:有时候,严格的限制条件有可能反倒是解题的线索。在这个问题中,限制条件是天平只能用一次。因为天平只能用一次,我们也得以知道一个有趣的事实:一次必须同时称很多药丸,其实更准确地说,是必须从19瓶拿出药丸进行称重。否则,如果跳过两瓶或更多瓶药丸,又该如何区分没称过的那几瓶呢?别忘了,天平只能用一次。

那么,该怎么称重取自多个药瓶的药丸,并确定哪一瓶装有比较重的药丸?假设只有两瓶药丸,其中一瓶的药丸比较重。每瓶取出一粒药丸,称得重量为2.1克,但无从知道这多出来的0.1克来自哪一瓶。我们必须设法区分这些药瓶。

如果从药瓶#1取出一粒药丸,从药瓶#2取出两粒药丸,那么,称得重量为多少呢?结果要看情况而定。如果药瓶#1的药丸较重,则称得重量为3.1克。如果药瓶#2的药丸较重,则称得重量为3.2克。这就是这个问题的解题窍门。

称一堆药丸时,我们会有个“预期”重量。而借由预期重量和实测重量之间的差别,就能得出哪一瓶药丸比较重,前提是从每个药瓶取出不同数量的药丸。

将之前两瓶药丸的解法加以推广,就能得到完整解法:从药瓶#1取出一粒药丸,从药瓶#2取出两粒,从药瓶#3取出三粒,依此类推。如果每粒药丸均重1克,则称得总重量为210克(1 + 2 + … + 20 = 20 * 21 / 2 = 210),“多出来的”重量必定来自每粒多0.1克的药丸。药瓶的编号可由算式(weight – 210 grams) / 0.1 grams得出。因此,若这堆药丸称得重量为211.3克,则药瓶#13装有较重的药丸。

2**.有个8×8棋盘,其中对角的角落上,两个方格被切掉了。给定31块多米诺骨牌,一块骨牌恰好可以覆盖两个方格。用这31块骨牌能否盖住整个棋盘?请证明你的答案(提供范例,或证明为什么不可能)。**

解法:乍一看,似乎是可以盖住的。棋盘大小为8×8,共有64个方格,但其中两个方格已被切掉,因此只剩62个方格。31块骨牌应该刚好能盖住整个棋盘,对吧? 尝试用骨牌盖住第1行,而第1行只有7个方格,因此有一块骨牌必须铺至第2行。而用骨牌盖住第2行时,我们又必须将一块骨牌铺至第3行。要盖住每一行,总有一块骨牌必须铺至下一行。无论尝试多少次、多少种方法,我们都无法成功铺下所有骨牌。 其实,还有更简洁更严谨的证明说明为什么不可能。棋盘原本有32个黑格和32个白格。将对角角落上的两个方格(相同颜色)切掉,棋盘只剩下30个同色的方格和32个另一种颜色的方格。为方便论证起见,我们假定棋盘上剩下30个黑格和32个白格。放在棋盘上的每块骨牌必定会盖住一个白格和一个黑格。因此,31块骨牌正好盖住31个白格和31个黑格。然而,这个棋盘只有30个黑格和32个白格,所以,31块骨牌盖不住整个棋盘。

3**.有两个水壶,容量分别为5夸脱(美制:1夸脱=0.946升,英制:1夸脱=1.136升)和3夸脱,若水的供应不限量(但没有量杯),怎么用这两个水壶得到刚好4夸脱的水?注意,这两个水壶呈不规则形状,无法精准地装满“半壶”水。**

解法

根据题意,我们只能使用这两个水壶,不妨随意把玩一番,把水倒来倒去,可以得到如下顺序组合: 注意,许多智力题其实都隐含数学或计算机科学的背景,这个问题也不例外。只要这两个水壶的容量互质(即两个数没有共同的质因子),我们就能找出一种倒水的顺序组合,量出1到2个水壶容量总和(含)之间的任意水量。

4.有个岛上住着一群人,有一天来了个游客,定了一条奇怪的规矩:所有蓝眼睛的人都必须尽快离开这个岛。每晚8点会有一个航班离岛。每个人都看得见别人眼睛的颜色,但不知道自己的(别人也不可以告知)。此外,他们不知道岛上到底有多少人是蓝眼睛的,只知道至少有一个人的眼睛是蓝色的。所有蓝眼睛的人要花几天才能离开这个岛?

解法:下面将采用简单构造法。假定这个岛上一共有n人,其中c人有蓝眼睛。由题目可知,c > 0。

  1. 情况c = 1:只有一人是蓝眼睛的

假设岛上所有人都是聪明的,蓝眼睛的人四处观察之后,发现没有人是蓝眼睛的。但他知道至少有一人是蓝眼睛的,于是就能推导出自己一定是蓝眼睛的。因此,他会搭乘当晚的飞机离开。

2.情况c = 2:只有两人是蓝眼睛的

两个蓝眼睛的人看到对方,并不确定c是1还是2,但是由上一种情况,他们知道,如果c = 1,那个蓝眼睛的人第一晚就会离岛。因此,发现另一个蓝眼睛的人仍在岛上,他一定能推断出c = 2,也就意味着他自己也是蓝眼睛的。于是,两个蓝眼睛的人都会在第二晚离岛。

3.情况c > 2:一般情况

逐步提高c时,我们可以看出上述逻辑仍旧适用。如果c = 3,那么,这三个人会立即意识到有2到3人是蓝眼睛的。如果有两人是蓝眼睛的,那么这两人会在第二晚离岛。因此,如果过了第二晚另外两人还在岛上,每个蓝眼睛的人都能推断出c = 3,因此这三人都有蓝眼睛。他们会在第三晚离岛。

不论c为什么值,都可以套用这个模式。所以,如果有c人是蓝眼睛的,则所有蓝眼睛的人要用c晚才能离岛,且都在同一晚离开。

5.有栋建筑物高100层。若从第N层或更高的楼层扔下来,鸡蛋就会破掉。若从第N层以下的楼层扔下来则不会破掉。给你2个鸡蛋,请找出N,并要求最差情况下扔鸡蛋的次数为最少。

解法:我们发现,无论怎么扔鸡蛋1(Egg 1),鸡蛋2(Egg 2)都必须在“破掉那一层”和下一个不会破掉的最高楼层之间,逐层扔下楼(从最低的到最高的)。例如,若鸡蛋1从5层和10层楼扔下没破掉,但从15层扔下时破掉了,那么,在最差情况下,鸡蛋2必须尝试从11、12、13和14层扔下楼。

具体做法:

首先,让我们试着从10层开始扔鸡蛋,然后是20层,等等。

 如果鸡蛋1第一次扔下楼(10层)就破掉了,那么,最多需要扔10次。

 如果鸡蛋1最后一次扔下楼(100层)才破掉,那么,最多要扔19次(10、20、…、90、100层,然后是91到99层)。

这么做也挺不错,但我们只考虑了绝对最差情况。我们应该进行“负载均衡”,让这两种情况下扔鸡蛋的次数更均匀。

我们的目标是设计一种扔鸡蛋的方法,使得扔鸡蛋1时,不论是在第一次还是最后一次扔下楼才破掉,次数越稳定越好。

(1) 完美负载均衡的方法应该是,扔鸡蛋1的次数加上扔鸡蛋2的次数,不论什么时候都一样,不管鸡蛋1是从哪层楼扔下时破掉的。

(2) 若有这种扔法,每次鸡蛋1多扔一次,鸡蛋2就可以少扔一次。

(3) 因此,每丢一次鸡蛋1,就应该减少鸡蛋2可能需要扔下楼的次数。例如,如果鸡蛋1先从20层往下扔,然后从30层扔下楼,此时鸡蛋2可能就要扔9次。若鸡蛋1再扔一次,我们必须让鸡蛋2扔下楼的次数降为8次。也就是说,我们必须让鸡蛋1从39层扔下楼。

(4) 由此可知,鸡蛋1必须从X层开始往下扔,然后再往上增加X1层……直至到达100层。

(5) 求解方程式X + (X1) + (X2) + … + 1 = 100,得到X (X + 1) / 2 = 100 → X = 14。

我们先从14层开始,然后是27层,接着是39层,依此类推,最差情况下鸡蛋要扔14次。

正如解决其他许多最大化/最小化的问题一样,这类问题的关键在于“平衡最差情况”。

6.走廊上有100个关上的储物柜。有个人先是将100个柜子全都打开。接着,每数两个柜子关上一个。然后,在第三轮时,再每隔两个就切换第三个柜子的开关状态(也就是将关上的柜子打开,将打开的关上)。照此规律反复操作100次,在第i轮,这个人会每数i个就切换第i个柜子的状态。当第100轮经过走廊时,只切换第100个柜子的开关状态,此时有几个柜子是开着的?

解法:要解决这个问题,我们必须弄清楚所谓切换储物柜开关状态是什么意思。这有助于我们推断最终哪些柜子是开着的。

  1. 问题:柜子会在哪几轮切换状态(开或关)?

柜子n会在n的每个因子(包括1和n本身)对应的那一轮切换状态。也就是说,柜子15会在第1、3、5和15轮开或关一次。

  1. 问题:柜子什么时候还是开着的?

如果因子个数(记作x)为奇数,则这个柜子是开着的。你可以把一对因子比作开和关,若还剩一个因子,则柜子就是开着的。

  1. 问题:x什么时候为奇数?

若n为完全平方数,则x的值为奇数。理由如下:将n的两个互补因子配对。例如,如n为36,则因子配对情况为:(1, 36)、(2, 18)、(3, 12)、(4, 9)、(6, 6)。注意,(6, 6)其实只有一个因子,因此n的因子个数为奇数。

  1. 问题:有多少个完全平方数?

一共有10个完全平方数,你可以数一数(1、4、9、16、25、36、49、64、81、100),或者,直接列出1到10的平方: 1 * 1, 2 * 2, 3 * 3, …, 10*10

因此,最后共有10个柜子是开着的。

7.考虑一个双人游戏。游戏在一个圆桌上进行。每个游戏者都有足够多的硬币。他们需要在桌子上轮流放置硬币,每次必需且只能放置一枚硬币,要求硬币完全置于桌面内(不能有一部分悬在桌子外面),并且不能与原来放过的硬币重叠。谁没有地方放置新的硬币,谁就输了。游戏的先行者还是后行者有必胜策略?这种策略是什么?

答案:先行者在桌子中心放置一枚硬币,以后的硬币总是放在与后行者刚才放的地方相对称的位置。这样,只要后行者能放,先行者一定也有地方放。先行者必胜。

8.用线性时间和常数附加空间将一篇文章的单词(不是字符)倒序。

答案:先将整篇文章的所有字符逆序(从两头起不断交换位置相对称的字符);然后用同样的办法将每个单词内部的字符逆序。这样,整篇文章的单词顺序颠倒了,但单词本身又被转回来了。

9.用线性时间和常数附加空间将一个长度为n的字符串向左循环移动m位(例如,”abcdefg”移动3位就了”defgabc”)。

答案:把字符串切成长为m和n-m的两半。将这两个部分分别逆序,再对整个字符串逆序。

10.** 一个矩形蛋糕,蛋糕内部有一块矩形的空洞。只用一刀,如何将蛋糕切成大小相等的两块?**

答案:注意到平分矩形面积的线都经过矩形的中心。过大矩形和空心矩形各自的中心画一条线,这条线显然把两个矩形都分成了一半,它们的差当然也是相等的。

11.一块矩形的巧克力,初始时由N x M个小块组成。每一次你只能把一块巧克力掰成两个小矩形。最少需要几次才能把它们掰成N x M块1×1的小巧克力?

答案:N x M – 1次显然足够了。这个数目也是必需的,因为每掰一次后当前巧克力的块数只能增加一,把巧克力分成N x M块当然需要至少掰N x M – 1次。

12.如何快速找出一个32位整数的二进制表达里有多少个”1″?用关于”1″的个数的线性时间?

答案1(关于数字位数线性):for(n=0; b; b >>= 1) if (b & 1) n++; 答案2(关于”1″的个数线性):for(n=0; b; n++) b &= b-1;

13.** 一个大小为N的数组,所有数都是不超过N-1的正整数。用O(N)的时间找出重复的那个数(假设只有一个)。一个大小为N的数组,所有数都是不超过N+1的正整数。用O(N)的时间找出没有出现过的那个数(假设只有一个)。**

答案:计算数组中的所有数的和,再计算出从1到N-1的所有数的和,两者之差即为重复的那个数。计算数组中的所有数的和,再计算出从1到N+1的所有数的和,两者之差即为缺少的那个数。

14.给出一行C语言表达式,判断给定的整数是否是一个2的幂。

答案:(b & (b-1)) == 0

15.地球上有多少个点,使得从该点出发向南走一英里,向东走一英里,再向北走一英里之后恰好回到了起点?

答案:“北极点”是一个传统的答案,其实这个问题还有其它的答案。事实上,满足要求的点有无穷多个。所有距离南极点1 + 1/(2π)英里的地方都是满足要求的,向南走一英里后到达距离南极点1/(2π)的地方,向东走一英里后正好绕行纬度圈一周,再向北走原路返回到起点。事实上,这仍然不是满足要求的全部点。距离南极点1 + 1/(2kπ)的地方都是可以的,其中k可以是任意一个正整数。

16.A、B两人分别在两座岛上。B生病了,A有B所需要的药。C有一艘小船和一个可以上锁的箱子。C愿意在A和B之间运东西,但东西只能放在箱子里。只要箱子没被上锁,C都会偷走箱子里的东西,不管箱子里有什么。如果A和B各自有一把锁和只能开自己那把锁的钥匙,A应该如何把东西安全递交给B?

答案:A把药放进箱子,用自己的锁把箱子锁上。B拿到箱子后,再在箱子上加一把自己的锁。箱子运回A后,A取下自己的锁。箱子再运到B手中时,B取下自己的锁,获得药物。

17.一对夫妇邀请N-1对夫妇参加聚会(因此聚会上总共有2N人)。每个人都和所有自己不认识的人握了一次手。然后,男主人问其余所有人(共2N-1个人)各自都握了几次手,得到的答案全部都不一样。假设每个人都认识自己的配偶,那么女主人握了几次手?

答案:握手次数只可能是从0到2N-2这2N-1个数。除去男主人外,一共有2N-1个人,因此每个数恰好出现了一次。其中有一个人(0)没有握手,有一个人(2N-2)和所有其它的夫妇都握了手。这两个人肯定是一对夫妻,否则后者将和前者握手(从而前者的握手次数不再是0)。除去这对夫妻外,有一个人(1)只与(2N-2)握过手,有一个人(2N-3)和除了(0)以外的其它夫妇都握了手。这两个人肯定是一对夫妻,否则后者将和前者握手(从而前者的握手次数不再是1)。以此类推,直到握过N-2次手的人和握过N次手的人配成一对。此时,除了男主人及其配偶以外,其余所有人都已经配对。根据排除法,最后剩下来的那个握手次数为N-1的人就是女主人了。

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