o
osc_mbhfa1vl

1 正交多项式的定义

1.1 正交多项式定义

$\int_a^b {w(x){p_m}(x){p_n}(x)dx = } {h_n}{\delta _{mn}}$

${\mu _n}{\rm{ = }}\int_a^b {w(x){x^n}dx,{\rm{ }}n = 0,1,2, \cdots }$

$\left\langle {f,g} \right\rangle : = \int_a^b {w(x)f(x)g(x)dx}$

$\int_0^{2\pi } {\sin (n\theta )\cos (m\theta )d\theta } = {\delta _{mn}}$

1.2 施密特正交化（Schmidt orthogonalization）

$\begin{array}{l} {\beta _1} = {\alpha _1} \\ {\beta _2} = {\alpha _2} - \frac{{\left\langle {{\alpha _2},{\beta _1}} \right\rangle }}{{\left\langle {{\beta _1},{\beta _1}} \right\rangle }}{\beta _1} \\ \cdots \\ {\beta _n} = {\alpha _n} - \frac{{\left\langle {{\alpha _n},{\beta _1}} \right\rangle }}{{\left\langle {{\beta _1},{\beta _1}} \right\rangle }}{\beta _1} - \frac{{\left\langle {{\alpha _n},{\beta _2}} \right\rangle }}{{\left\langle {{\beta _2},{\beta _2}} \right\rangle }}{\beta _2} - \cdots - \frac{{\left\langle {{\alpha _n},{\beta _{n - 1}}} \right\rangle }}{{\left\langle {{\beta _{n - 1}},{\beta _{n - 1}}} \right\rangle }}{\beta _{n - 1}} \\ \end{array}$

$\begin{array}{l} x = a \\ y = b - \frac{{\left\langle {b,x} \right\rangle }}{{\left\langle {x,x} \right\rangle }}x = \frac{{\left| b \right|\cos (\theta )}}{{\left| a \right|}}a \\ z = c - \frac{{\left\langle {c,x} \right\rangle }}{{\left\langle {x,x} \right\rangle }}x - \frac{{\left\langle {c,y} \right\rangle }}{{\left\langle {y,y} \right\rangle }}y \\ \end{array}$

2 经典正交多项式

2.1 雅克比多项式

$\begin{array}{l} \int_{ - 1}^1 {{{(1 - x)}^\alpha }{{(1 + x)}^\beta }P_m^{(\alpha ,\beta )}(x)P_n^{(\alpha ,\beta )}(x)dx} \\ = \frac{{{2^{\alpha + \beta + 1}}}}{{2n + \alpha + \beta + 1}}\frac{{\Gamma (\alpha + n + 1)\Gamma (\beta + n + 1)}}{{n!\Gamma (\alpha + \beta + n + 1)}}{\delta _{mn}} \\ \end{array}$

2.2 勒让德多项式

${P_n}(x) = \frac{1}{{{2^n}n!}}\frac{{{d^n}}}{{d{x^n}}}\left[ {{{({x^2} - 1)}^n}} \right]$

$(n + 1){P_{n + 1}}(x) = (2n + 1)x{P_n}(x) - n{P_{n - 1}}(x)$

$\int_{ - 1}^1 {{P_m}(x){P_n}(x)dx} = \frac{2}{{2n{\rm{ + }}1}}{\delta _{mn}}$

${P_0}(x) = 1$

${P_1}(x) = x$

${P_2}(x) = \frac{3}{2}{x^2} - \frac{1}{2}$

${P_3}(x) = \frac{5}{2}{x^3} - \frac{3}{2}x$

${P_4}(x) = \frac{{35}}{8}{x^4} - \frac{{15}}{4}{x^2} + \frac{3}{8}$

${P_5}(x) = \frac{{63}}{8}{x^5} - \frac{{35}}{4}{x^3} + \frac{{15}}{8}x$

${P_6}(x) = \frac{{231}}{{16}}{x^6} - \frac{{315}}{{16}}{x^4} + \frac{{105}}{{16}}{x^2} - \frac{5}{{16}}$

2.3 切比雪夫多项式

2.3.1 第一类切比雪夫多项式

${T_n}(x) = \cos (n\theta )$

$$x=cos(\theta)$$，则 $${T_n}(x) = \cos (n\arccos (x))$$

$\int_{ - 1}^1 {\frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{T_m}(x){T_n}(x)dx = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0\quad{\rm{ }}m \ne n} \\ {\pi \quad{\rm{ }}n = m = 0} \\ {\frac{\pi }{2}{\rm{ }}\quad n = m \ne 0} \\ \end{array}} \right.}$

${T_{n + 1}}(x) = 2x{T_n}(x) - {T_{n - 1}}(x)$

${T_0}(x) = 1$

${T_1}(x) = x$

${T_2}(x) = 2{x^2} - 1$

${T_3}(x) = 4{x^3} - 3x$

${T_4}(x) = 8{x^4} - 8{x^2} + 1$

${T_5}(x) = 16{x^5} - 20{x^3} + 5x$

${T_6}(x) = 32{x^6} - 48{x^4} + 18{x^2} - 1$

2.3.2 第二类切比雪夫多项式

${U_n}(x) = \frac{{\sin [(n + 1)\theta ]}}{{\sin \theta }}$

$\int_{ - 1}^1 {\sqrt {1 - {x^2}} {U_m}(x){U_n}(x)dx = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0m \ne n} \\ {\frac{\pi }{2}n = m} \\ \end{array}} \right.}$

${U_{n + 1}}(x) = 2x{U_n}(x) - {U_{n - 1}}(x)$

${U_0}(x) = 1$

${U_1}(x) = 2x$

${U_2}(x) = 4{x^2} - 1$

${U_3}(x) = 8{x^3} - 4x$

${U_4}(x) = 16{x^4} - 12{x^2} + 1$

${U_5}(x) = 32{x^5} - 32{x^3} + 6x$

${U_6}(x) = 64{x^6} - 80{x^4} + 24{x^2} - 1$

2.4 拉盖尔多项式

$\int_0^{ + \infty } {{x^\alpha }{e^{ - x}}L_m^{(\alpha )}(x)L_n^{(\alpha )}(x)dx} = \frac{{\left( {n + \alpha } \right)!}}{{n!}}{\delta _{mn}}$

${L_{n + 1}}(x) = \frac{{(2n + 1 - x){L_n}(x) - n{L_{n - 1}}(x)}}{{n + 1}}$

${L_0}(x) = 1$

${L_1}(x) = - x + 1$

${L_2}(x) = \frac{1}{2}{x^2} - 2x + 1$

${L_3}(x) = - \frac{1}{6}{x^3} + \frac{3}{2}{x^2} - 3x + 1$

${L_4}(x) = \frac{1}{{24}}{x^4} - \frac{2}{3}{x^3} + 3{x^2} - 4x + 1$

${L_5}(x) = - \frac{1}{{120}}{x^5} + \frac{5}{{24}}{x^4} - \frac{5}{3}{x^3} + 5{x^2} - 5x + 1$

${L_6}(x) = \frac{1}{{720}}{x^6} - \frac{1}{{20}}{x^5} + \frac{5}{8}{x^4} - \frac{{10}}{3}{x^3} + \frac{{15}}{2}{x^2} - 6x + 1$

2.5 埃尔米特多项式

${H_n}(x) = {( - 1)^n}{e^{{x^2}}}\frac{{{d^n}}}{{d{x^n}}}{e^{ - {x^2}}}$

$\int_{ - \infty }^{ + \infty } {{H_m}(x){H_n}(x){e^{ - {x^2}}}dx} = \sqrt \pi {2^n}n!{\delta _{mn}}$

${H_{n + 1}}(x) = 2x{H_n}(x) - 2n{H_{n - 1}}(x)$

${H_0}(x) = 1$

${H_2}(x) = 2x$

${H_3}(x) = 4{x^2} - 2$

${H_4}(x) = 16{x^4} - 48{x^2} + 12$

${H_5}(x) = 32{x^5} - 160{x^3} + 120x$

${H_6}(x) = 64{x^6} - 480{x^4} + 720{x^2} - 120$

3 正交多项式的应用

% 正交多项式测试
clear
clc
% 采样点数
N = 1000 ;
% 正交多项式阶数
M = 3 ;
% 拟合函数区间为（-2,2）
x = linspace(-2,2,N)' ;
% 生成被拟合的函数，包括指数函数，余弦函数，幂函数成分
y =  4*x + 3*x.^2 + cos(x) + exp(x) + sin(2*x);

% 生成幂级数组成的基矩阵
P1 = power_p(x,M) ;
% 生成勒让德多项式组成的基矩阵
P2 = legendre_p(N,M) ;
% 生成切比雪夫多项式组成的基矩阵
P3 = chebyshev_p(N,M) ;
% 生成拉盖尔多项式组成的基矩阵
P4 = laguerre_p(N,M) ;
% 生成诶尔米特多项式组成的基矩阵
P5 = hermite_p(N,M) ;

%% 用最小二乘拟合y
% c1对应幂级数系数
c1 = P1\y ;
% c2对应勒让德系数
c2 = P2\y ;
% c3对应切比雪夫系数
c3 = P3\y ;
% c4对应拉盖尔系数
c4 = P4\y ;
% c5对应埃尔米特系数
c5 = P5\y ;

%% 求MSE和NMSE
MSE_power = norm(y-P1*c1)/N
NMSE_power = norm(y-P1*c1)/norm(y)

MSE_legendre = norm(y-P2*c2)/N
NMSE_legendre = norm(y-P2*c2)/norm(y)

MSE_chebyshev = norm(y-P3*c3)/N
NMSE_chebyshev = norm(y-P3*c3)/norm(y)

MSE_laguerre = norm(y-P4*c4)/N
NMSE_laguerre = norm(y-P4*c4)/norm(y)

MSE_hermite = norm(y-P5*c5)/N
NMSE_hermite = norm(y-P5*c5)/norm(y)

figure(1)
plot(x,y,'r-',x,P1*c1,'b-',x,P2*c2,'k-',x,P3*c3,'y-',x,P4*c4,'g-',x,P5*c5,'m-')
legend('original','power','legendre','chebyshev','laguerre','hermite')

function [P] = power_p(x,M)

for m = 1:M
P(:,m) = x.^(m-1) ;
end
end

function [P] = legendre_p(N,NN)
% 本函数生成N*M的勒让德基矩阵
s = linspace(-1,1,N)' ;
P = zeros(N,NN) ;
P(:,1) = ones(N,1) ;
P(:,2) = s ;
for n = 3 : NN
P(:,n) = ((2 * n - 3) * s .* P(:,n - 1) - (n - 2) * P(:,n - 2)) / ( n -1 ) ;
end
end

function [P] = chebyshev_p(N,M)
% 本函数生成N*M的切比雪夫基矩阵
x = linspace(-1,1,N)' ;
P = zeros(N,M) ;
P(:,1) = ones(N,1) ;
P(:,2) = x ;
for k = 3:M
P(:,k) = 2*x.*P(:,k-1) - P(:,k-2) ;
end
end

function [P] = laguerre_p(N,M)
% 本函数生成N*M的拉盖尔基矩阵
x  = linspace(-2,2,N)' ;
P = zeros(N,M) ;
P(:,1) = ones(N,1) ;
P(:,2) = -x + ones(N,1) ;
for m = 3:M
P(:,m) = ((2*(m-2)+1-x).*P(:,m-1)-(m-2)*P(:,m-2))./(m-1) ;
end
end

function [P] = hermite_p(N,M)
% 本函数生成N*M的埃尔米特基矩阵
x = linspace(-2,2,N)' ;
P = zeros(N,M) ;
P(:,1) = ones(N,1) ;
P(:,2) = 2*x ;

for m = 2:M
P(:,m+1) = 2*x.*P(:,m) - 2*(m-1)*P(:,m-1) ;
end
end


o

osc_mbhfa1vl

2013/11/09
4.2K
1
iOS 应用版本更新检查--Harpy

2013/02/18
1.7K
0

Gideros 可以让你轻松快速创建 iOS 和 Android 应用，提供用户友好的集成开发环境，内建模拟器对应用进行不同屏幕大小、分辨率下的测试，最大的优点是可即时修改代码即时进行测试，无需编译安...

2013/02/19
2.7K
0
Android3D应用与游戏开发框架--JQGL

JQGL 是一款针对Android设备上3D应用、游戏的开发框架。 核心功能是OpenGL-ES的使用框架，相对于大部分开发者而已，OpenGL是陌生的，没有专门研究无法进行相关的开发。 本框架针对于Android...

Jping
2013/02/21
1.6K
0
OSX游戏模拟器--Open Emu

OpenEmu 是一项开源计划，目的是将游戏模拟带入OS X，使用Cocoa、Core Animation和Quartz等现代OS X技术，使用Sparkle进行自动升级。 Open Emu使用模块化构架，支持游戏引擎插件，这意味着O...

2013/04/10
1.6W
3

C#中的9个“黑魔法”与“骚操作”

04/06
0
0
npm

package.json（nmp install -y） { "name": "timer", //项目名 "version": "1.0.0", //版本号 "description": "A cool timer", //描述 "main": "timer.js", //项目主入口......

10分钟前
7
0
vpp系列6-DNAT

messud4312
13分钟前
16
0
Go语言对接USDT-TRC20【TronTool】

TronTool.Go开发包适用于为Go应用快速增加对Tron/USDT-TRC20数字资产的支持能力，即支持使用自有Tron区块链节点的应用场景，也支持基于Tron官方公共API服务的轻量级部署场景。官方下载地址：...

14分钟前
13
0

fyin1314
16分钟前
11
0