数据结构与算法之美学习笔记:第十八讲

2019/08/08 20:33
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Word这种文本编辑器你平时应该经常见吧,那你有没有留意过它的拼写检查功能呢?一旦我们在Word里输入一个个错误的英文单词,它就会用标红的放式提示“拼写错误”。

Word的这个单词拼写检查功能,虽然很小但却非常实用。你有没有想过,这个功能是如何实现的呢?

其实啊,一点儿都不难。只要你学完今天的内容,散列表(Hash Table)。你就能像微软Office的工程师一样,轻松实现这个功能。

一、散列思想

散列表用的是数组支持按照下标随机访问数据的特性,所以三列表其实就是数组的一种扩展,由于数组演化而来,可以说、如果没有数组、就没有散列表

按照编号查找选手信息,效率是不是很高 时间复杂度就是 O(1)

参赛编号(6位数) 年级(前2位)+班级(中间2位)+编号(最后2位)

截取后两位作为数组下标来存取选手信息 取参赛编号的后两位,作为数组下标,来读取数组中的数据。

这就是典型的散列思想:

其中、参赛选手的编号我们叫作键(key)或者关键字,我们用它来表示一个选手、

我们把参赛编号转化为数组下标的映射方法就叫做散列函数(或Hash函数 哈希函数)、而散列函数计算得到的值就叫作散列值

我们可以总结出这样的规律:散列表用的就是数组支持按照下标随机访问时候、时间复杂度是O(1) 的特性。我们通过散列函数把元素的键值映射为下标,然后将数据存储在数组中对应小标的位

置。当我们按照键值查询元素时,我们用同样的散列函数,将键值转化数组下标、从对应的数组下标的位置数据


二、散列函数

散列函数、顾明思义、它是一个函数、我们可以把它定义成hash(key),其中key表示元素的键值、hash(key)的
值表示经过散列函数计算得到的散列值

那第一个例子中、编号就是数组下标、所以hash(key)就等于key、改造后的例子,写成散列函数如下

int hash(String key) {
// 获取后两位字符
string lastTwoChars = key.substr(length-2, length);
// 将后两位字符转换为整数
int hashValue = convert lastTwoChas to int-type;
return hashValue;
}

如果参赛选手的编号是随机生成的6位数字、又或者用的是a到z之间的字符串,该如何构造散列函数呢?我总结了三点散列函数设计的基本要求

1、散列函数计算的到的散列值是一个非负整数
2、如果key1 = key2,那 hash(key1) == hash(key2);
3、如果key1 ≠ key2,那 hash(key1) ≠ hash(key2);

第三点理解起来可能会有问题,我着重说一下。这个要求看起来合情合理、但是在真实的情况下、要想找到一个不同的key对应的散列值都不一样的三类函数、几乎是不可能的。即便像业界著名的MD5、SHA、CRC等哈希算法,也无法完全避免这种散列冲突、而且、因为数组的存储空间有限、也会加大散列冲突的概率

所以我们几乎无法找到一个完美的无冲突的散列函数、即便能找到、付出的时间成本、计算成本也是很大的、所以针对散列冲突问题、我们需要通过其他途径来解决

三、散列冲突

1、开放寻址法

如果出现了散列冲突、我们就重新探测一个空闲位置、将其插入、那如何重新探测新的位置呢?

当某个数据经过散列函数散列滞后、存储位置已经被占用了、我们就从当前位置开始、依次往后查找,看是否有空闲位置,直到找到为止

黄色的色块表示空闲位置、橙色的色块表示已经存储了数据

1、从图中可以看出、散列表的大小为10、在元素x插入散列表之前,已经6个元素插入到散列表中

2、x经过hash算法之后,被三列到位置下标为7的位置、但是这个位置已经有数据了、所以就产生了冲突,

3、于是我们就顺序地往后一个一个找,看有没有空闲的位置、遍历到尾部都没有找到空闲的位置

4、于是我们再从表头开始找,直到找到空闲位置2,于是将其插入到这个位置

散列函数求出要查找元素的键值对应的散列值

然后比较数组中下标为散列值的元素和要查找的元素如果相等、则说明就是我们要找的元素

否则就数序往后一次查找、如果遍历数组中的空闲位置,还没有找到,就说明要查找的元素并没有在列表中

 

为什么不能单纯地把药删除的元素设置为空?这是为什么呢?

找到一个空闲位置,我们就可以认定散列表中不存在这个数据。

但是,如果这个空闲位置是我们后来删除的,就会导致原来的查找算法失效。本来存在的数据,会被认定为不存在。这个问题如何解决呢?

我们可以将删除的元素、特殊标记为deleted,当线性探测的时候、遇到标记为deleted的空间、并不是停下来、而是继续往下探测

线性探测存在的问题

最坏情况下的时间复杂度为 O(n)

1、在删除和查找时,也有可能会线性探测整张散列表,才能找到要查找或者删除的数据

2、对于开放寻址的冲突解决方法、除了线性探测方法之外,还有另外两种比较经典的探测方法二次探测和双重散列

线性探测 步长是 1 hash(key)+0,hash(key)+1,hash(key)+2...

二次探测 步长是 1 hash(key)+0,hash(key)+12,hash(key)+22

双重散列 使用一组散列函数 hash1(key),hash2(key),hash3(key)……如果第一个散列函数计算机得到的存储位置已被占用在用第二个散列函数、依次类推、直到找到空闲的存储位置

 

不管采用哪种探测方法,当散列表中的空闲位置不多的时候、散列冲突的概率就会大大提高、为了尽可能保证散列表的操作效率,一般情况下,我们会尽可能保证散列表中有一定比例的空闲槽位、

我们用装载引子(load factor)来表示空位的多少

装载因子的计算机公式是:

散列表的装载因子 = 填入表中的元素个数 / 散列表的长度

装载因子越大,说明空闲位置越少,冲突越多,散列表的性能会下降

链表法

链表是一种更加常用的散列冲突解决办法、相比开放寻址法,它要简单很多、我们来看这个图,在散列表中,每个桶或者槽

会对应一条链表,所有散列值相同的元素我们都放到相同槽位对应的链表中

当插入的时候,我们只需要通过散列函数计算出对应的散列槽位,将其插入到对应链表中即可,插入时间复杂度是O(1)

当查找、删除一个元素时、我们同样通过散列函数计算出对应的槽位、然后遍历链表查找或者删除、那查找或删除操作的时间复杂度是多少呢?

实际上、这两个操作的时间复杂度跟链表的长度K成正比,也就是O(k)对于散列比较均匀的散列函数来说理论上讲k=n/m,其中 n 表示散列中数据的个数,m 表示散列表中“槽”的个数。


链表是一种更加常用的散列冲突解决办法、相比开放寻址法,它要简单很多、我们来看这个图,在散列表中,每个桶或者槽
会对应一条链表,所有散列值相同的元素我们都放到相同槽位对应的链表中

四、解答开篇

有了前面这些基本知识储备,我们来看一下开篇的思考题:Word中档中单词拼写检查功能是如何实现的?

 

常用的英语单词有20万个左右,假设单词的平均速度是10个字母,平均一个单词占用10个字节的内存空间,那20万英个单词大约占2MB的存储空间,就算放大10倍也就是20MB。

对于现在的计算机来说,这个现在完全可以放在内存里面。所以我们可以用散列表来存储整个英文单词词典。

 

当用户输入某个英文单词时,我们拿用户输入的单词去散列表中查找。如果查到,则说明拼写正确;如果没有查到,则说明拼写可能有误,给予提示。

借助散列表这种数据结构,我们就可以轻松实现快速判断是否存在拼写错误。

 

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