Algorithm: 多项式乘法 Polynomial Multiplication: 快速傅里叶变换 FFT / 快速数论变换 NTT

2019/04/10 10:10
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###Intro:

本篇博客将会从朴素乘法讲起,经过分治乘法,到达FFT和NTT

旨在能够让读者(也让自己)充分理解其思想

模板题入口:洛谷 P3803 【模板】多项式乘法(FFT)


朴素乘法

约定:两个多项式为$A(x)=\sum_{i=0}^{n}a_ix^i,B(x)=\sum_{i=0}^{m}b_ix^i$

Prerequisite knowledge:

初中数学知识~~(手动滑稽)~~

最简单的多项式方法就是逐项相乘再合并同类项,写成公式:

若$C(x)=A(x)B(x)$,那么$C(x)=\sum_{i=0}^{n+m}c_ix^i$,其中$c_i=\sum_{j=0}^ia_jb_{i-j}$

于是一个朴素乘法就产生了,见代码(利用某种丧心病狂的方式省了$b$数组)

//This program is written by Brian Peng.
#pragma GCC optimize("Ofast","inline","no-stack-protector")
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define Rd(a) (a=read())
#define Gc(a) (a=getchar())
#define Pc(a) putchar(a)
int read(){
	register int x;register char c(getchar());register bool k;
	while(!isdigit(c)&&c^'-')if(Gc(c)==EOF)exit(0);
	if(c^'-')k=1,x=c&15;else k=x=0;
	while(isdigit(Gc(c)))x=(x<<1)+(x<<3)+(c&15);
	return k?x:-x;
}
void wr(register int a){
	if(a<0)Pc('-'),a=-a;
	if(a<=9)Pc(a|'0');
	else wr(a/10),Pc((a%10)|'0');
}
signed const INF(0x3f3f3f3f),NINF(0xc3c3c3c3);
long long const LINF(0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL),LNINF(0xc3c3c3c3c3c3c3c3LL);
#define Ps Pc(' ')
#define Pe Pc('\n')
#define Frn0(i,a,b) for(register int i(a);i<(b);++i)
#define Frn1(i,a,b) for(register int i(a);i<=(b);++i)
#define Frn_(i,a,b) for(register int i(a);i>=(b);--i)
#define Mst(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define File(a) freopen(a".in","r",stdin),freopen(a".out","w",stdout)
#define N (2000010)
int n,m,a[N],b,c[N];
signed main(){
	Rd(n),Rd(m);
	Frn1(i,0,n)Rd(a[i]);
	Frn1(i,0,m){Rd(b);Frn1(j,0,n)c[i+j]+=b*a[j];}
	Frn1(i,0,n+m)wr(c[i]),Ps;
	exit(0);
}

Time complexity: $O(nm)$,如果$m=O(n)$,则为$O(n^2)$

Memory complexity: $O(n)$

看看效果

意料之中,所以必须优化


朴素分治乘法

P.s 这一部分讲述了FFT的分治方法,与FFT还是有区别的,如果已经理解的可以跳过

约定:$n$为同时属于$A(x),B(x)$次数界的最小的$2$的正整数幂,并将两个多项式设为$A(x)=\sum_{i=0}^{n-1}a_ix^i,B(x)=\sum_{i=0}^{n-1}b_ix^i$,不存在的系数补零

次数界:严格$>$一个多项式次数的整数(E.g 多项式$P(x)=x^2+x+1$的次数界为$\geqslant3$的所有整数)

Reference:

《算法导论》

Prerequisite knowledge:

分治思想

现在来考虑如何去优化乘法

尝试将两个多项式按照未知项次数的奇偶性分开:

$A(x)=A^{[0]}(x^2)+xA^{[1]}(x^2),B(x)=B^{[0]}(x^2)+xB^{[1]}(x^2)$

其中$A^{[0]}(x)=\sum_{i=0}^{n/2-1}a_{2i}x^i,A^{[1]}(x)=\sum_{i=0}^{n/2-1}a_{2i+1}x^i$,$B^{[0]}(x)$与$B^{[1]}(x)$同理

于是两个多项式就被拆成了两个次数界为$n/2$的四个多项式啦:

P.s 以下的公式中,用$A$表示$A(x)$,$A^{[0]}$和$A^{[1]}$分别表示$A^{[0]}(x^2)$和$A^{[1]}(x^2)$,$B$同理

$AB=(A^{[0]}+xA^{[1]})(B^{[0]}+xB^{[1]})=A^{[0]}B^{[0]}+x(A^{[1]}B^{[0]}+A^{[0]}B^{[1]})+x^2A^{[1]}B^{[1]}$

在此可以发现一种分治算法:把两个多项式折半,然后再递归算$4$次多项式乘法,最后合并加起来(反正多项式加法是$O(n)$的)

P.s 注意合并方式:$A^{[0]}$和$A^{[1]}$分别表示$A^{[0]}(x^2)$和$A^{[1]}(x^2)$,所以是交错的,见代码

(为了省空间用了vector)

//This program is written by Brian Peng.
#pragma GCC optimize("Ofast","inline","no-stack-protector")
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define Rd(a) (a=read())
#define Gc(a) (a=getchar())
#define Pc(a) putchar(a)
int read(){
	register int x;register char c(getchar());register bool k;
	while(!isdigit(c)&&c^'-')if(Gc(c)==EOF)exit(0);
	if(c^'-')k=1,x=c&15;else k=x=0;
	while(isdigit(Gc(c)))x=(x<<1)+(x<<3)+(c&15);
	return k?x:-x;
}
void wr(register int a){
	if(a<0)Pc('-'),a=-a;
	if(a<=9)Pc(a|'0');
	else wr(a/10),Pc((a%10)|'0');
}
signed const INF(0x3f3f3f3f),NINF(0xc3c3c3c3);
long long const LINF(0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL),LNINF(0xc3c3c3c3c3c3c3c3LL);
#define Ps Pc(' ')
#define Pe Pc('\n')
#define Frn0(i,a,b) for(register int i(a);i<(b);++i)
#define Frn1(i,a,b) for(register int i(a);i<=(b);++i)
#define Frn_(i,a,b) for(register int i(a);i>=(b);--i)
#define Mst(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define File(a) freopen(a".in","r",stdin),freopen(a".out","w",stdout)
typedef vector<int> Vct;
int n,m,s; 
Vct a,b,c;
void add(Vct&a,Vct&b,Vct&c){Frn0(i,0,c.size())c[i]=a[i]+b[i];}
void mlt(Vct&a,Vct&b,Vct&c,int n);
signed main(){
	Rd(n),Rd(m),a.resize(s=1<<int(log2(max(n,m))+1)),b.resize(s),c.resize(s<<1);
	Frn1(i,0,n)Rd(a[i]);
	Frn1(i,0,m)Rd(b[i]);
	mlt(a,b,c,s);
	Frn1(i,0,n+m)wr(c[i]),Ps;
	exit(0);
}
void mlt(Vct&a,Vct&b,Vct&c,int n){
	int n2(n>>1);
	Vct a0(n2),a1(n2),b0(n2),b1(n2),ab0(n),ab1(n),abm(n);
	if(n==1){c[0]=a[0]*b[0];return;}
	Frn0(i,0,n2)a0[i]=a[i<<1],a1[i]=a[i<<1|1],b0[i]=b[i<<1],b1[i]=b[i<<1|1];
	mlt(a0,b0,ab0,n2),mlt(a1,b1,ab1,n2);
	Frn0(i,0,n)c[i<<1]=ab0[i]+(i?ab1[i-1]:0);
	mlt(a0,b1,ab0,n2),mlt(a1,b0,ab1,n2),add(ab0,ab1,abm);
	Frn0(i,0,n-1)c[i<<1|1]=abm[i];
}

看看效果

好像更惨……

为什么呢,因为这个算法的时间复杂度还是$O(n^2)$的,具体证明如下

$T(n)=4T(n/2)+f(n)$,其中$f(n)=O(n)$(就是$n$位加法的时间)

运用主方法,$a=4,b=2,log_ba=log_2 4=2>1$,所以$T(n)=O(n^{log_ba})=O(n^2)$

而且不仅复杂度高,常数因子也因为递归变高了

所以继续优化吧……


分治乘法

接上上一部分的内容,考虑如何优化时间复杂度

**先来一个小插曲:**如何只做$3$次乘法,求出线性多项式$ax+b$与$cx+d$的乘积

先看看结果:$(ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd$,总共有$4$次乘法

所以如果只用$3$次乘法,那么$ad+bc$必须只能用一次乘法得到

尝试把$3$个系数加起来,就是$ac+ad+bc+bd=(a+b)(c+d)$

答案出来了,用$3$次乘法分别算出$ac,bd$与$(a+b)(c+d)$,那么中间项系数$=(a+b)(c+d)-ac-bd$

回到原题目

$AB=(A^{[0]}+xA^{[1]})(B^{[0]}+xB^{[1]})=A^{[0]}B^{[0]}+x(A^{[1]}B^{[0]}+A^{[0]}B^{[1]})+x^2A^{[1]}B^{[1]}$

于是中间项也可以使用类似的方法:$A^{[1]}B^{[0]}+A^{[0]}B^{[1]}=(A^{[0]}+A^{[1]})(B^{[0]}+B^{[1]})-A^{[0]}B^{[0]}-A^{[1]}B^{[1]}$

成功减少一次乘法运算,见代码

//This program is written by Brian Peng.
#pragma GCC optimize("Ofast","inline","no-stack-protector")
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define Rd(a) (a=read())
#define Gc(a) (a=getchar())
#define Pc(a) putchar(a)
int read(){
	register int x;register char c(getchar());register bool k;
	while(!isdigit(c)&&c^'-')if(Gc(c)==EOF)exit(0);
	if(c^'-')k=1,x=c&15;else k=x=0;
	while(isdigit(Gc(c)))x=(x<<1)+(x<<3)+(c&15);
	return k?x:-x;
}
void wr(register int a){
	if(a<0)Pc('-'),a=-a;
	if(a<=9)Pc(a|'0');
	else wr(a/10),Pc((a%10)|'0');
}
signed const INF(0x3f3f3f3f),NINF(0xc3c3c3c3);
long long const LINF(0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL),LNINF(0xc3c3c3c3c3c3c3c3LL);
#define Ps Pc(' ')
#define Pe Pc('\n')
#define Frn0(i,a,b) for(register int i(a);i<(b);++i)
#define Frn1(i,a,b) for(register int i(a);i<=(b);++i)
#define Frn_(i,a,b) for(register int i(a);i>=(b);--i)
#define Mst(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define File(a) freopen(a".in","r",stdin),freopen(a".out","w",stdout)
typedef vector<int> Vct;
int n,m,s;
Vct a,b,c;
void add(Vct&a,Vct&b,Vct&c){Frn0(i,0,c.size())c[i]=a[i]+b[i];}
void mns(Vct&a,Vct&b,Vct&c){Frn0(i,0,c.size())c[i]=a[i]-b[i];}
void mlt(Vct&a,Vct&b,Vct&c);
signed main(){
	Rd(n),Rd(m),a.resize(s=1<<int(log2(max(n,m))+1)),b.resize(s),c.resize(s<<1);
	Frn1(i,0,n)Rd(a[i]);
	Frn1(i,0,m)Rd(b[i]);
	mlt(a,b,c);
	Frn1(i,0,n+m)wr(c[i]),Ps;
	exit(0);
}
void mlt(Vct&a,Vct&b,Vct&c){
	int n(a.size()),n2(a.size()>>1);
	Vct a0(n2),a1(n2),b0(n2),b1(n2),ab0(n),ab1(n),abm(n);
	if(n==1){c[0]=a[0]*b[0];return;}
	Frn0(i,0,n2)a0[i]=a[i<<1],a1[i]=a[i<<1|1],b0[i]=b[i<<1],b1[i]=b[i<<1|1];
	mlt(a0,b0,ab0),mlt(a1,b1,ab1);
	Frn0(i,0,n)c[i<<1]=ab0[i]+(i?ab1[i-1]:0);
	add(a0,a1,a0),add(b0,b1,b0),mlt(a0,b0,abm),mns(abm,ab0,abm),mns(abm,ab1,abm);
	Frn0(i,0,n-1)c[i<<1|1]=abm[i];
}

看看效果

比朴素分治乘法好一点,但是还是没朴素乘法强,还是很惨

看看这个算法的时间复杂度:

$T(n)=3T(n/2)+f(n)$,其中$f(n)=O(n)$

运用主方法,$a=3,b=2,\log_ba=\log_2 3\approx1.58>1$,所以$T(n)=O(n^{\log_ba})=O(n^{\log_2 3})$

额那不是应该比朴素算法要好吗,这是什么情况

Reason 1. 分治乘法的常数因子太大

Reason 2. 打开$#5$数据一看,$n=1,m=3e6$,那么$O(n^{\log_2 3})$的分治乘法也顶不过$O(nm)$的朴素乘法啊……

所以就要请上本文的主角了


快速傅里叶变换 FFT (Fast Fourier Transform)

Fairly Frightening Transform

约定:$n$为属于$A(x),B(x)$的乘积$C(x)$次数界的最小的$2$的正整数幂(即满足$>$输入$n+m$的最小的$2$的正整数幂),并同样将两个多项式设为$A(x)=\sum_{i=0}^{n-1}a_ix^i,B(x)=\sum_{i=0}^{n-1}b_ix^i$

Reference:

《算法导论》

自为风月马前卒:快速傅里叶变换(FFT)详解

Prerequisite knowledge:

分治思想

复数的基本知识

线性代数的基本知识

Part 1: 多项式的两种表示方式

1. 系数表达

对一个次数界为$n$的多项式$A(x)=\sum_{i=0}^{n-1}a_ix^i$,其系数表达是向量$\pmb{a}=\left[\begin{matrix}a_0\a_1\\vdots\a_{n-1}\end{matrix} \right]$

使用系数表达时,下列操作的时间复杂度:

  1. 求值$O(n)$

  2. 加法$O(n)$

  3. 乘法朴素$O(n^2)$,优化$(n^{\log_2 3})$(即分治乘法)

P.s 当多项式$C(x)=A(x)B(x)$时,$\pmb{c}$被称为$\pmb{a}$与$\pmb{b}$的卷积(convolution),记为$\pmb{c}=\pmb{a}\bigotimes\pmb{b}$

2. 点值表达

一个次数界为$n$的多项式$A(x)$的点值表达是一个有$n$个点值对所组成的集合${(x_0,y_0),(x_1,y_1),\cdots,(x_{n-1},y_{n-1})}$

进行$n$次求值就可以把系数表达转化为点值表达,总时间$O(n^2)$,用公式表示就是:

$\left[\begin{matrix}1&x_0&x_0^2&\cdots&x_0^{n-1}\1&x_1&x_1^2&\cdots&x_1^{n-1}\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\1&x_{n-1}&x_{n-1}^2&\cdots&x_{n-1}^{n-1}\end{matrix} \right]\left[\begin{matrix}a_0\a_1\\vdots\a_{n-1}\end{matrix} \right]=\left[\begin{matrix}y_0\y_1\\vdots\y_{n-1}\end{matrix} \right]$

其中左边的矩阵表示为$V(x_0,x_1,\cdots,x_{n-1})$称为范德蒙德矩阵,于是可以将公式简化为$V(x_0,x_1,\cdots,x_{n-1})\pmb{a}=\pmb{y}$

使用拉格朗日公式,可以在$O(n^2)$时间将点值表达转化为系数表达,该过程称为插值

对于两个在相同位置求值的点值表达多项式,下列操作的时间复杂度:

  1. 加法$O(n)$(只要将各个位置的$y$值相加即可)

  2. 乘法$O(n)$(同理)

所以这就是使用FFT的原因:通过精心选取$x$值,可以在$O(n\log n)$时间完成求值,再$O(n)$乘法,最后$O(n\log n)$插值

傅里叶大神究竟选了什么神奇的$x$值呢,请看

###Part 2: 单位复数根及其性质

$n$次单位复数根是满足$\omega^n=1$的复数$\omega$,正好有$n$个,记为:

$\omega_n^k=e^{2\pi ik/n}=\cos(2\pi k/n)+i\sin(2\pi k/n)$

其中$\omega_n=e^{2\pi i/n}=\cos(2\pi /n)+i\sin(2\pi /n)$被称为主$n$次单位根,所有其他$n$次单位根都是$\omega_n$的幂次

可以把$n$个单位根看作是复平面上以单位圆的$n$个等分点为终点的向量,具体原因就是复数乘法“模长相乘,辐角相加”的规律

如图表示的是$8$次单位复数根在复平面上的位置

于是就可以得到规律:$\omega_n^j\omega_n^k=\omega_n^{j+k}=\omega_n^{(j+k)\mod n}$,类似地$\omega_n^{-1}=\omega_n^{n-1}$

接下来的三个引理就是FFT的重头戏啦

1. 消去引理:对任何整数$n\geqslant 0,k\geqslant 0,d>0$,有$\omega_{dn}^{dk}=\omega_n^k$

**Proof: **$\omega_{dn}^{dk}=(e^{2\pi i/dn})^{dk}=(e^{2\pi i/n})^k=\omega_n^k$

2. 折半引理:对任何偶数$n$和整数$k$,有$(\omega_n^k)^2=(\omega_n^{k+n/2})^2=\omega_{n/2}^k$

**Proof: **$(\omega_n^k)^2=\omega_n^{2k},(\omega_n^{k+n/2})^2=\omega_n^{2k+n}=\omega_n^{2k}$,最后用消去引理,$\omega_n^{2k}=\omega_{n/2}^k$

3. 求和引理:对任何整数$n\geqslant 0$与非负整数$k:n\nmid k$,有$\sum_{j=0}^{n-1}(\omega_n^k)^j=0$

**Proof: **利用等比数列求和公式,$\sum_{j=0}^{n-1}(\omega_n^k)^j=\frac{1-(\omega_n^k)^n}{1-\omega_n^k}=\frac{1-\omega_n^{nk}}{1-\omega_n^k}=\frac{1-1}{1-\omega_n^k}=0$,为了使分母$1-\omega_n^k\neq 0$,必须满足$\omega_n^k\neq 1\implies n\nmid k$

Part 3: 离散傅里叶变换 DFT (Discrete Fourier Transform)

DFT就是将次数界为$n$的多项式$A(x)$在**$n$次单位复数根求值**的过程

简化一下表示方法:

$V_n=V(\omega_n^0,\omega_n^1,\cdots,\omega_n^{n-1})=\left[\begin{matrix}1&1&1&1&\cdots&1\1&\omega_n&\omega_n^2&\omega_n^3&\cdots&\omega_n^{n-1}\1&\omega_n^2&\omega_n^4&\omega_n^6&\cdots&\omega_n^{2(n-1)}\1&\omega_n^3&\omega_n^6&\omega_n^9&\cdots&\omega_n^{3(n-1)}\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\1&\omega_n^{n-1}&\omega_n^{2(n-1)}&\omega_n^{3(n-1)}&\cdots&\omega_n^{(n-1)(n-1)}\end{matrix} \right]$

用公式表示就是$V_n\pmb{a}=\pmb{y}$,也记为$\pmb{y}=DFT_n(\pmb a)$

另外,可以发现$[V_n]{ij}=\omega_n^{ij}\implies y_i=\sum{j=0}^{n-1}[V_n]{ij}a_j=\sum{j=0}^{n-1}\omega_n^{ij}a_j$

终于可以看看具体操作了

Part 4: FFT

FFT利用单位根的特殊性质把DFT优化到了$O(n\log n)$

和分治乘法一样,按未知项次数的奇偶性分开:$A(x)=A^{[0]}(x^2)+xA^{[1]}(x^2)$

其中$A^{[0]}(x)=\sum_{i=0}^{n/2-1}a_{2i}x^i,A^{[1]}(x)=\sum_{i=0}^{n/2-1}a_{2i+1}x^i$

这时,求$A(x)$在$\omega_n^0,\omega_n^1,\cdots,\omega_n^{n-1}$的值变成了:

1. 求$A^{[0]}(x)$与$A^{[1]}(x)$在$(\omega_n^0)^2,(\omega_n^1)^2,\cdots,(\omega_n^{n-1})^2$的值

根据折半引理,$(\omega_n^0)^2,(\omega_n^1)^2,\cdots,(\omega_n^{n-1})^2$中两两重复,其实就是**$n/2$个$n/2$次单位根**

所以只要对拆开的两个多项式分别做$DFT_{n/2}$即可,得到$\pmb y^{[0]}$与$\pmb y^{[1]}$

2. 合并答案

$\omega_n^{n/2}=e^{2\pi i (n/2)/n}=e^{\pi i}=-1$(根据传说中的最美公式$e^{i\pi}+1=0$)

所以$\omega_n^{k+n/2}=\omega_n^k\omega_n^{n/2}=-\omega_n^k$

所以$y_i=y^{[0]}_i+\omega_n^i y^{[1]}i,y{i+n/2}=y^{[0]}_i-\omega_n^i y^{[1]}_i,i=0,1,\cdots,n/2-1$

具体运行时,就每次循环结束时让一个初始为$1$的变量$*\omega_n$即可

递归边界:$n=1$,那么$w_1^0 a_0=a_0$,所以直接返回自身

计算一下时间复杂度

$T(n)=2T(n/2)+f(n)$,其中$f(n)=O(n)$(合并答案)

运用主方法,$a=2,b=2,\log_ba=\log_2 2=1$,所以$T(n)=O(n^{\log_ba}\log n)=O(n\log n)$(皆大欢喜)

Part 5: 离散傅里叶逆变换

可别高兴太早,还有插值

因为$\pmb{y}=DFT_n(\pmb{a})=V_n\pmb{a}$,所以$\pmb{a}=V_n^{-1}\pmb{y}$,记为$\pmb{a}=DFT_n^{-1}(\pmb{y})$

定理:对$i,j=0,1,\cdots,n-1$,有$[V_n^{-1}]_{ij}=\omega_n^{-ij}/n$

**Proof: **证明$V_n^{-1}V_n=I_n$即可

$[V_n^{-1}V_n]{ij}=\sum{k=0}^{n-1}(\omega_n^{-ik}/n)\omega_n^{kj}=\frac{\sum_{k=0}^{n-1}\omega_n^{-ik}\omega_n^{kj}}{n}=\frac{\sum_{k=0}^{n-1}\omega_n^{(j-i)k}}{n}$

如果$i=j$,则该值$=\frac{\sum_{k=0}^{n-1}\omega_n^0}{n}=n/n=1$

否则,因为$n\nmid k$,根据求和引理,该值$=0/n=0$,所以构成了$I_n$

接下来$\pmb{a}=DFT_n^{-1}(\pmb{y})=V_n^{-1}\pmb{y}\implies a_i=\sum_{j=0}^{n-1}[V_n^{-1}]{ij}y_j=\sum{j=0}^{n-1}(\omega_n^{-ij}/n)y_j=\frac{\sum_{j=0}^{n-1}\omega_n^{-ij}y_j}{n}$

比较一下DFT中$y_i=\sum_{j=0}^{n-1}\omega_n^{ij}a_j$

只要运算时把$\omega_n$换成$-\omega_n$,然后将最终答案$/n$,就把DFT变成逆DFT了

终于可以来到激动人心的实现环节了

Part 6: 递归实现

根据前文,只要将分治乘法的代码修改一下即可

可以做到直接在原址进行FFT,就是将分开的两个多项式分置在左右两边

STL提供了现成的complex类可供使用

代码中用$iv$表示是否为逆DFT,用$o$存储主单位根,用$w$累积

**P.s **最后别忘了$/n$,而且$+0.5$为了四舍五入提高精度

//This program is written by Brian Peng.
#pragma GCC optimize("Ofast","inline","no-stack-protector")
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define Rd(a) (a=read())
#define Gc(a) (a=getchar())
#define Pc(a) putchar(a)
int read(){
	register int u;register char c(getchar());register bool k;
	while(!isdigit(c)&&c^'-')if(Gc(c)==EOF)exit(0);
	if(c^'-')k=1,u=c&15;else k=u=0;
	while(isdigit(Gc(c)))u=(u<<1)+(u<<3)+(c&15);
	return k?u:-u;
}
void wr(register int a){
	if(a<0)Pc('-'),a=-a;
	if(a<=9)Pc(a|'0');
	else wr(a/10),Pc((a%10)|'0');
}
signed const INF(0x3f3f3f3f),NINF(0xc3c3c3c3);
long long const LINF(0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL),LNINF(0xc3c3c3c3c3c3c3c3LL);
#define Ps Pc(' ')
#define Pe Pc('\n')
#define Frn0(i,a,b) for(register int i(a);i<(b);++i)
#define Frn1(i,a,b) for(register int i(a);i<=(b);++i)
#define Frn_(i,a,b) for(register int i(a);i>=(b);--i)
#define Mst(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define File(a) freopen(a".in","r",stdin),freopen(a".out","w",stdout)
double const Pi(acos(-1));
typedef complex<double> Cpx;
#define N (2100000)
Cpx o,w,a[N],b[N],tmp[N],x,y;
int n,m,s;
bool iv;
void fft(Cpx*a,int n);
signed main(){
	Rd(n),Rd(m),s=1<<int(log2(n+m)+1);
	Frn1(i,0,n)Rd(a[i]);
	Frn1(i,0,m)Rd(b[i]);
	fft(a,s),fft(b,s);
	Frn0(i,0,s)a[i]*=b[i];
	iv=1,fft(a,s);
	Frn1(i,0,n+m)wr(a[i].real()/s+0.5),Ps;
	exit(0);
}
void fft(Cpx*a,int n){
	if(n==1)return;
	int n2(n>>1);
	Frn0(i,0,n2)tmp[i]=a[i<<1],tmp[i+n2]=a[i<<1|1];
	copy(tmp,tmp+n,a),fft(a,n2),fft(a+n2,n2);
	o={cos(Pi/n2),(iv?-1:1)*sin(Pi/n2)},w=1;
	Frn0(i,0,n2)x=a[i],y=w*a[i+n2],a[i]=x+y,a[i+n2]=x-y,w*=o;
}

Time complexity: $O(n\log n)$

Memory complexity: $O(n)$

看看效果

性能已经超过了朴素乘法(必然的),但是还是没有AC

注意到$n,m\leqslant 1e6$,所以不仅要让时间复杂度至少$O(n\log n)$,还要保持小的常数因子,总之递归还不够快

Part 6: 迭代实现

设$l=\lceil\log_2(n+m+1)\rceil,s=2^l$,那么$A(x),B(x),A(x)B(x)$都是次数界为$s$的多项式

现在需要寻找到一种迭代的方式,使答案自底向上合并以减少常数因子

还是像递归版一样,把$A^{[0]}(x)$放在左边,$A^{[1]}(x)$放在右边

观察每一层递归时各个系数所在位置的规律,以$s=8$为例

0-> 0 1 2 3 4 5 6 7
1-> 0 2 4 6|1 3 5 7
2-> 0 4|2 6|1 5|3 7
end 0|4|2|6|1|5|3|7

没看出来?那就拆成二进制看看

0-> 000 001 010 011 100 101 110 111
1-> 000 010 100 110|001 011 101 111
2-> 000 100|010 110|001 101|011 111
end 000|100|010|110|001|101|011|111

显然地在最后一层递归时,系数编号正好是位置编号的反转(更准确的说是前$l$位的反转)

**一个较为感性的Proof: **因为是按照奇偶性分类,也就是说在第$i$层递归时判断的是该编号二进制第$i$位(从零开始),为$0$放左边,$1$放右边,而放右边的结果就是它的位置编号的二进制第$l-i-1$位是$1$

所以到了递归最底层,位置编号的二进制就正好是系数编号二进制前$l$位的反转啦

构造数组$r_{0..s-1}$,其中$r_i$表示$i$二进制前$l$位的反转,可以利用递推完成,具体请自己思考~~(或看代码)~~

蝴蝶操作 (Butterfly Operation)

其实在递归版代码中已经出现,但是这里再详细说明一下

还记得$y_i=y^{[0]}_i+\omega_n^i y^{[1]}i,y{i+n/2}=y^{[0]}_i-\omega_n^i y^{[1]}_i,i=0,1,\cdots,n/2-1$吗?

但是现在不使用$\pmb{y}$,而是$\pmb{a}$直接合并

因为按照奇偶性分置在两边,所以$a^{[0]}_i=a_i,a^{[1]}i=a{i+n/2}$

设$x=a_i,y=\omega_n^i a_{i+n/2}$

那么新的$a_i=x+y,a_{i+n/2}=x-y$

这就是蝴蝶操作啦

有了蝴蝶操作,只要将所有系数按照$r$数组的位置排列,再迭代合并,就完成了FFT

在代码中,用$i,i_2$表示当前合并产生的和开始的序列长度,$j$表示合并序列的开头位置,$k$控制每一位的合并,上代码

//This program is written by Brian Peng.
#pragma GCC optimize("Ofast","inline","no-stack-protector")
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define Rd(a) (a=read())
#define Gc(a) (a=getchar())
#define Pc(a) putchar(a)
int read(){
	register int u;register char c(getchar());register bool k;
	while(!isdigit(c)&&c^'-')if(Gc(c)==EOF)exit(0);
	if(c^'-')k=1,u=c&15;else k=u=0;
	while(isdigit(Gc(c)))u=(u<<1)+(u<<3)+(c&15);
	return k?u:-u;
}
void wr(register int a){
	if(a<0)Pc('-'),a=-a;
	if(a<=9)Pc(a|'0');
	else wr(a/10),Pc((a%10)|'0');
}
signed const INF(0x3f3f3f3f),NINF(0xc3c3c3c3);
long long const LINF(0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL),LNINF(0xc3c3c3c3c3c3c3c3LL);
#define Ps Pc(' ')
#define Pe Pc('\n')
#define Frn0(i,a,b) for(register int i(a);i<(b);++i)
#define Frn1(i,a,b) for(register int i(a);i<=(b);++i)
#define Frn_(i,a,b) for(register int i(a);i>=(b);--i)
#define Mst(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define File(a) freopen(a".in","r",stdin),freopen(a".out","w",stdout)
double const Pi(acos(-1));
typedef complex<double> Cpx;
#define N (2100000)
Cpx a[N],b[N],o,w,x,y;
int n,m,l,s,r[N];
void fft(Cpx*a,bool iv);
signed main(){
	Rd(n),Rd(m),s=1<<(l=log2(n+m)+1);
	Frn1(i,0,n)Rd(a[i]);
	Frn1(i,0,m)Rd(b[i]);
	Frn0(i,0,s)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
	fft(a,0),fft(b,0);
	Frn0(i,0,s)a[i]*=b[i];
	fft(a,1);
	Frn1(i,0,n+m)wr(a[i].real()+0.5),Ps;
	exit(0);
}
void fft(Cpx*a,bool iv){
	Frn0(i,0,s)if(i<r[i])swap(a[i],a[r[i]]);
	for(int i(2),i2(1);i<=s;i2=i,i<<=1){
		o={cos(Pi/i2),(iv?-1:1)*sin(Pi/i2)};
		for(int j(0);j<s;j+=i){
			w=1;
			Frn0(k,0,i2){
				x=a[j+k],y=w*a[j+k+i2];
				a[j+k]=x+y,a[j+k+i2]=x-y,w*=o;
			}
		}
	}
	if(iv)Frn0(i,0,s)a[i]/=s;
}

Time complexity: $O(n\log n)$

Memory complexity: $O(n)$

看看效果

终于……

到现在为止FFT的内容已经全部结束啦,下面是拓展部分


Extension: 快速数论变换 NTT (Number Theoretic Transform)

虽然FFT具有优秀的时间复杂度,但因为用到了复数,不可避免会出现精度问题

如果多项式系数和结果都是一定范围非负整数,可以考虑使用NTT来优化精度和时空常数

Reference:

《算法导论》

自为风月马前卒:快速数论变换(NTT)小结

Prerequisite knowledge:

FFT(必须知道的)

模运算基本知识

原根的性质

现在考虑所有运算都在$mod P$意义下

设有正整数$g$,如果在$g$的次幂能够得到$<P$的任何正整数,那么称$g$是$Z_P^$的原根,其中$Z_P^$是模$P$乘法群,在这里不多作解释

**E.g **对于$P=7$,计算所有$<P$的正整数的次幂构成的集合

1-> {1}
2-> {1,2,4}
3-> {1,2,3,4,5,6}
4-> {1,2,4}
5-> {1,2,3,4,5,6}
6-> {1,6}

所以$3,5$就是$Z_7^*$的原根

在代码中,一般使用大质数$P=998244353,g=3$

原根的特点就是它的次幂以长度为$\phi(P)$循环

**E.g **$P=7,g=3$

那么$g$的次幂(从$g^0$)开始分别是:$1,3,2,6,4,5,1,3,2,6,4,5,\cdots$

这个特性和单位根非常相似

但是要完全替换单位根,还差一步

####单位根的代替品

在FFT中使用的是循环长度为$n$,且满足消去引理和求和引理的$n$次单位复数根(折半引理由消去引理推出,故不考虑)

所以为了让循环长度为$n$,我们不直接使用原根,而是原根的次幂

离散对数定理:如果$g$是$Z_P^*$的一个原根,则$x\equiv y(\mod\phi(P))\iff g^x\equiv g^y(\mod P)$

**Proof: **设$x\equiv y(\mod\phi(P))$,则对某个整数$k$有$x=y+k\phi(P)$

因此$g^x\equiv g^{y+k\phi(P)} \equiv g^y (g^{\phi(P)})^k \equiv g^y 1^k \equiv g^y (\mod P)$(根据欧拉定理

反过来,因为循环长度是$\phi(P)$,必定有$x\equiv y(\mod\phi(P))$

现在考虑有一个$g$的次幂$g^q$满足$g^q$的次幂以长度$n$循环

也就是说对任意整数$x\geqslant0,0<y<n$,有$g^{qx}\equiv g^{q(x+n)}\not\equiv g^{q(x+y)}(\mod P)$

即$qx\equiv q(x+n)\not\equiv q(x+y)(\mod \phi(P))$

即$0\equiv qn\not\equiv qy(\mod \phi(P))$

可得$\phi(P)|qn,\phi(P)\nmid qy$

那么为了使$q$的因数数量最小化,$q=\phi(P)/n$

此时$qy=\phi(P)y/n$

因为$y<n$,所以$qy<\phi(P)$,必定有$\phi(P)\nmid qy$

所以$q=\phi(P)/n$是可取的

那么问题来了,万一$\phi(P)/n$不是整数怎么办?

这就引出了大质数$P=998244353$的另一个性质:$\phi(P)=P-1=998244352=2^{23}\cdot 7\cdot 17$

而根据数据范围$n,m\leqslant1e6$,可知$l\leqslant 21$,所以$q$总是整数(真是一个神奇的数字)

总结一下,$g^{\phi(P)/n}=g^{\frac{P-1}{n}}$就是$\omega_n$的代替者

消去引理(只需考虑$d=2$的情况)和求和引理就请大家自己证明了(其实道理都非常相似)

最后只要把$\omega_n$替换掉,运算都改为模$P$意义下的运算即可,在算$-\omega_n$时要用到$g^{-1}=332748118$,还有最后答案别忘了$*s^{-1}$,上代码

//This program is written by Brian Peng.
#pragma GCC optimize("Ofast","inline","no-stack-protector")
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define Rd(a) (a=read())
#define Gc(a) (a=getchar())
#define Pc(a) putchar(a)
int read(){
	register int u;register char c(getchar());register bool k;
	while(!isdigit(c)&&c^'-')if(Gc(c)==EOF)exit(0);
	if(c^'-')k=1,u=c&15;else k=u=0;
	while(isdigit(Gc(c)))u=(u<<1)+(u<<3)+(c&15);
	return k?u:-u;
}
void wr(register int a){
	if(a<0)Pc('-'),a=-a;
	if(a<=9)Pc(a|'0');
	else wr(a/10),Pc((a%10)|'0');
}
signed const INF(0x3f3f3f3f),NINF(0xc3c3c3c3);
long long const LINF(0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL),LNINF(0xc3c3c3c3c3c3c3c3LL);
#define Ps Pc(' ')
#define Pe Pc('\n')
#define Frn0(i,a,b) for(register int i(a);i<(b);++i)
#define Frn1(i,a,b) for(register int i(a);i<=(b);++i)
#define Frn_(i,a,b) for(register int i(a);i>=(b);--i)
#define Mst(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define File(a) freopen(a".in","r",stdin),freopen(a".out","w",stdout)
#define P (998244353)
#define G (3)
#define Gi (332748118)
#define N (2100000)
int n,m,l,s,r[N],a[N],b[N],o,w,x,y,siv;
int fpw(int a,int p){return p?a>>1?(p&1?a:1)*fpw(a*a%P,p>>1)%P:a:1;}
void ntt(int*a,bool iv);
signed main(){
	Rd(n),Rd(m),siv=fpw(s=1<<(l=log2(n+m)+1),P-2);
	Frn1(i,0,n)Rd(a[i]);
	Frn1(i,0,m)Rd(b[i]);
	Frn0(i,0,s)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
	ntt(a,0),ntt(b,0);
	Frn0(i,0,s)a[i]=a[i]*b[i]%P;
	ntt(a,1);
	Frn1(i,0,n+m)wr(a[i]),Ps;
	exit(0);
}
void ntt(int*a,bool iv){
	Frn0(i,0,s)if(i<r[i])swap(a[i],a[r[i]]);
	for(int i(2),i2(1);i<=s;i2=i,i<<=1){
		o=fpw(iv?Gi:G,(P-1)/i);
		for(int j(0);j<s;j+=i){
			w=1;
			Frn0(k,0,i2){
				x=a[j+k],y=w*a[j+k+i2]%P;
				a[j+k]=(x+y)%P,a[j+k+i2]=(x-y+P)%P,w=w*o%P;
			}
		}
	}
	if(iv)Frn0(i,0,s)a[i]=a[i]*siv%P;
}

Time complexity: $O(n\log n)$

Memory complexity: $O(n)$

看看效果

时间上的提升效果不大,但是空间少了一半(因为用了int而不是complex)

Conclusion:

打了一天的博客终于写完了(好累)

但是对FFT和NTT的理解也加深了不少

这个算法对数学知识和分治思想的要求都很高

本蒟蒻花了近一年的时间才真正理解

如果有错误和意见请大佬多多指教

那么本篇博客就到这里啦,谢谢各位大佬的支持!ありがとう!

原文出处:https://www.cnblogs.com/BrianPeng/p/12251447.html

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