连续型随机变量----概率为0的事件不一定不可能发生

02/14 13:03
阅读数 74

在生活中,我们通常认为不可能事件一定概率为0,而概率为0的事件一定不可能发生,因为我们通常的思维都是0表示不可能,1表示一定发生。但是我想告诉你的是,在概率论中,你要分特定情况,这样说才正确。我如果告诉你,一件事发生概率为0,那么它仍然可能发生呢!你会是什么表情?

  

但是事实就是这样。通常我们要猜测一件事是否发生,发生概率为多少?由于事件的发生概率不确定,所以一般我们用变量表示这个不确定事件。

随机变量分连续和离散两种,它们各自的分布描述是不同的。

 

但是我们都用分布函数F(x)某处或某段的取值大小来描述一件事发生的概率大小。

公式有:P{X<=x}=F(x),它表达的含义是:在坐标轴X上,取值小于x的概率是多少。打个比方:P{X<=5}=F(5),就是形容这个点落在X<=5的概率。

下面贴两种变量的分布图(分布函数F(X)的图像),好让读者直观感受一下:

                           图1.离散型随机变量分布函数图像

离散型随机变量的分布函数图像来看,它是右连续的,即F(X+0)=F(X),所以针对某一点来说,研究它有意义,因为P{X=x}=P{X<=x}-P{X<x}=F(x)-F(x-0)=F(x+0)-F(x-0)

由于F(x+0)不等于F(x-0),所以对于离散型随机变量来说,计算某点的大小有意义(也就是说可以根据某点的概率值来判断这件事发生的概率大小,对于离散型随机变量概率为0一定是不可能事件,概率为1是必然事件!)。

 

 

 

                       图2.连续型随机变量分布函数图像

 

连续型随机变量的分布函数图像来看,它是处处连续的,即F(X+0)=F(X)=F(X-0)。所以针对某一点来说,研究它没有意义,因为P{X=x}=P{X<=x}-P{X<x}=F(x)-F(x-0)=0,也就是说对于连续性随机变量来说,任何一点的概率都为0。

所以对于连续型随机变量来说,计算某点的大小没意义(也就是说不可以根据某点的概率值来判断这件事发生的概率大小,对于离散型随机变量概率为0不一定是不可能事件,概率为1也不一定是必然事件!)。

 

 

对于连续性随机变量(与积分有关,通常研究一个区间内的概率):

单个具体点的概率密度值为一有界常数,这个值可以是任意的(包括0和1),但因为点是没有长度的,

所以该点的概率密度积分为0(因为该点概率密度值有界),即该点所对应的事件发生的概率为

0,但这个事件仍然是可能发生的,因为这个事件在事件域内。也就是说,概率为0的事件并不

一定不会发生。同理,某个点的概率密度值为1,但该点的概率密度积分仍为0,所以概率为1

的事件也不一定必然发生。总之,对于连续性随机变量,讨论单个点的概率是没有意义的(都

为0),我们讨论的是,这个随机变量落在一个区间内的概率。

 

对于离散随机变量(离散的点,与积分无关):

如果它的事件域是有限个事件,则可以认为概率为0的事件一定不会发生,概率为1的事件必然发

生。但若事件是无限的,则还要具体分析。 既然0概率事件都是有可能发生的,那么概率趋

近于零的事件果然有可能发生,只不过我们平时在处理问题的时候,把概率趋近于零的事件算

作0概率事件,只是算作,不是绝对的是。

 

概率的统计方式:

在一定条件下,重复做n次试验,nA为n次试验中事件A发生的次数,如果随着n逐渐增大,频

率nA/n逐渐稳定在某一数值p附近,则数值p称为事件A在该条件下发生的概率,记做P(A)=p。

这个定义成为概率的统计定义。

在历史上,第一个对"当试验次数n逐渐增大,频率nA稳定在其概率p上"这一论断给以严格的意

义和数学证明的是雅各布·伯努利(Jacob Bernoulli)。

从概率的统计定义可以看到,数值p就是在该条件下刻画事件A发生可能性大小的一个数量指

标。

由于频率nA/n总是介于0和1之间,从概率的统计定义可知,对任意事件A,皆有0≤P(A)≤1,

P(Ω)=1,P(Φ)=0。其中Ω、Φ分别表示必然事件(在一定条件下必然发生的事件)和不可能事件

(在一定条件下必然不发生的事件)。

                                                                                                                                                         

原文出处:https://www.cnblogs.com/hmy-666/p/12307044.html

展开阅读全文
打赏
0
0 收藏
分享
加载中
更多评论
打赏
0 评论
0 收藏
0
分享
返回顶部
顶部