奈奎斯特定理和香农定理

2019/11/15 17:22
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要搞清楚这两个定理,我们要先弄懂一些术语定义:波特率(baud rate)、比特率(bit rate)、带宽(bandwidth)、容量(capacity)、信噪比、电平等。

波特率

波特率(也称信息传送速率、码元速率、符号速率、或传码率),其定义为每秒钟传送码元的数目,码元速率的单位为“波特”,常用符号“Baud”表示,简写为“B”。

一个数字脉冲就是一个码元,我们用码元速率表示单位时间内信号波形的变换次数,即单位时间内通过信道传输的码元个数。若信号码元宽度为T秒,则码元速率B为:

 

 比特率

比特率也称数据传输速率,它的定义是单位时间内可以传输的比特数,单位为bps。比特率的计算公式为:

 

 怎么理解比特率和波特率之间的关系呢?

我们可以假设一个信号只有两个电平状态,那么这个时候可以把低电平理解为“0”,高电平理解为“1”,这样每秒钟电平变化的次数也就是传输的0,1个数了,

即比特率 = 波特率。但是有些信号可能不止两个电平,比如一个四电平的信号状态,那么每个电平就可以被理解成“00”,“01”,“10”,“11”,这样每次电平

变化就能传输两位的数据了,即比特率 = 2 × 波特率。

 

带宽和容量

我们再来看看带宽和容量的概念。一般信道都有一个最高的信号频率(注意不是波特率哦,频率是指每秒钟的周期数,而每个周期都会有几次电平变化。。

恩,看到区别了吧)和最低的信号频率,只有在这两个频率之间的信号才能通过这个信道,这两个频率的差值就叫做这个信道的带宽,单位是Hz。

 

信道的容量又是怎么回事呢?

我们知道数据在信道中传输会有他们的速度——比特率,这里面最高的比特率就叫做这个信道的容量,单位是bps。就好象每条公路都有他们的最高限速,

那么所有在里面开的车都不会超过这个速度(这里我们假设违章的都被警察叔叔抓走了)。

口语中也会把信道容量叫做“带宽”的,比如“带宽10M的网络”,“网络带宽是10M”等等。所以这两个概念也很容易混淆:我们平常所说的“带宽”不是带宽,

而是信道容量,这一点心里要清楚(虽然口头上是改不掉了。。)

 

信噪比

如果我们在人声嘈杂的集市上向远处的一个人喊话,我们必定会提高自己的声音的音量。我们所喊的话叫做信号,周围环境的声音是噪声。我们的声音越

大(信号的功率越大),周围环境越安静则噪声越小(噪声的功率越小),对方就听得越清楚。这说明信号和噪声的功率比越大,越有利于信号的接收。

信号和噪声的功率比就叫做信噪比,用S/N表示,单位没有量纲。由于信噪比有时数值很大,在一个通信线路的各个环节里面还要用它进行计算,所以经常

对它取常用对数,再乘以10。所得的结果也叫做信噪比,不过这时的单位为分贝(db)。

 

电平

系统中某点的电平,是指该点的功率P(或电压U)对某一基准功率P0(或基准电压U0)的分贝比。也就是说,“电平”就是指电路中两点或几点在相同阻抗下电

量的相对比值。这里的电量自然指“电功率”、“电压”、“电流”并将倍数化为对数,用“分贝”表示,记作“dB”。简单地说,电平就是两个电压或功率的比值的对数形

式,例如:两个功率P1和P2的数量比为10000倍,那么它们用对数表示的“分贝比”为:

 

10lg(P1/P2)=10lg10000=40 (dB)

因为功率P和电压U之间有如下的关系:P=U2/Z。所以功率P1/P2的分贝比,可按下式变换成电压U1/U2的分贝比:

10lg(P1/P2)=10lg(U12/Z1)/(U22/Z2)=10lg(U12 Z2/U22Z1)

=10lg(U12 /U22)=10lg(U1/U2)2=20lg(U1/U2)

即:10lg(P/P0)=20lg(U/U0)

所以,用功率比表示时,前面乘的系数是10;用电压比表示时,前面乘的系数是20。

当基准单位P0为1w时,对应的电平为10lg(P/Iw),单位记为“分贝瓦dBw”;

当基准单位P0为1mw时,对应的电平为10lg(P/Imw),单位记为“分贝毫瓦dBmw”;通常将“分贝毫瓦”简写为“dBm”;

当基准单位U0为1mv时,对应的电平为20lg(U/Imv),单位记为“分贝毫伏dBmv”;

当基准单位U0为1μv时,对应的电平为20lg(U/Iv),单位记为“分贝微伏dBμv”,通常将“分贝微伏”简写为“dB”。

介绍完了各个术语定义,再来看看这两个定理说什么。

 

奈奎斯特定理

1924年,奈奎斯特(Nyquist)就推导出在理想低通信道下的最高码元传输速率的公式:

 

 

其中W是理想低通信道的带宽,单位为赫兹;K是多相调制的相数。奈氏准则的另一种表达方法是:每赫兹带宽的理想低通信道

的最高码元传输速率是每秒2个码元。若码元的传输速率超过了奈氏准则所给出的数值,则将出现码元之间的互相干扰,以致在

接收端就无法正确判定码元是1还是0。对于具有理想带通矩形特性的信道(带宽为W),奈氏准则就变为:理想带通信道的最

高码元传输速率=1WBaud,即每赫宽带的带通信道的最高码元传输速率为每秒1个码元。奈氏准则是在理想条件下推导出的。

在实际条件下,最高码元传输速率要比理想条件下得出的数值还要小些。电信技术人员的任务就是要在实际条件下,寻找出较

好的传输码元波形,将比特转换为较为合适的传输信号。

需要注意的是,奈氏准则并没有对信息传输速率(b/s)给出限制。要提高信息传输速率就必须使每一个传输的码元能够代表许

多个比特的信息。这就需要有很好的编码技术。

 

根据奈奎斯特准则我们可以推断出:

(1)给定了信道的带宽,则该信道的极限波特率就确定了,不可能超过这个极限波特率传输码元,除非改善该信道的带宽;

(2)要想增加信道的比特传送率有两条途径,一方面可以增加该信道的带宽,另一方面可以选择更高的编码方式。

例1:假设一个传四进制数据信号的无噪声数字信道,带宽为3000Hz,求其信道容量。

 

奈奎斯特定理适用的情况是无噪声信道,用来计算理论值。一根针掉在地上还有声音呢,没有噪声的信道在现实中是不存在的。

那么有噪声的信道该如何计算呢?这下轮到香农定理出马了!

 

香农定理

1948年,在《通信的数学原理》(Mathematical Theory of Communication)一文中,香农博士(Claude Elwood Shannon)提出了

著名的香农定理,为人们今天通信的发展垫定了坚实的理论基础。

香农定理指出,在噪声与信号独立的高斯白噪信道中,假设信号的功率为S,噪声功率为N,信道通频带宽为W(Hz),则该信道的信道容量C有:

 

 

这就是香农信道容量公式。从公式中我们可以看出,对于一定的信噪比和一定的传输带宽,它的传输速率的上限就确定了,这个极限是不能够突破的。

由香农信道容量公式可得出以下结论:

(1)提高信道的信噪比或增加信道的带宽都可以增加信道容量。

(2)当信道中噪声功率N无穷趋于0时,信道容量C无穷趋于无限大,这就是说无干扰信道的信道容量可以为无穷大。

(3)信道容量C一定时,带宽W与信噪比S/N之间可以互换,即减小带宽,同时提高信噪比,可以维持原来信道容量。

(4)信噪比一定时,增加带宽W可以增大信道容量。但噪声为高斯白噪声时(实际的通信系统背景噪声大多为高斯白噪),增加带宽同时会造成信

噪比下降,因此无限增大带宽也只能对应有限信道容量。

例1:有一个经调制解调器传输数据信号的电话网信道,该信道带宽为3000Hz,信道噪声为加性高斯白噪声,其信噪比为20db,求该信道的信道容量。

 

 

 例2:已知仅存在加性高斯白噪声的信道容量为33.6Kbit/s,其信号噪声功率比为30db,求此模拟信道的带宽为多少?

 

例3:考虑一个极端的噪声信道,其中信噪比近似于零。换言之,噪声很强使得信号很微弱。对于该信道,计算它的信道容量如下:

也就是说,该信道上噪声完全淹没了有效信号,在终端无法识别还原,因此该信道不适合传输数据,数据传输能力为0。

香农定理的伟大之处在于它的理论指导意义。香农公式给出频带利用的理论极限值,即在有限带宽、有噪声的信道中存在极限传输速率,

无论采用何种编码都无法突破这个极限。另外香农定律还告诉我们,在信带容量一定的情况下,信噪比和带宽可以互换。

 

比如航天技术中的宇际通信,由航天器发回的信号往往掩埋在比它高几十分贝的宇宙噪声之中,虽然信号非常微弱,但香农公式指出

信噪比和带宽可以互换,只要信噪比在理论计算的范围内,我们总可以找到一种方法将有用信号恢复出来。另外,如移动通信中的多

址接入技术(FDMA、TDMA、CDMA、SDMA以及OFDM),还有各种信源编码、信道传输编码、纠错编码技术等等,都得益于香

农定理。在xDSL传送系统中,人们正是选择了合理的信道编码技术(DMT和CAP编码调制方式),可以保证信息在有限的通频带

宽内可靠的传递,从而实现数据的高速传输,满足了人们宽带上网的需求。

 转载自:https://www.sohu.com/a/219750202_464086

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