数据结构与算法之美——二叉树

08/13 10:18
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一、前言

       前面我们讲的都是线性表结构,今天我们讲一种非线性表结构,树。树这种数据结构比线性表的数据结构要复杂得多,内容也比较多。

二、树

       什么是树?

       树是n(n≥0)个结点的有限集。n=0时称为空树。在任意一颗非空树中:(1)有且仅有一个特定的称为根(Root)的结点;(2)当n>1时,其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集T1、T2、......Tm,其中每一个集合本身又是一颗树,并且称为根的子树(SubTree)

                                          

      树里面的每个元素我们叫做“节点”;用来连线相邻节点之间的关系,我们叫作“父子关系”。上图中,A节点就是B节点的父节点。B节点是A节点的子节点。B、C的父节点是同一个节点,所以它们之间互称为兄弟节点。我们把没有父节点的结点叫作根节点。也就是图中的A节点。把没有子节点的节点叫作叶子节点或者叶节点

      关于“树”,还有三个比较相似的概念:高度(Height)、深度(Depth)、(Level)。它们的定义如下:

                          

    示意图如下:

                     

二、二叉树

       二叉树,顾名思义,每个节点最多有两个“叉”,也就是两个子节点,分别是左子节点右子节点。不过,二叉树并不要求每个节点都有两个子节点,有的节点只有左子节点,有的节点只有右子节点。

                     

       上图中,编号2的二叉树中,叶子节点全都在最底层,除了叶子节点之外,每个节点都有左右两个子节点,这种二叉树就叫作满二叉树。编号3的二叉树中,叶子节点都在最底下两层,最后一层的叶子节点都靠左排列,并且除了最后一层,其他层的结点个数都要达到最大,这种二叉树叫作完全二叉树。

       要理解完全二叉树定义的由来,我们需要先了解,如何表示(或者存储)一颗二叉树

       想要存储一颗二叉树,我们有两种方法,一种是基于指针或者引用的二叉链式存储法,一种是基于数组顺序存储法

       先来看链式存储法,从图中你应该可以很清楚地看到,每个节点有三个字段,其中一个存储数据,另外两个是指向左右子节点的指针。我们只要拿起根节点,就可以通过左右子节点的指针,把整颗树都串起来。这种存储方式比较常见,大部分二叉树都是通过这种结构来实现的。

                                                         

       再来看,基于数组的顺序存储法,我们把根节点存储在下标i=1的位置,那左子节点存储在下标2*i=2的位置,右子节点存储2*i+1=3的位置。以此类推,B节点左子节点存储在2*i=2*2=4的位置,右子节点存储在2*i+1=2*2+1=5的位置。

                                              

        刚刚举的例子是一颗完全二叉树,所以仅仅“浪费”了一个下标为0的存储位置,如果是非完全二叉树,其实会浪费比较多的数组存储空间。

        如果某颗二叉树是一颗完全二叉树,那用数组存储无疑是最节省内存的一种方式。因为数组的存储方式并不需要向链式存储那样,要存储额外的左右子节点的指针。这也是为什么完全二叉树单独拎出来的原因,也是为什么完全二叉树要求最后一层的子节点都靠左的原因。

       堆其实就是一种完全二叉树,最常用的存储方式就是数组

三、二叉树的遍历

       如何将所有节点都遍历打印出来呢?经典的方法有三种,前序遍历中序遍历后序遍历。其中,前、中、后序,表示的是节点与它的左右子树节点遍历打印的先后顺序

前序遍历是指。对于树中的任意节点来说,先打印这个节点,然后再打印它的左子树,最后打印它的右子树。

中序遍历是指。对于树中的任意节点来说,先打印它的左子树,然后再打印它本身,最后打印它的右子树。

后序遍历是指。对于树中的任意节点来说,先打印它的左子树,然后再打印它的右子树,最后打印这个节点本身。

实际上,二叉树的前、中、后序遍历就是一个递归的过程。比如,前序遍历,其实就是先打印根节点,然后再递归地打印左子树,最后递归地打印右子树。

       写递归代码的关键,就是看能不能写出递推公式,而写递推公式的关键就是,如果要解决问题A,就假设子问题B、C已经解决,然后再来看如何利用B、C来解决A。

       前中后序遍历的递推公式都写出如下:

前序遍历的递推公式:
preOrder(r) = print r->preOrder(r->left)->preOrder(r->right)

中序遍历的递推公式:
inOrder(r) = inOrder(r->left)->print r->inOrder(r->right)

后序遍历的递推公式:
postOrder(r) = postOrder(r->left)->postOrder(r->right)->print r

     有了递推公式,代码写起来就简单多了。这三种遍历方式的代码。如下所示。

void preOrder(Node* root) {
  if (root == null) return;
  print root // 此处为伪代码,表示打印 root 节点
  preOrder(root->left);
  preOrder(root->right);
}

void inOrder(Node* root) {
  if (root == null) return;
  inOrder(root->left);
  print root // 此处为伪代码,表示打印 root 节点
  inOrder(root->right);
}

void postOrder(Node* root) {
  if (root == null) return;
  postOrder(root->left);
  postOrder(root->right);
  print root // 此处为伪代码,表示打印 root 节点
}

        二叉树遍历的时间复杂度是多少呢?从前面的画的前中后序遍历的顺序图,可以看出来,每个节点最多会被访问两次,所以遍历操作的时间复杂度,跟节点的个数n成正比,也就是说二叉树遍历的时间复杂度是O(n)。

小结:

        二叉树的每个节点最多有两个子节点,分别是左子节点和右子节点。二叉树中,有两种比较特殊的树,分别是满二叉树和完全二叉树。

        二叉树既可以用链式存储,也可以用数组顺序存储。数组顺序存储的方式比较适合完全二叉树,其他类型的二叉树用数组存储会比较浪费存储空间。除此之外,二叉树里非常重要的操作就是前、中、后序遍历操作,遍历的时间复杂度是O(n)。需要理解并能用递归代码来实现。

        

 

       

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