树的重量

2018/03/06 17:56
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题目描述

 

树可以用来表示物种之间的进化关系。一棵“进化树”是一个带边权的树,其叶节点表示一个物种,两个叶节点之间的距离表示两个物种的差异。现在,一个重要的问题是,根据物种之间的距离,重构相应的“进化树”。

令N={1..n},用一个N上的矩阵M来定义树T。其中,矩阵M满足:对于任意的i,j,k,有M[i,j] + M[j,k] >= M[i,k]。树T满足:

1.叶节点属于集合N;

2.边权均为非负整数;

3.dT(i,j)=M[i,j],其中dT(i,j)表示树上i到j的最短路径长度。

如下图,矩阵M描述了一棵树。

树的重量是指树上所有边权之和。对于任意给出的合法矩阵M,它所能表示树的重量是惟一确定的,不可能找到两棵不同重量的树,它们都符合矩阵M。你的任务就是,根据给出的矩阵M,计算M所表示树的重量。下图是上面给出的矩阵M所能表示的一棵树,这棵树的总重量为15。

输入输出格式

输入格式:

 

输入数据包含若干组数据。每组数据的第一行是一个整数n(2<n<30)。其后n-l行,给出的是矩阵M的一个上三角(不包含对角线),矩阵中所有元素是不超过100的非负整数。输入数据保证合法。

输入数据以n=0结尾。

 

输出格式:

 

对于每组输入,输出一行,一个整数,表示树的重量。

 

输入输出样例

输入样例#1:  复制
5
5 9 12 8
8 11 7
5 1
4
4
15 36 60
31 55
36
0
输出样例#1:  复制
15
71

[转载]https://www.cnblogs.com/Chuckqgz/p/5644306.html

 

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这道题费了我不少心思= =其实思路和标称毫无差别,但是由于不习惯ACM风格的题目,没有打答案之间的换行,wa了好几次

 

解决所有“构造”问题都要按照如下的步骤:

  1. 寻找特例、特征
  2. 建立模型
  3. 一般化模型
  • 寻找特例

(1) 我们假设结点数为1,显然答案为0,因为这棵树的边集为空。

(2) 当结点数为2时,答案就是d[1][2],即(1,2)的距离。

(3) 当结点数为3时呢?明显(1,3)和(2,3)这两条边有重叠的部分,那重叠的部分是几呢?

如图所示,(1,3)和(2,3)的重叠部分,记作l,其值为$(8+9-5)/2=6。

  • 建立模型
    还是结点数为3的情况,这次把d[1][2],d[1][3],d[2][3]分别设为x,y,z,那么(1,3)和(1,2)的“重叠”部分就应该是(y+zx)/2(y+z−x)/2

  • 一般化模型
    如果结点数为四呢?

如图,只要求出红色的部分就可以了。
至于红色的部分怎么求,详细请见代码

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