状态压缩·一(状态压缩DP)

2018/02/12 14:10
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描述

小Hi和小Ho在兑换到了喜欢的奖品之后,便继续起了他们的美国之行,思来想去,他们决定乘坐火车前往下一座城市——那座城市即将举行美食节!

但是不幸的是,小Hi和小Ho并没有能够买到很好的火车票——他们只能够乘坐最为破旧的火车进行他们的旅程。

不仅如此,因为美食节的吸引,许多人纷纷踏上了和小Hi小Ho一样的旅程,于是有相当多的人遭遇到了和小Hi小Ho一样的情况——这导致这辆车上的人非常非常的多,以至于都没有足够的位置能让每一个人都有地方坐下来。

小Hi和小Ho本着礼让他们的心情——当然还因为本来他们买的就是站票,老老实实的呆在两节车厢的结合处。他们本以为就能够这样安稳抵达目的地,但事与愿违,他们这节车厢的乘务员是一个强迫症,每隔一小会总是要清扫一次卫生,而时值深夜,大家都早已入睡,这种行为总是会惊醒一些人。而一旦相邻的一些乘客被惊醒了大多数的话,就会同乘务员吵起来,弄得大家都睡不好。

将这一切看在眼里的小Hi与小Ho决定利用他们的算法知识,来帮助这个有着强迫症的乘务员——在不与乘客吵起来的前提下尽可能多的清扫垃圾。

小Hi和小Ho所处的车厢可以被抽象成连成一列的N个位置,按顺序分别编号为1..N,每个位置上都有且仅有一名乘客在休息。同时每个位置上都有一些垃圾需要被清理,其中第i个位置的垃圾数量为Wi。乘务员可以选择其中一些位置进行清理,但是值得注意的是,一旦有编号连续的M个位置中有超过Q个的位置都在这一次清理中被选中的话(即这M个位置上的乘客有至少Q+1个被惊醒了),就会发生令人不愉快的口角。而小Hi和小Ho的任务是,计算选择哪些位置进行清理,在不发生口角的情况下,清扫尽可能多的垃圾。

提示一:无论是什么动态规划,都需要一个状态转移方程!

提示二:好像什么不对劲?状态压缩哪里去了?

输入

每个测试点(输入文件)有且仅有一组测试数据。

每组测试数据的第一行为三个正整数N、M和Q,意义如前文所述。

每组测试数据的第二行为N个整数,分别为W1到WN,代表每一个位置上的垃圾数目。

对于100%的数据,满足N<=1000, 2<=M<=10,1<=Q<=M, Wi<=100

输出

对于每组测试数据,输出一个整数Ans,表示在不发生口角的情况下,乘务员最多可以清扫的垃圾数目。

Sample Input
5 2 1
36 9 80 69 85
Sample Output
201
 1 /*
 2 状态压缩DP 
 3 问题 连续的1到n个位置,问在连续m个位上清扫垃圾不打扰超过q位乘客的情况下,最多能清扫多少垃圾
 4 抽象问题 在前i个位置里,连续m个位置上清扫垃圾不打扰超过q位乘客的情况下,最多能清扫多少垃圾
 5 变量 i,m个位置上状态(清理为1,不清理为0),最多能清理多少垃圾
 6 定义状态 以best[i][p1,p2,p3,...pm-1]表示在前i个位置里,连续m个位置上清扫垃圾不打扰超过q位乘客的情况下,最多能清扫多少垃圾
 7 并且以pj(j=1,2,3,..m-1)表示对应位置上是否清理,1表示清理,0表示不清理
 8 
 9 由于第二个变量长度及位数不确定,用数组模拟实现较为麻烦,所以将其状态压缩为一个十进制数(巧妙的看成m位的二进制数)
10  
11 状态转移 当枚举的j里二进制数中1的个数小于等于q时,表示当前位置i可以清理,可以清理表示可清可不清
12 当j的末尾位置为1,就是决定清理,则best[i][j]为前i-1个位置里清扫和不清扫的中的最大值加上当前位置垃圾量
13 即best[i][j]=max(best[i-1][j>>1],best[i-1][(j>>1) + (1<<(m-1))]) + w[i]; 
14 当j的末尾位置为0,就是决定不清理,则best[i][j]为前i-1个位置里清扫和不清扫的中的最大值(有点更新的意思) 
15 即best[i][j]=max(best[i-1][j>>1],best[i-1][(j>>1) + (1<<(m-1))]);
16 当枚举的j里二进制数中1的个数大于q时,表示当前位置只能是不清理,best[i][j]也为前i-1个位置里清扫和不清扫的中的最大值
17 即best[i][j]=max(best[i-1][j>>1],best[i-1][(j>>1) + (1<<(m-1))]); 
18 
19 具体实现时,i推出i+1,则i递增
20         j根据枚举的二进制数的从小到大,也是递增 
21 */
22 #include<stdio.h>
23 #include<string.h>
24 int n,m,q;
25 int w[1010];
26 int best[1010][1050];
27 int max(int x, int y){
28     return x > y ? x : y;
29 }
30 int one_num(int x);
31 int main()
32 {
33     int i,j;
34     while(scanf("%d%d%d",&n,&m,&q) != EOF)
35     {
36         for(i=1;i<=n;i++){
37             scanf("%d",&w[i]);
38         }
39         memset(best,0,sizeof(best));
40         for(i=1;i<=n;i++){
41             for(j=0;j < (1<<m);j++){
42                 /*if(one_num(j) <= q){
43                     if(j & 1)
44                     best[i][j]=max(best[i-1][j>>1],best[i-1][(j>>1) + (1<<(m-1))]) + w[i];
45                     else
46                     best[i][j]=max(best[i-1][j>>1],best[i-1][(j>>1) + (1<<(m-1))]);
47                 }
48                 else
49                 best[i][j]=max(best[i-1][j>>1],best[i-1][(j>>1) + (1<<(m-1))]);*/
50                 best[i][j]=max(best[i-1][j>>1],best[i-1][(j>>1) + (1<<(m-1))]);
51                 if(one_num(j) <= q){
52                     if(j & 1)
53                         best[i][j] += w[i];
54                 } 
55             }
56         }
57         int ans=-1;
58         for(i=0;i< 1<<m;i++){
59             if(ans < best[n][i])
60                 ans=best[n][i];
61         }
62         printf("%d\n",ans);
63     }
64     return 0;
65 } 
66 int one_num(int x)
67 {
68     int num=0;
69     while(x){
70         if(x & 1)
71             num++;
72         x >>= 1;
73     }
74     return num;
75 }

 

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