含绝对值符号的问题

2019/03/14 15:12
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前言

一、解题策略

利用绝对值的定义去掉绝对值符号。

二、典例剖析

<LT>例1</LT>$|x|\ge 1$

分析:原不等式$\Leftrightarrow$ $\left{\begin{array}{l}{x\ge 0}\{x>1}\end{array}\right.$或 $\left{\begin{array}{l}{x< 0}\{-x>1}\end{array}\right.$

<LT>例2</LT> $|x-1|+|x-2|\ge 2$

分析:原不等式$\Leftrightarrow$ $\left{\begin{array}{l}{x\leq 1}\{-(x-1)-(x-2)\ge 2}\end{array}\right.$ 或 $\left{\begin{array}{l}{1<x<2}\{x-1-(x-2)\ge 2}\end{array}\right.$或 $\left{\begin{array}{l}{x\ge 2}\{(x-1)+(x-2)\ge 2}\end{array}\right.$.

<LT>例3</LT>$|x|+|y|\leq 1$

分析:原不等式$\Leftrightarrow$ $\left{\begin{array}{l}{x\ge 0}\{y\ge 0}\{x+y\leq 1}\end{array}\right.$ 或$\left{\begin{array}{l}{x\ge 0}\{y< 0}\{x-y\leq 1}\end{array}\right.$ 或$\left{\begin{array}{l}{x< 0}\{y\ge 0}\{-x+y\leq 1}\end{array}\right.$ 或$\left{\begin{array}{l}{x< 0}\{y< 0}\{-x-y\leq 1}\end{array}\right.$

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<LT>例4</LT>$||x|-2 |\ge 1$

法1:$(|x|-2)^2\ge 1$,得到$|x|^2-4|x|+3\ge 0$,

法2:分类讨论;

<LT>例5</LT>$(|x|- 1)^2+(|y|-1)^2\leq 4$

分析:原不等式$\Leftrightarrow$

$\left{\begin{array}{l}{x\ge 0}\{y\ge 0}\{(x-1)^2+(y-1)^2\leq 4}\end{array}\right.$ 或$\left{\begin{array}{l}{x\ge 0}\{y< 0}\{(x-1)^2+(-y-1)^2\leq 4}\end{array}\right.$

或$\left{\begin{array}{l}{x< 0}\{y\ge 0}\{(-x-1)^2+(y-1)^2\leq 4}\end{array}\right.$ 或$\left{\begin{array}{l}{x< 0}\{y< 0}\{(-x-1)^2+(-y-1)^2\leq 4}\end{array}\right.$

<center> <iframe src="https://www.desmos.com/calculator/4ad2o7htn4?embed" width="500px" height="500px" style="border: 1px solid #ccc" frameborder=0></iframe> </center>

<LT>例5</LT> 点$(2cos\theta,3sin\theta)$到直线$x-2y+3=0$的距离,$d=\cfrac{|2cos\theta-6sin\theta+3|}{\sqrt{5}}=\cfrac{|6sin\theta-2cos\theta-3|}{\sqrt{5}}$

易错:$\sqrt{5}$容易错误的写为$\sqrt{2^2+6^2}$

<LT>例6</LT> 点$(2cos\theta,3sin\theta)$到直线$x-2y+m=0$的距离,$d=\cfrac{|2cos\theta-6sin\theta+m|}{\sqrt{5}}=\cfrac{|6sin\theta-2cos\theta-m|}{\sqrt{5}}$

强调:在求$d$的最大值时,必须针对$m$分类讨论;

<LT>例7</LT>判断函数$f(x)=\cfrac{\sqrt{1-x^2}}{2-|x+2|}$的奇偶性。

分析:研究函数的性质,一般先要求定义域,由题目可知$\begin{cases}1-x^2\ge 0\2-|x+2|\neq 0\end{cases}$,

解得定义域是$[-1,0) \cup (0,1]$,

这样函数就能简化为$f(x)=\cfrac{\sqrt{1-x^2}}{2-|x+2|}=\cfrac{\sqrt{1-x^2}}{2-x-2}=\cfrac{\sqrt{1-x^2}}{-x}$,

所以$f(-x)=-f(x)$,故函数是奇函数。

<LT>例2</LT>已知函数$f(x)$在$[0,+\infty)$上满足$f'(x)>0$恒成立,且有$f(|a|)<f(|a-1|)$,求$a$的取值范围。

分析:函数$f(x)$在$[0,+\infty)$上满足$f'(x)>0$恒成立,则函数在$[0,+\infty)$上单调递增,

结合单调性可知$|a|<|a-1|$,

以下主要说明去掉绝对值符号的思路;

法1:两边同时平方,去掉绝对值符号,

解得$a<\cfrac{1}{2}$,即$a\in(-\infty,\cfrac{1}{2})$。

法2:分区间讨论法解绝对值不等式,过程略。

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cos
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