HDU2050 折线分割平面 （递推）
Problem Description
我们看到过很多直线分割平面的题目，今天的这个题目稍微有些变化，我们要求的是n条折线分割平面的最大数目。比如，一条折线可以将平面分成两部分，两条折线最多可以将平面分成7部分，具体如下所示。 
Input
输入数据的第一行是一个整数C,表示测试实例的个数，然后是C 行数据，每行包含一个整数n(0<n<=10000),表示折线的数量。
Output
对于每个测试实例，请输出平面的最大分割数，每个实例的输出占一行。
Sample Input
2
1
2
Sample Output
2
7
题解
思路
整理下思路，首先入手时候应该考虑直线分割平面的事实。当第i条直线画在平面上时，最多可以和i-1条直线形成交点。由此可得多出的平面数量为（i-1）+1。
对于本题增加到第i条折线时，最多有2*2（i-1）个新增交点，由此可得多出的平面数量为2*2（n-1）+1，所以可以推出递推公式:
f(n)=f(n-1)+4(n-1)+1 n>=3*
代码
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<string>
#include<vector>
#include<stack>
#include<bitset>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<set>
#include<list>
#include<deque>
#include<map>
#include<queue>
using namespace std;
typedef long long ll;
const double PI = acos(-1.0);
const double eps = 1e-6;
int T =0;
const int MAXN=1e5+10;
const int MAX =1e8+10;
int ans[MAXN];
int a=0;
int line(){
ans[1]=2;
for(int j=2;j<MAXN+2;j++){
ans[j]=ans[j-1]+4*(j-1)+1;
}
return 1;
}
int main(void){
line();
scanf("%d",&T);
for(int i =0;i<T;i++){
scanf("%d",&a);
printf("%d\n",ans[a]);
}
return 0;
}
CSU2059 Water Problem（递推）
Description
一条‘Z’形线可以将平面分为两个区域，那么由N条Z形线所定义的区域的最大个数是多少呢？每条Z形线由两条平行的无限半直线和一条直线段组成
Input
首先输入一个数字T（T<100），代表有T次询问 每次询问输入一个数字N（N<1e8），代表有N条Z形线
Output
对于每次询问，在一行输出N条‘Z’形线所能划分的区域的最大个数为多少
Sample Input
2
1
2
Sample Output
2
12
Hint
题解
思路
首先考虑这样的问题，每组直线由3条平行线构成，间隔可以任意调整。那么对于n组直线所能形成的最多平面数量为3n*(3n-1)/2+1。现在，将中间的直线改为斜线之后，在之前答案基础上减去2n即可。
代码
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<string>
#include<vector>
#include<stack>
#include<bitset>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<set>
#include<list>
#include<deque>
#include<map>
#include<queue>
using namespace std;
typedef long long ll;
const double PI = acos(-1.0);
const double eps = 1e-6;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int main(){
int T = 0;
scanf("%d",&T);
for(int i=0;i<T;i++){
ll h = 0;
scanf("%lld",&h);
ll ans = (long long )(4.5*(h+2)*(h-1)-8*(h-1)+2);
printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}
总结
直线分割平面的递推题目的突破点在于考察对于第i条直线时，新加入之后，新形成的交点情况。新形成的交点会产生新的平面。基础情况见下面blog：
