Matlab 图论最短路问题模型代码

2019/09/12 15:07
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最短路问题的基本内容

最短路问题研究的是,在一个点与点之间连接形成的网络图中,对应路径赋予一定的权重(可以理解为两点之间的距离),计算任意两点之间如何和走,路径最短的问题。在这里的距离可以理解成各种两点之间某种任务的开销。

image

<center>网络图</center>

<br/>

模型调用

解决最短路问题,一般可采取 dijkstra 或者floyd 这两种模型,模型调用形式如下:

[mydist,mypath]=mydijkstra(a,sb,db) % dijkstra模型
[mydist,mypath]=myfloyd(a,sb,db) % floyd模型

其中,

  • a 为邻接矩阵
  • sb 为起点标号
  • db 为终点标号
  • mydist 为最短路径长度
  • mypath 为最短路径

<br/>

模型完整代码

Dijkstra 模型代码

function [mydistance,mypath]=mydijkstra(a,sb,db);
% 输入:a—邻接矩阵,a(i,j)是指i到j之间的距离,可以是有向的
% sb—起点的标号, db—终点的标号
% 输出:mydistance—最短路的距离, mypath—最短路的路径
n=size(a,1); visited(1:n) = 0;
distance(1:n) = inf; distance(sb) = 0; %起点到各顶点距离的初始化
visited(sb)=1; u=sb;  %u为最新的P标号顶点
parent(1:n) = 0; %前驱顶点的初始化
for i = 1: n-1
     id=find(visited==0); %查找未标号的顶点
     for v = id           
         if  a(u, v) + distance(u) < distance(v)
             distance(v) = distance(u) + a(u, v);  %修改标号值 
             parent(v) = u;                                    
         end            
     end
     temp=distance;
     temp(visited==1)=inf;  %已标号点的距离换成无穷
     [t, u] = min(temp);  %找标号值最小的顶点 
     visited(u) = 1;       %标记已经标号的顶点
 end
mypath = [];
if parent(db) ~= 0   %如果存在路!
    t = db; mypath = [db];
    while t ~= sb
        p = parent(t);
        mypath = [p mypath];
        t = p;      
    end
end
mydistance = distance(db);

Floyd 模型代码

function [dist,mypath]=myfloyd(a,sb,db);
% 输入:a—邻接矩阵,元素(aij)是顶点i到j之间的直达距离,可以是有向的
% sb—起点的标号;db—终点的标号
% 输出:dist—最短路的距离;% mypath—最短路的路径
n=size(a,1); path=zeros(n);
for k=1:n
    for i=1:n
        for j=1:n
            if a(i,j)>a(i,k)+a(k,j)
                a(i,j)=a(i,k)+a(k,j);
                path(i,j)=k;
            end
        end
    end
end
dist=a(sb,db);
parent=path(sb,:); %从起点sb到终点db的最短路上各顶点的前驱顶点
parent(parent==0)=sb; %path中的分量为0,表示该顶点的前驱是起点
mypath=db; t=db;
while t~=sb
        p=parent(t); mypath=[p,mypath];
        t=p;
end

<br/>

案例演示

对于上面的网络图,求解从 A 到 D 的最短路径。

image

整理邻接矩阵

首先整理出点与点之间连接关系,得出邻接矩阵。

假设点的排序为:

点位 A B1 B2 C1 C2 C3 D
序号 1 2 3 4 5 6 7

整理出 7*7 邻接矩阵:

image

完整代码

% 构造邻接矩阵
a = zeros(7);
a(1,2) = 2; a(1,3) = 4;
a(2,4) = 3; a(2,5) = 3; a(2,6) = 1;
a(3,4) = 2; a(3,5) = 3; a(3,6) = 1;
a(4,7) = 1;
a(5,7) = 3;
a(6,7) = 4;
a = a + a';
a(a==0) = inf; % 零元素换成inf
a(eye(7,7)==1)=0; % 对角线换成 0 

[mydist1,mypath1]=mydijkstra(a,1,7) % dijkstra模型求解
[mydist2,mypath2]=myfloyd(a,1,7) % floyd 模型求解

运行结果

mydist1 =

     6


mypath1 =

     1     2     4     7


mydist2 =

     6


mypath2 =

     1     2     4     7

将序号还原成点位,即最短路径为 A → B1 → C1 → D

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