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多目标规划

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 osc_y8yehimr
发布于 2019/03/21 03:35
字数 1434
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多目标规划问题特点:

  1. 多个优化目标

  2. 约束条件有回旋

给出几个实际的例子:

  例如要购置一台手提电脑,你想要 1. 内存尽可能大 2. 运行速度尽可能快  3. 重量尽可能轻  4. 体积尽可能小  5. 清晰度要高  6. 性价比要尽可能高  … 这些东西就是目标。

  而像:1. 希望价格在5千以内  2. 希望外观比较漂亮  3. 比较坚固  4. 性能要稳定可靠 .....就是一些模糊的约束条件。

  又例如,去浙大参加研究生复试,应该怎么走?这就是一个交通工具的选择问题。

  每个人都有自己的走法,而 1. 一个小时左右能够到  2. 单程费用不要超过20元  3. 最好车上有坐位  4. 步行路程不要超过1000米 .....之类的约束条件就是很多的目标。

 

目标形式:

  

约束形式:

  

注意:是尽可能满足而不是非要满足!

 

 

为了协调多种目标,一般存在两种情况:

  1. 同级的多个目标处理

  ①所有目标函数统一成max形式(或统一成min形式) 

  ②总目标为一个加权求和形

 

  决策者根据实际情况为每个子目标指定权重𝒘𝟏,𝒘𝟐,… ,𝒘𝒌,其中𝒘𝒊/𝒘𝒋为第𝒊个目标关于第𝒋个目标的相对重要性

 

  那么根据目标形式,得出对应的总目标为:

  

  于是我们就可以把多目标规划问题转化为一般的单目标模型:

  

  例题:某厂计划在下一个生产周期内生产A,B两种产品,每种产品的单位利润分别为10和18(单位:万元),资源消耗和限制数量如下表,求总利润最大的生产方案。

  

  解:设生产A,B,C分别为𝒙𝟏, 𝒙𝟐, 𝒙𝟑个单位,数学模型为:

  

  这是一个单目标问题,解得x1=50/7,x2=200/7,最优目标函数值z=4100/7万元。

  但是如果考虑到第一种资源面临涨价预期,希望尽可能清空库存利于快速补充,故考虑本期利润最大化的同时必须为下一个周期做好准备,从而增加新目标函数:

  ,进而就被转化为了一个多目标问题。

  

  如果目标一比目标二更重要,根据需求设定目标一相比目标二的重要性是2:1,则2个目标可以统一为:

  

 

  这样,多目标问题就被化为常规的单目标线性规问题了。

  

  解得x1=550/23,x2=580/23,最优解z≈1556.087。

  注意:目标函数的值要无量纲化

  如果𝒛𝟏的变化范围为[minz1,maxz1],𝒛𝟐的变化范围为[minz2,maxz2],则原目标可以做如下无量纲化处理:

  

  其他无量纲化处理方法:直线型、折线型、曲线型无量纲方法。

 

   2. 不同级的目标问题

   首先要保证目标的主要(𝑷𝟏级)目标,再考虑𝑷𝟐级目标。𝑷𝒊级目标的重要性高于𝑷𝒊+𝟏级的目标的重要性。

    

  绝对约束(也称为系统约束):必须遵循的约束条件,如产品的产量必须为非负等等。

  目标约束:允许带偏差的约束。

  常规数学规划模型中的约束是绝对约束。

  设 𝒇𝒊(𝒊 = 𝟏, 𝟐, ⋯ ,𝒍 )为第𝒊个目标函数,它的正偏差变量:,,表示决策值超过目标值的部分

  负偏差变量:,表示决策值未达到目标值的部分这里表示𝒇𝒊的目标值。

  因决策值不可能既超过目标值同时又未达到目标值,即恒有𝒅𝒊+ × 𝒅𝒊− = 𝟎。

  例如,希望𝟑𝒙 + 𝟒𝒚大约等于100。

  可写成目标约束形式

  如果希望𝟑𝒙 + 𝟒𝒚不超过100,则需要控制正偏差变量,如果希望𝟑𝒙 + 𝟒𝒚至少达到100则需要控制负偏差变量,如果希望𝟑𝒙 + 𝟒𝒚正好等于100,则需要同时控制正负两个偏差变量。

  这种用总偏差量最小化形式表示的目标函数称为达成函数(正负偏差的控制通过目标函数来实现)

  目标规划形式:

  

 

  例题:某厂生产A,B, C三种产品,每种产品的单位利润分别为12,18和15(单位万元),资源消耗和市场需求量如下表:

  

  P1级目标: 达到利润指标利润6000万;

  P2级目标: 尽量用完第一种资源的库存,不够可以适当外购议价资源;

  P3级目标: 尽量不加班,如果需要加班则加班时间不要超过100小时。

  达成函数(目标函数):

  

  设生产A,B,C分别为𝒙𝟏, 𝒙𝟐, 𝒙𝟑个单位,约束条件

  

  先求解P1级目标问题:

  则目标函数为,并根据最初的约束条件求解。

  记求得的最优解为𝒛𝟏 = 𝒄𝟏。 

  然后将𝒛𝟏 = 𝒄𝟏为约束条件(绝对约束)添加到原目标规划的约束中,求解𝑷𝟐级目标问题:

  

  对于解P3级规划问题也是同理。

  最后一个单目标规划的规划的求解结果即为目标规划的满意解。

  注意:在目标规划中不提最优解的概念,只提满意解的概念(因为不可能所有的目标都达到最优),即寻求能够照顾到各个目标,并使决策者感到满意的解,由决策者来确定选取哪一个解,但满意解的数目太多而难以将其一一求出。

 

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