估计、偏差和方差

2019/04/10 10:10
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  • 本文首发自公众号:RAIS

前言

本系列文章为 《Deep Learning》 读书笔记,可以参看原书一起阅读,效果更佳。

估计

统计的目的是为了推断,大量的统计是为了更好的推断,这就是一种估计,一种根据现有信息对可能性的一种猜测。

  • 点估计:点估计指的是用样本数据估计总体的参数,估计的结果是一个点的数值,因此叫做点估计。这个定义非常宽泛,$\hat{\theta}_m=g(x_1, x_2, ..., x_m)$,其中几乎对 g 没有什么限制,只是说比较好的 g 会接近真实的 θ。
  • 函数估计:是一种映射关系,如 $y=f(x)+ϵ$,其中 ϵ 是从 x 中预测不出来的,我们不关心,我们关心的是函数估计 f,函数估计是一种从输入到输出的映射关系。

偏差

估计的偏差定义为:$bias(\hat{\theta}_m)=E(\hat{\theta_m})-\theta$,这很好理解,估计与实际值之间的距离就是偏差,如果偏差为 0,则$\hat{\theta}$是$\theta$的无偏估计,如果在 m 趋近于无穷大时,偏差趋近于 0,则$\hat{\theta}$是$\theta$的渐进无偏。

方差

上面我们用估计量的期望来计算偏差,我们还可以用估计量的方差度量估计的变化程度,我们希望期望这两个值都较小。

对于高斯分布来说,我们有:

  • 样本均值 $\hatμ_m=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^mx^{(i)}$ 是高斯均值参数 μ 的无偏估计;
  • 样本方差 $\hatσ_m^2=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(x^{(i)}-\hatμ_m)^2$ 是 $σ^2$ 的有偏估计;
  • 无偏样本方差 $\hatσ_m^2=\frac{1}{m-1}\sum_{i=1}^m(x^{(i)}-\hatμ_m)^2$ 是 $σ^2$ 的无偏估计;

无偏样本方差显然是比较不错的,但是并不总是最好的,有时候某一些有偏估计也是很好的。比如在机器学习中,均值标准差就非常有用:

$$ SE(\hatμ_m)=\sqrt{Var[\frac{1}{m}\sum_{i=1}^mx^{(i)}]}=\frac{σ}{\sqrt{m}} $$

或者写成

$$ σ_{\overline X}=\sqrt{Var(\overline X)}=\sqrt{\frac{1}{m}Var(X)}=\frac{σ}{\sqrt{m}} $$

均方误差(MSE)

$$ MSE=E[(\hatθ_m-θ)^2]=Bias(\hatθ_m)^2+Var(\hatθ_m) $$

鱼和熊掌不可得兼,偏差和方差度量着估计量的两个不同误差来源,偏差度量着偏离真实函数或参数的误差,方差度量着数据上任意特定采样可能导致的估计期望的偏差,两个估计,一个偏差大,一个方差大,怎么选择?选择 MSE 较小的,因为 MSE 是用来度量泛化误差的。偏差和方差之和就是均方误差:

均方误差

总结

本篇主要介绍了估计、偏差和方差,可以用来正式的刻画过拟合。

  • 本文首发自公众号:RAIS

原文出处:https://www.cnblogs.com/renyuzhuo/p/12622082.html

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