聊聊使用位运算来实现加法(老物)

2019/09/13 16:16
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好久没写资料了,一方面是现在要写的东西太多,思考的事情也太多,都没什么时间来坐下来整理一下有趣的资料出来(其实还是因为自己太懒。)

今晚偶然间看到有人问起了不用内置 + 运算符怎么实现 + 法,这个问题让我想起了不用比较运算符( < 、 > 、 = )怎么实现比较,其实都不是问题,用我的理解方式去理解其实就是一个小学的问题 = -= 。

那按我前面所说的就设置一个最终目标吧。

如何从零开始实现一个比较运算符。

(显然今天这篇是讲不到最终目标了,也许以后也讲不到了,不过看完这篇文章后,你应该就知道怎么做了。)

首先我们先在数学上讲得通道理,再拿到计算机里面看着实现,比较这事情呢,主要就看与 0 的结果。 比如:a > b => a - b > 0,那我们只需要知道 (a - b) 的结果的正负号就可以做出比较的结果了。 所以我们得有正负数的定义吧,然后还得有(a - b)的减法实现吧。 那么如何实现减法呢?一个正数加上一个负数是不是就有了减法呢?确实是。 所以今天的主题就回到标题上,只要有了加法,那就会有了减法,同样也会有乘法,甚至就会有了比较运算,就如上解释可知。

小时候,我们最早计算 9 + 11 的时候是这样算的。

	  11
	+  9
	-------
	  20

没错吧,这个我认为中国人都应该知道的吧,自行百度 竖式计算 。 其实,这个在二进制数中也是可行的,而上面那个是十进制的,二进制的就叫逢二进一。

	  11    =>        1011
	+  9    =>    +   1001
	-------        --------
	  20             10100

这个结果你能接受的话,那我们就进入到代码实现部分吧。

对于二进制的竖式计算中存在两个逻辑,分别是 进位 和 合并 。 进位指对列同为 1 的执行逢二进一,合并指对列不同数值的执行为 1 。 以上逻辑将分别用二进制运算来取代,前者可以视为按位与(&)和左移一位,后者可以视为两数执行按位或。 我附加一点二进制运算说明吧。

在位运算中 ^ 和 & 分别产生以下结果。

	  1011
	^ 1001
	---------     
	  0010

数学意义为,模拟逢二进一的相加结果,保留未进位的结果,这是为了模拟竖式计算的加法结果。 (因为同为 1 则进位,同为 0 无结果,最终结果都是要将其变为 0 ,则可以理解为进位后的结果。)

	  1011
	& 1001
	---------     
	  1001

数学意义为,标记所有进位位置,对其执行 << 1 即可得到进位的结果。

以 1011 + 1001 为例:

根据竖式运算可知:

	  1011  // 
	+ 1001  // 
	---------
	 00010  // 先 1011 ^ 1001 合并得到未进位的结果( 1011 ^ 1001 = 00010 )
	 10010  // 1011 & 1001 = 1001 不为 0 存在进位,故执行 1001 << 1 得到进位后的结果 1001 
	---------
	 10000  // 通过 00010 ^ 10010 合并得到未进位的结果( 00010 ^ 10010 = 10000 )
	 00100  // 00010 & 10010 = 00010 不为 0 存在进位,故执行 00010 << 1 得到进位后的结果 00100 
	---------
	 10100  // 通过 10000 ^ 00100 合并得到未进位的结果( 10000 ^ 00100 = 10100 )
	 00000  // 10000 & 00100 = 00000 ,此时结束运算。
	---------

合并(^)结果后检查是否为可进位(&),直到最终不存在可进位的数,则说明加法结束。

最后贴个代码。

uint add(uint a, uint b)
{
	uint sum, carry;
	while(1)
	{
		sum = a ^ b, carry = a & b;
		if(0 == carry) 
	{
		break;
	}
		a = sum, b = carry << 1;
	}
	return sum;
}

uint Add(uint a, uint b)
{
	uint sum = a ^ b, carry = a & b;
	return (0 != carry) ? Add(sum, carry << 1) : sum;
}
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