复数整理

原创
2022/11/22 11:30
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复数的三角表示

复数是由实部和虚部组成的数: z=a+bi    (i^2=-1),其中a为实部,b为虚部。

复平面:     Z(a,b)

这是一个平面直角坐标系,但是复数也可以用极坐标来表示,如:Z(ρ,θ)

其中的ρ代表模长|OZ|,θ代表与x坐标的角度,在极坐标中称为极角,在复平面中称为辐角,在[0,2π]范围内称为辐角主值

通过极坐标向直角坐标的关系转化可以得到

直角坐标向极坐标转换可以得到

将a、b的三角取值代入z=a+bi就有

z=a+bi=ρcosθ+(ρsinθ)i=ρ(cosθ+isinθ)

这就是复数的三角形式。

复数的四则运算

令z1=a+bi,z2=c+di

加法:z1+z2=(a+c)+(b+d)i

减法:z1-z2=(a-c)+(b-d)i

数乘:λz1=λa+λbi    (λ∈R)

乘法:z1*z2=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci-bd=(ac-bd)+(ad+bc)i

除法:z1/z2=(a+bi)/(c+di)=[(a+bi)(c-di)]/[(c+di)(c-di)]=(ac-adi+bci+bd)/(c^2+d^2)=[(ac+bd)+(bc-ad)i]/(c^2+d^2)=(ac+bd)/(c^2+d^2)+(bc-ad)i/(c^2+d^2)

在除法运算中,分子分母都会乘以一个分母c+di的共轭复数c-di,将分母转化成实数。这里我们可以看到使用复平面的表示方式进行乘法和除法比较繁琐,而且缺乏可解释性,现在我们用复数的三角形式来运算它的乘法和除法。

令z1=ρ1(cosθ1+isinθ1),z2=ρ2(cosθ2+isinθ2)

乘法:z1z2=ρ1(cosθ1+isinθ1)*ρ2(cosθ2+isinθ2)=ρ1ρ2(cosθ1+isinθ1)(cosθ2+isinθ2)=ρ1ρ2(cosθ1cosθ2+isinθ1cosθ2+icosθ1sinθ2-sinθ1sinθ2)

=ρ1ρ2[(cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2)+i(cosθ1sinθ2+sinθ1cosθ2)]

根据余弦和正弦公式,上式可以化为

=ρ1ρ2(cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2))

根据上式,我们可知,两个复数相乘等于这两个复数的模相乘,得到新的模;辐角相加,得到新的辐角

除法这里可以直接给出答案,为

z1/z2=(ρ1/ρ2)(cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2))

也就是,两个复数相除等于这两个复数的模相除,得到新的模;辐角相减,得到新的辐角

共轭复数与模长

共轭复数

给定一个复数,保持它的实部不变,虚部给出相反数,就是其共轭复数。

从上图中,我们可以看出Z和它的共轭复数Z'是关于x轴对称的。

  • 性质

Z*Z'=(a+bi)(a-bi)=\(a^2\)+\(b^2\)=\(|Z|^2\)

这里我们会发现复数乘以它的共轭复数可以转化成实数,也就是它的模的平方。

这个有点类似于共轭根式,如(2+\(\sqrt{3}\))(2-\(\sqrt{3}\))=1,这里本来是两个无理数,相乘后变成了有理数。

从复数的三角形式来看

Z=ρ(cosθ+isinθ),则Z的共轭复数为

Z'=ρ(cosθ-isinθ)

由于余弦函数是一个偶函数,所以cosθ=cos(-θ);正弦函数是一个奇函数,所以-sinθ=sin(-θ),故上式可以化为

Z'=ρ(cosθ-isinθ)=ρ(cos(-θ)+isin(-θ))

故如果复数的辐角是θ,则其共轭的辐角就是-θ。故复数乘以共轭,代表逆时针旋转了θ,然后再顺时针旋转了θ,刚好回到了实数轴,转化成了实数。

  1. 共轭的加减法性质:
  2. 共轭的乘除法性质:

模长

Z=a+bi

|Z|=\(\sqrt{a^2+b^2}\)=|OZ|

  • 模长满足三角不等式:|\(Z_1+Z_2\)|\(\le\)|\(Z_1\)|+|\(Z_2\)|

如上图所示,我们设\(Z_3\)=\(Z_1\)+\(Z_2\),则| \(Z_1\)+\(Z_2\) |=|\(Z_3\)|,红色的边其实就是\(Z_2\),根据三角形两边之和大于第三边,故该三角不等式成立。

  • 模长乘除等式:|\(Z_1Z_2\)|=|\(Z_1\)||\(Z_2\)|,|\(Z_1\over Z_2\)|=\(|Z_1|\over |Z_2|\)

\(Z_1\)=\(ρ_1\)(cos\(θ_1\)+isin\(θ_1\)),\(Z_2\)=\(ρ_2\)(cos\(θ_2\)+isin\(θ_2\))

根据之前复数三角形式的乘法性质,有\(Z_1Z_2\)=\(ρ_1ρ_2\)(cos(\(θ_1\)+\(θ_2\))+isin(\(θ_1\)+\(θ_2\)))

根据复数三角形式的定义,我们可知|\(Z_1Z_2\)|=\(ρ_1ρ_2\)= |\(Z_1\)||\(Z_2\)|,得证。

根据之前复数三角形式的除法性质,有\(Z_1\over Z_2\)=\(ρ_1\over ρ_2\)(cos(\(θ_1\)-\(θ_2\))+isin(\(θ_1\)-\(θ_2\)))

根据复数三角形式的定义,我们可知|\(Z_1\over Z_2\)|=\(ρ_1\over ρ_2\)=\(|Z_1|\over |Z_2|\),得证。

欧拉公式

如果令复数的模为1,则

\(Z_1\)=cos\(θ_1\)+isin\(θ_1\)\(Z_2\)=cos\(θ_2\)+isin\(θ_2\)

\(Z_1\)\(Z_2\)=cos(\(θ_1\)+\(θ_2\))+isin(\(θ_1\)+\(θ_2\))

令Z=cosθ+isinθ=f(θ),这里f(θ)是一个函数,那么\(Z_1\)=f(\(θ_1\)),\(Z_2\)=f(\(θ_2\)),则有

f(\(θ_1\))f(\(θ_2\))=f(\(θ_1\)+\(θ_2\))

通过观察这个式子,我们可以回忆起初等函数中,指数函数是满足这个性质的。

令f(x)=\(e^{ax}\),则f(\(θ_1\))f(\(θ_2\))=\(e^{aθ_1}\)*\(e^{aθ_2}\)=\(e^{a(θ_1+θ_2)}\)

  1. 虽然我们想将这两种形式对应起来,但是这里有一个问题就是指数函数\(e^{ax}\)∈R(实数集),而Z∈C(复数集)
  2. 且复数函数f(θ)是周期函数,周期为2π
    1. \(\because\) cos(θ+2π)+isin(θ+2π)=cosθ+isinθ=f(θ)
    2. \(\therefore\) f(θ+2π)=f(θ)
    3. 但是 f(x)=\(e^{ax}\) 不是周期函数

这里我们猜测指数函数 f(x)=\(e^{ax}\) 中的a∈C,会不会有可能对应起来呢?

指数函数导数f'(x)=a\(e^{ax}\)=af(x)

复函数的导数f'(θ)=-sinθ+icosθ=\(i^2\)sinθ+icosθ=i(cosθ+isinθ)=if(θ)

根据上面两个求导的推导(有关指数函数和三角函数的求导可以参考高等数学整理 中的简单函数求导),如果f(θ)=\(e^{aθ}\),则a=i,则有

cosθ+isinθ=\(e^{iθ}\)

这就是欧拉公式

  • 性质:

θ=π,则由欧拉公式有

-1=\(e^{iπ}\)

则有

\(e^{iπ}\)+1=0

这个就是欧拉恒等式

  • 复指数函数

现在我们对复指数函数的定义存在疑问。

Z∈C,令g(Z)=\(e^Z\),g(Z)函数需要满足两个条件:

  1. g(0)=1
  2. g'(Z)=g(Z)

由此,需要证明g(iθ)=cosθ+isinθ

令F(θ)=g(-iθ)\(\cdot\)(cosθ+isinθ),我们知道一个复数乘以它的共轭是一个实数,所以我们只需要证明F(θ)是一个实数就可以了。

F'(θ)=-i\(e^{-iθ}\)(cosθ+isinθ)+\(e^{-iθ}\)(-sinθ+icosθ)=0

这里需要注意的是\(e^{-iθ}\)是一个复合函数,所以(\(e^{-iθ}\))'=-i\(e^{-iθ}\)

由于实数的导数为0,所以F(θ)是一个实数,得证。

  • 复数的指数形式

由欧拉公式,我们来看一下指数形式的复数的乘法和除法。

\(Z_1\)=\(ρ_1\)\(e^{iθ_1}\)\(Z_2\)=\(ρ_2\)\(e^{iθ_2}\)

\(Z_1Z_2\)=\(ρ_1ρ_2\)\(e^{iθ_1}\)\(e^{iθ_2}\)=\(ρ_1ρ_2\)\(e^{i(θ_1+θ_2)}\)

\(Z_1\over Z_2\)=\(ρ_1\over ρ_2\)\(e^{i(θ_1-θ_2)}\)

由此,我们知道了复数的三种表示方法

  1. Z=a+bi
  2. Z=ρ(cosθ+isinθ)
  3. Z=ρ\(e^{iθ}\)
  • 棣莫弗定理

令Z=\(e^{iθ}\)=cosθ+isinθ,则\(Z^n\)=\(e^{inθ}\)=cosnθ+isinnθ

\((cosθ+isinθ)^n\)=cosnθ+isinnθ     n∈N(整数集)

这个就是棣莫弗定理它构建了n倍角和1倍角之间的关联

当n=2的时候

\((cosθ+isinθ)^2\)=\(cos^2θ\)+2icosθsinθ-\(sin^2θ\)=(\(cos^2θ\)-\(sin^2θ\))+(2cosθsinθ)i

这个是我们根据平方和公式推出来的结果,又根据棣莫弗公式有

\((cosθ+isinθ)^2\)=cos2θ+isin2θ

故可以得出我们的2倍角公式

  1. cos2θ= \(cos^2θ\)-\(sin^2θ\)=2\(cos^2θ\)-1
  2. sin2θ=2cosθsinθ

当n=3的时候

\((cosθ+isinθ)^3\)=\(cos^3θ\)+3\(cos^2θ\)isinθ+3cosθ\((isinθ)^2\)+\((isinθ)^3\)=\(cos^3θ\)+3\(cos^2θ\)sinθ\(\cdot\)i-3cosθ\(sin^2θ\)-i\(sin^3θ\)=(\(cos^3θ\)-3cosθ\(sin^2θ\))+(3\(cos^2θ\)sinθ-\(sin^3θ\))i

这个是我们根据立方和公式推出来的结果,又根据棣莫弗公式有

\((cosθ+isinθ)^3\)=cos3θ+isin3θ

故可以得出我们的3倍角公式

  1. cos3θ=\(cos^3θ\)-3cosθ\(sin^2θ\)=4\(cos^3θ\)-3cosθ
  2. sin3θ=3\(cos^2θ\)sinθ-\(sin^3θ\)

根据棣莫弗公式可以推出任意的多倍角公式,可以算n=4、5、6......

这里我们会发现当n=2的时候,cos2θ=2\(cos^2θ\)-1,它是一个关于cosθ的二次多项式,记作\(T_2\)(cosθ);当n=3的时候,cos3θ= 4\(cos^3θ\)-3cosθ,它是一个关于cosθ的三次多项式,记作\(T_3\)(cosθ)。

如果n取任意整数,cosnθ=\(T_n\)(cosθ),它是一个关于cosθ的n次多项式,我们称该多项式为(第一类)切比雪夫多项式

对于sinnθ来说,它满足这样的规律,\(sinnθ\over sinθ\)=\(U_{n-1}\)(cosθ),它是一个关于cosθ的n-1次多项式,我们称该多项式为(第二类)切比雪夫多项式

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