高等数学整理(三)

原创
2021/07/19 23:42
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高等数学整理(二)

极大似然估计

生活中的极大似然估计

  • 街上遇到一个陌生小孩,你发现这个小孩很聪明,推断一下这个小孩的父母聪明还是不聪明。
  • 一个平常人和一个神箭手射箭,大家同时射出,靶上只有一支箭,推断靶上的箭是谁射的。
  • 小明期末考试成绩是班上第一名,推断小明平时学习是否努力。

这些事件都是由果推因,一件事情的发生很可能是因为最可能导致该件事情发生的因数已经具备。由此可以根据样本反推概率分布的参数

  • 例:有一批完工的产品,现在要检验该批次产品的合格率。随机抽取100个样本,每一次抽取检测后放回,再进行下一次抽样,且保证每个产品被抽到的概率都是一样的(无论该产品是否被抽到过),结果是80个产品合格,所以认为合格率是80%。

现在我们按照“发生的就应该是概率最大的”原理进行数学计算。由于这里抽取的产品要么合格,要么不合格,且每个产品之间没有关联,这是一个重复的贝努力试验,符合二项分布,我们假设产品合格的概率为p,所以抽取100个样本,80个合格,20个不合格的概率为,这里我们认为每一个产品的编号都不同。这里考虑了哪些编号不确定情况下的因素,但当编号是确定的时候就变成了,所以只需要写成。现在我们要让f(p)取最大值,来求p

f(p)是一个一元函数,一元函数有极值的必要条件就是其存在导数,并且该导数为0,有关一元函数求极值和凹凸性请参考高等数学整理 中函数单调性与极值

这是一个函数积的导数以及复合函数求导,令u=p^80,v=(1-p)^20,由于v是一个复合函数,v又可以化成a=1-p,b=a^20,则b'=20a^19,a'=-1,则v'=-20p^19,根据函数积公式,则,令f'(p)=0,则有,这与我们的预期是相符合的。

极大似然估计模型已定,参数未知,根据样本情况去反推最有可能使样本出现的参数

  • 例:设总体X具有的分布律如下

已经获得了60个样本数据,取值为1的样本数据有10个,取值为2的样本数据有20个,取值为3的样本数据有30个,求参数a,b的极大似然估计。

似然函数:

这是一个二元函数,二元函数求极值的必要条件就是各个偏导数为0。此可以参考高等数学整理(二) 中的多元函数求极值

这里我们设置一个辅助函数,它对原函数取对数,则G(a,b)的偏导数为

最终可得a,b的极大似然估计值为

连续型随机变量对应的极大似然估计

我们知道正态分布的概率密度函数为

现在有两个不同的正态分布,它们的方差相同,都为1,均值不同,一个为0,一个为1

现在有一个样本,根据它的取值情况,我们要判定它是来源于哪个正态分布。如果该样本是来源于第一个正态分布,那么我们知道样本在0附近的概率要大于其他位置的概率。同样如果该样本来源于第二个正态分布,那么它在1附近的概率要大于其他位置的概率。

这里我们说的是一个样本,如果有多个样本,那么我们需要用到联合概率密度函数,n个随机变量的联合概率密度函数记为,是n元函数。我们在概率论整理(二) 中知道,当彼此独立的时候,若f(x)为各个随机变量的边缘概率密度函数,则联合概率密度函数

一次采样的n个样本可近似看成是n个独立同分布的随机变量,这n个样本数据代入其联合概率密度函数就应取得最大值

  • 例:一个城市的高中学生身高呈正态分布,均值和方差未知,现在采集到的样本信息为,以此估计均值和方差。

我们知道所有的学生的身高这个变量都是独立的,每个学生的概率密度函数都为,现在我们要求的就是μ和

则根据联合概率密度函数公式,似然函数为:

由于这是一个连乘的形式,我们对μ和σ求偏导数非常的困难,依然还是先建立一个辅助函数对原似然函数取对数,根据对数公式,将连乘变成了连加,再根据lne^x=x进行第二步转换,

求偏导数,解方程组

这里我们为什么要取对数呢?因为lnx函数是单调递增的函数,lnL与L在同一个点处取的最大值,又可以将连乘运算转化为连加运算。

问题

  • 在求最大值过程中,只用了极值存在的必要条件,求解过程是否完善?

严格来说这个过程肯定是不完善的,因为导数或者是偏导数为0,这个时候对应的有可能是极小值,也有可能是极大值。所以我们需要进一步证明它是极大值。此时还需要证明此时的极大值就是函数的最大值。这个过程比较复杂,需要掌握凸优化的理论,证明才比较简单。

  • 在参数很多,偏导数方程组很复杂的情况下如何求解?

这种情况,我们可以尝试考虑用梯度下降算法来求解。

  • 参数一定是不变的吗?

谈到这个问题就必须谈到两个派别,一个是频率学派,一个是贝叶斯学派,频率学派认为总体的参数是不变的,是固定的。贝叶斯学派认为总体的参数可以可变的,贝叶斯估计将参数视为是某种先验分布的,它不是固定的。

极大似然函数计算的基本步骤

  1. 写出似然函数
  2. 对似然函数取对数
  3. 求偏导数(导数),令偏导数(导数)为0,解方程组(方程)
  • 例:设总体X的概率密度函数为,a为参数,a>0,为样本值,求参数a的极大似然估计。

似然函数

  • 设总体X的概率密度函数为为样本值,求参数c,d的极大似然估计。

这是一个均匀分布,似然函数

从这个式子我们看出d-c越小,L越大,所以

一致性

随着样本的逐渐增多,极大似然估计的参数会逐渐接近总体分布的参数,参数的精度会越来越高,这说明极大似然估计满足一致性。

不足之处

非常依赖于概率分布类型的假设。如果说这个假设是错误的,那么我们整个结果都是没有意义的。比如本来属于均匀分布,而我们以为是正态分布,那么在这样假设条件下,无论我们后面做的多么好,最终结果也是没有意义的。

真正的独立同分布不容易满足。

样本不应太少。极大似然分布是满足一致性的,当样本越多,精度越高,样本太少,精度就比较差。

傅立叶变换

傅立叶变换的意义

傅立叶变换提供了一种频域分析的方法。我们先来看一下时域分析,这个世界上唯一不变的东西就是变,所有的东西都在随着时间发生着改变,只是这些改变过于缓慢,无法察觉。比如说身高、容颜等等,所以我们非常习惯以时间为参照来观察事物,研究问题。那么我们还可以从不同的角度来观察事物,分析问题。傅立叶变换就是从频域的角度来分析问题的方法。我们称为频域分析。其实不管是时域分析还是频域分析,我们所获得的信息或者数据都是确定的,并且是没有改变的。只是我们分析的角度不同,视角发生了改变,那么结果就会不一样。

应用领域:我们可以用棱镜将白光分解成红、橙、黄、绿、青、蓝、紫。这实际上也是一种傅立叶变换。

  1. 降噪,比如有一段音频文件,这里面包含了人说话的声音,还包含了周围的杂音。可能由于太过嘈杂导致我们听不清楚说话的内容,这个时候我们可以把这段音频做傅立叶变换,我们找到噪音对应的频率,然后把这些频率前面的系数置0,然后再利用傅立叶逆变换还原成声音信号,这个时候可能噪音就会降低了很多。
  2. 图像处理,一般来说高频对应的是图像的细节,低频对应的是图像的整体,根据这一点,我们就可以对图像进行很多的处理。图像处理一般用到的是二维的傅立叶变换,不过我们这里只探讨一维的傅立叶变换。
  3. 通信和模式识别

反常积分

积分区间为无穷积分或被识函数无界,不过我们这里只探讨积分区间为无穷积分的情况,比如

上面的积分就是反常积分。

若在(-,+)内G'(x)=f(x),则当G(-)与G(+)都存在时,

它的意思就是满足条件时,我们计算积分就可以用原函数来计算

当G(-)与G(+)有一个不存在时,发散。当然都存在时,这个积分是收敛的。

  • 计算

之前我们知道1/(1+x^2)的原函数为arctan x,推导过程见高等数学整理 中的反函数求导。

再由反正切的函数图像,当x->-的时候,y->-π/2,当x->+的时候,y->π/2

根据牛顿-莱布尼茨公式有

常数项级数

给定一个无穷数列

常数项无穷级数,就是将这个无穷数列加和。无穷级数我们又简称为级数

部分和,就是该数列的前n项和

如果级数的部分和和数列有极限s,即,则称无穷级数收敛,如果没有极限,则称无穷级数发散

函数项级数

给定一个定义在区间U上的函数列,它的项数为无穷项。

定义在区间U上的函数项无穷级数,就是将这个函数列加和。

对于每一个确定的,如果常数项级数收敛,则称点是函数项级数的收敛点,如果该常数项级数发散,则称是函数项级数的发散点。

一致收敛性

设有函数项级数在区间U上收敛于和s(x)。既是对区间U上的每一个值都有成立,那么对于任意给定的正数ε及区间U上的每一个值,都存在一个正整数N,使得当n>N时有不等式成立,即。通常来说,N依赖于ε和

若某一函数项级数能够找到这样的一个正整数N,只依赖于ε不依赖于,则称这样的级数为一致收敛级数。

傅立叶级数

  • 换个角度观察

y=sin(2πt),这个函数是一个关于时间t的正弦函数(单位:秒)。我们也可以把它理解成一个正弦信号,对应的函数图像如下。

从上图中,我们可以看出这个函数的周期是1秒。现在我们来换一个角度,从频域的角度来观察一下这个函数

幅度-频率

我们可以画出幅度和频率对应的图像如下

这里横轴代表的是频率(单位Hz,1Hz=1/s),纵轴代表的是幅度。从上图可以看到,它是一个1频波,而它的幅度值也为1。

这是一个单频波,非常简单,我们来看看这样一个函数图像

它所对应的函数为y=sin(2πt)+sin(6πt),它是两个不同频率的三角函数的叠加。如果我们不知道它的函数式,只凭图像是很难看出它对应多少个不同频率的三角函数构成的,并且它们所对应的幅度是怎么样的。

现在我们将这两个三角函数的函数图像拆开,第一个是y=sin(2πt)的函数图像,第二个是y=sin(6πt)的函数图像。

我们再来看一个信号波的图像

它的函数式为y=2sin(2πt)+sin(6πt),我们从频域的角度来观察一下

我们知道y=sin(2πt)的频率是1,那么y=2sin(2πt)的频率依然是1,但是由于它乘了一个2,所以它的幅度从1变成了2。而y=sin(6πt)的频率为3,幅度为1。从这个图中,我们就可以非常清楚的看到它有几个不同频率的三角函数组合而成。

我们继续看一个更复杂的图像

它对应的函数为,它也是由两个不同频率的三角函数组合而成的,同时这两个三角函数的初始相位是不同的,第一个函数的初始相位为π/3,第二个函数的初始相位为π/6。它们频域的图像如下

频率为1、幅度为1的红线代表y=,频率为3、幅度为2的红线代表y=。同时我们也可以画出初始相位和频率的图像如下

这里的横坐标为频率,纵坐标为初始相位,第一条红线纵坐标为π/3,第二条红线纵坐标为π/6。

从以上的例子中,我们不难发现,从时域观察到的结果和从频域观察到的结果有很大的不同。从观察角度的不同,所得到的结果是不一样的。有的时候为了分析的需要,我们需要了解这个函数或者信号,它究竟是有多少个不同频率、不同幅度甚至是不同初始相位的三角函数所叠加构成的。

如果只有时域的图像,我们很难观察出它究竟有多少不同频率的三角函数,那么是否有什么方法可以得到它频域的图像呢,答案是肯定的,那就是傅立叶变换。

法国科学家傅立叶提出,任何的周期性函数都可以用三角级数来表示。这个结论在当时很多人是不信的,有人提出用三角级数来表示一个方波看一下。

这是一个三角函数级数。它表示n个不同频率,不同幅度的正弦函数的叠加,当n=1的时候,它就是sin(x)

当n=3的时候

当n=5的时候

当n=8的时候

当n=11的时候

当n不断增大,该图像就会接近于一个理想的方波。

  • 猜想

是否所有周期函数都可以由三角级数表示

,f(t)为周期函数

我们先考虑周期为2π的情况,设周期函数f(t)的周期为2π。根据两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB,则有

,则有

然后我们会用待定系数法来求解,我们先来看一下三角函数系的一些内容

  • 三角函数系的正交性

三角函数系:

任意两个不同的函数的乘积在[-π,π]上的定积分为0。

现在我们来继续计算的系数

假设右端级数可逐项积分,我们在前面讲函数项级数一致性收敛的时候,说到如果一个函数项级数是一致性收敛级数,有一个性质和逐项积分有关。如果一个级数的各项在定义区间上是连续的,并且这个级数在定义区间上一致收敛于某一个函数,那么这个级数在定义区间上是可以逐项积分的。现在我们将等式两边在[-π,π]上积分

,则有

现在我们求出了,然后来看一下,依然还是,等式两边同时乘以cos(mt),再在[-π,π]上积分

等式右边仅当m=n时不为0,则有

,则

同理,两端乘以sin(mt),再在[-π,π]上积分,得

现在我们求出了

我们把叫做函数f(t)的傅立叶系数,把的表达式代入上面的式子中所得到的三角级数就叫做函数f(t)的傅立叶级数

  • 傅立叶级数的收敛性

狄利克雷充分条件,设f(x)是周期为2π的周期函数,如果它满足:

  1. 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点
  2. 在一个周期内至多只有有限个极值点

那么f(x)的傅立叶级数收敛,并且当x时f(x)的连续点时,级数收敛于f(x)。当x是f(x)当间断点时,级数收敛于

  • 其他周期的情况

设周期为2l的函数f(t)满足收敛条件

,此时g(x)可以看成是周期为2π的周期函数,将g(x)展开成傅立叶级数

通过变量替换,得

  • 周期延拓的情况

函数f(t)只在[a,b]上有定义,将f(t)展开成傅立叶级数

,则,令

g(x)在上周期延拓(为了展开成傅立叶级数,在定义域之外补充定义域,让补充之后的函数是一个周期函数,只有周期函数才可以展开成傅立叶级数),并假设延拓后的周期函数满足收敛定理的条件

通过变量代换,得

  • 傅立叶级数的复数形式

设周期为2l的周期函数f(t)的傅立叶级数为

利用欧拉公式转化

,有

傅里叶变换

如果一个函数f(t)在(-,+)区间内,并且不是周期函数,此时我们无法将其表示成傅里叶级数。换个角度想的话,我们依然可以将其看成周期函数,只不过是周期l->时的周期函数。

对于非周期函数且定义域为无穷时,可以认为周期l->,我们先将其按周期为l的情况,展开成傅里叶级数。

,有

对比,有

其中第一个式子是傅里叶逆变换,第二个式子是傅里叶变换

  • 例:将函数f(t)=t-1,t∈[1,2]展开成傅里叶级数

f(t)的函数图像如下

这属于周期延拓的情况,由公式

可得(这里a=1,b=2)

虽然n从0开始,但是根据或者的式子,我们可以看到n不能取0,但是可以n->0,取极限。我们来看一下n取不同的值的时候,傅里叶级数的不同的图形。

这是n=5时候的图形,我们只需要考虑1<t<2时候的情况,看上去有一点接近真实情况。

这是n=16时候的图形,此时1<t<2时候的情况,比较接近于f(t)的情况。当n取更大的时候,就会更加接近。这里需要说明一下,对于该级数来说,和函数在端点处的取值情况,在t=1的地方,最终会收敛到1/2,t=2的地方,最终会收敛到0;而原函数在t=1的地方取值为0,在t=2的地方取值为1。这是不相等的地方。

离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform)

我们之前所说的傅里叶变换都是连续函数的傅里叶变换,但是计算机中是没有连续函数的概念的,所以对应过来就是离散傅里叶变换。

  • 复指数函数

根据欧拉定理(有关欧拉公式的内容可以参考复数整理 中的欧拉公式)

可以说明一件事,即直角坐标形式的复数  可以用指数形式  表出,或是复指数函数可以被分解为三角函数的形式

如此我们可以进行三角函数和复指数函数的转换

复指数函数分别为连续和离散复指数函数,由欧拉定理有

  1. 复指数函数的值可看作复平面单位圆上辐角为θ的点,也即:
  2. 关于离散复指数函数有一些常用的函数值:
  • 周期序列的离散傅里叶级数

周期序列y(n)的周期为N,,考虑用复指数的加权和表示y(n)

复指数表示基波

第k次谐波

第k次谐波也是周期为N的序列,考虑用下标为0~N-1的谐波表示y(n)

两边乘以,对n在一个周期N上求和,得

上式中

代入原式有

令k=m,

时域上为周期序列的离散傅里叶级数在频域上仍为周期序列

正变换:

反变换:

有限长序列可作周期延拓

正变换:

反变换:

  • 实数序列DFT的对称性

Y(k)与Y(N-k)的模相等,即Y(k)与Y(N-k)的幅度值相等。

快速傅里叶变换的声音分离

快速傅里叶变换是离散傅里叶变换的快速算法。若有两种声音同时发出,能否找到一种方法可以将这两种声音区分出来?这种方法的适用条件是什么?

我们可以把声音信号采集下来,然后做离散傅里叶变换或者快速傅里叶变换,做变换之后就可以看到我们采集的声音信号中包含了哪些频域分量,其中的条件是这两种声音的频域分量是没有重叠的,完全分开的。如果我们要保留其中一种声音,我们就需要把这种声音所包含的频域分量保留,把其他的频率分量全部置0。把频率分量置0并不是说把频率给0,而是这个频率所对应的幅度值置为0。再利用离散傅里叶的逆变换恢复成声音信号,此时就是我们所保留的那一种声音了。

我们在采集声音信号是将连续信号给离散化,这里有一个非常重要的概念叫采样率(单位Hz)。根据奈奎斯特采样定理,采样率必须要大于我们所采集的信号的最高频率的2倍。这样采集的信号才包含原来信号的全部信息,否则就会有信息丢失。由于离散傅里叶变换的公式并不包含采样率的参数,我们需要将采样率融入到离散傅里叶变换的公式中。

  1. 第k次谐波,它的频率为,这是角频率,角频率和采样率的频率的关系为2π的关系。
  2. 信号采样频率,单位Hz,采样周期
  3. 此时,采样N个点需要的时间
  4. 所以第k次谐波的表达式变为
  5. 通常考虑的频率分量是指,单位Hz

现在我们来看一段对噪音的快速傅里叶变换的代码,该声音文件地址链接:https://pan.baidu.com/s/1tH_rlZ29K_TDduXEeZT2eA
提取码:ahro

我们先画出该噪音的波形

import numpy as np
import scipy.io.wavfile as wf
import matplotlib.pyplot as plt

if __name__ == '__main__':

    # 获取采样率和数据
    sample_rate, data = wf.read('C:\\Users\\xxx\\Downloads\\noised.wav')
    N = data.size
    print(sample_rate, N)
    # 时间轴,单位:秒
    x_time = np.arange(N) / sample_rate

    plt.figure(1)
    plt.plot(x_time[:178], data[:178], c='orangered')
    plt.show()

运行结果

44100 220500

再将该波形转换成频域

freqs = np.fft.fftfreq(x_time.size, x_time[1] - x_time[0])
# 快速傅里叶变换
complex_data = np.fft.fft(data)
# 计算幅度
amp = np.abs(complex_data)

plt.title('Frequency Domain', fontsize=16)
plt.ylabel('Power', fontsize=12)
plt.tick_params(labelsize=10)
plt.grid(linestyle=':')
# 指数增长坐标画图
plt.semilogy(freqs[freqs > 0], amp[freqs > 0], c='limegreen', label='Noised')
plt.legend()
plt.show()

运行结果

由上图我们可以看见该噪声是由高振幅的主频波和很多的低振幅的杂波构成,我们需要消除这些杂波。

# 寻找幅度最大的频率值
fund_freq = freqs[amp.argmax()]
# where函数寻找那些需要抹掉的复数的索引
noised_indices = np.where(freqs != fund_freq)
# 复制一个复数数组的副本,避免污染原始数据
filter_complex_data = complex_data.copy()
filter_complex_data[noised_indices] = 0
filter_amp = np.abs(filter_complex_data)

plt.xlabel('Frequency', fontsize=12)
plt.ylabel('Power', fontsize=12)
plt.tick_params(labelsize=10)
plt.grid(linestyle=':')
plt.plot(freqs[freqs >= 0], filter_amp[freqs >= 0], c='limegreen', label='Filter')
plt.legend()
plt.show()

运行结果

基于逆快速傅里叶变换,生成新的音频信号,绘制音频时域的信号,并生成音频文件

# 逆快速傅里叶变换后取实部
filter_sigs = np.fft.ifft(filter_complex_data).real
plt.xlabel('Time', fontsize=12)
plt.ylabel('Signal', fontsize=12)
plt.tick_params(labelsize=10)
plt.grid(linestyle=':')
plt.plot(x_time[:178], filter_sigs[:178], c='hotpink', label='Filter')
plt.legend()
wf.write('C:\\Users\\xxx\\Downloads\\data1.wav', sample_rate, filter_sigs.astype(np.int16))
plt.show()

重积分

二重积分的概念

之前我们知道了定积分的意义,就是求一个一元函数f(x)所组成的曲边梯形的面积。它是将ab线段划分成无穷小的一段∆x=(b-a)/n,这里n->∞再乘以高度(即函数值f(x)),最终得到f(xi)•∆x=f(x)dx

而对于多元函数来说,它所组成的空间,称为重积分。对于二元函数f(x,y)来说,就叫二重积分。我们所要求的就是一个曲顶柱体的体积。

这里在XY平面上的绿色方块区域,我们称为积分区域,它平行于X轴的线段,设定为∆x,平行于Y轴的线段,设定为∆y,则它的面积就为∆δ=∆x•∆y,我们可以把δ想象的非常的小,就是一个点,则在曲顶柱体的高度就是二元函数值f(x,y),则整个曲顶柱体由这些所有的很小的区域组成,它的体积就为

f(xi,yi)•∆δ,可以写为dxdy可以写为

定积分与二重积分对比

  定积分 二重积分
几何意义 曲边梯形面积 曲面柱体体积
描述式
符号表达式 (或dxdy)
  • 例:求,积分区域D由平面构成

曲面z=√(R^2-x^2-y^2)表示球心在(0,0,0)处,半径为R的上半球面,D表示圆心为(0,0),半径为R的圆面。

所以表示上半球的体积=(2/3)πR^3

二重积分的性质

  定积分 二重积分
齐次、可加性(线性性质)
分块积分性
不等式性

特别地,

特别地

最值性
积分中值定理
  • 例:比较大小,D是(1,0),(1,1),(2,0)围成的三角形区域.

可知,我们只需要比较ln(x+y)和[ln(x+y)]^2即可

而(1,0),(1,1),(2,0)围成的三角形如下图所示

由图中我们可以看出1≤x+y≤2,则ln1≤ln(x+y)≤ln2,即0≤ln(x+y)≤ln2<lne=1

令f=ln(x+y) ∈ [0,1),f-f^2=f(1-f)≥0,故f≥f^2

最终可得

  • 例:,求估值。

设f(x,y)= 1/(100+cos^2x+cos^2y),积分区域为

1/102≤1/(100+cos^2x+cos^2y)≤1/100,由可知

δ等于4个三角形面积=10*10*(1/2)*4=200,所以

200/102≤≤200/100,即为100/51≤≤2

直角坐标系下二重积分的计算

直角坐标系下二重积分区域类型

  • X型区域(上下型):垂直于x轴直线能同时穿过两条曲线或斜线。

  • Y型区域(左右型):垂直于y轴直线能同时穿过两条曲线或斜线。

  • 既是X型区域,也是Y型区域(上下或左右型):垂直于x轴或y轴直线均能同时穿过两条曲线或斜线。

现在我们来看一下上下型

我们来看一下图中的右部分的蓝色截面的面积,它其实就是这样的一个定积分A(x)=f(x,y)dy,这里我们将x看成一个常量,对y求定积分。

而整个曲顶柱体的体积就是由所有的这样的截面组成,它的体积就为A(x)dx,这里我们是沿着x轴的方向,对x求定积分。

这里其实就是对一个二重积分分成了两个定积分,将两个式子合到一起就变成了(f(x,y)dy)dx

X型区域二重积分计算步骤

步骤(三步走)

  1. 画出积分区域图,写出先y后x的二次积分表达式
  2. 从下至上穿线,求出先后经过边界表达式
  3. 求出区域在x轴的取值范围[a,b],求解
  • 例:,积分区域D由y=x,x+y=1,x=0所围成图形。

积分区域如图所示

先y后x的二次积分表达式为∫dx∫2xydy

两个边界=x;=1-x

解联立方程得x=1/2,y=1/2

则[a,b]的取值范围为[0,1/2],则原式=dx2xydy,先对y积分,x看成常量,则2xy的原函数为xy^2,根据牛顿-莱布尼茨公式得2xydy=x[(1-x)^2-x^2],则dx2xydy=x[(1-x)^2-x^2]dx=(-2x^2+x)dx

-2x^2+x的原函数为(-2/3)x^3+(1/2)x^2,根据牛顿-莱布尼茨公式得(-2x^2+x)dx=(-2/3)(1/2)^3+(1/2)(1/2)^2-0=1/24

我们再来看一下左右型

左右型相对于上下型其实是一样的,换汤不换药。我们看一下图中右部分的绿色截面的面积,它其实就是这样的一个定积分A(y)=f(x,y)dx,这里我们将y看成一个常量,对x求定积分。

而整个曲顶柱体的体积就是由所有的这样的截面组成,它的体积就为A(y)dy,这里我们是沿着y轴的方向,对y求定积分。

这里其实就是对一个二重积分分成了两个定积分,将两个式子合到一起就变成了(f(x,y)dx)dy

Y型区域二重积分计算

步骤(三步走)

  1. 画出积分区域图,写出先x后y的二次积分表达式
  2. 从左至右穿线,求出先后经过边界表达式
  3. 求出区域在y轴的取值范围[c,d],求解
  • 例:,其中D是抛物线及直线y=x-2所围成的区域

积分区域如图所示

先x后y的二次积分表达式为∫dx∫xydx

两个边界=y^2;=y+2

解联立方程得x1=1,y1=-1或x2=4,y2=2

则[c,d]的取值范围为[-1,2],则原式=dyxydx,先对x积分,y看成常量,则xy的原函数为y[(1/2)x^2],根据牛顿-莱布尼茨公式得xydx=(1/2)y[(y+2)^2-y^4],则dyxydx=(1/2)y[(y+2)^2-y^4]dy=(-(1/2)y^5+(1/2)y^3+2y^2+2y)dy=45/8

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