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2021/03/03 06:18
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极限

极限的定义:在自变量的同一变化过程x -> x0 或x -> ∞中,函数f(x)具有极限A的充要条件是f(x) = A + å,其中å是无穷小

如何理解同一变化过程。

这里只有当x无限趋近于无穷大时,å的极限才为0,若x无限趋近于1的时候,很明显,å的极限就不为0

无穷大

设函数f(x)在点x0点某一去心邻域内有定义(或|x|大于某一正数时有定义),如果对于任意给定的正数M(无论它多么大),总存在正数∂(或正数X),只要x满足不等式0 < |x - x0| < ∂(或|x| > X)时,对应的函数值f(x)总满足不等式|f(x)| > M,那么函数f(x)是当x -> x0(或x -> ∞)时的无穷大。

无穷大指的是函数值的无穷大。无穷大不是一个具体的数,根据极限定义,函数值趋近于无穷大时极限值是不存在的,但是为了表述函数的这一性态,通常也会说函数的极限是无穷大,记为

在自变量的同一变化过程中,如果f(x)为无穷大,那么为无穷小。如果f(x)为无穷小,且f(x)≠0,那么为无穷大。

判断极限是否存在

上图是的图像,它是一个没有间断点,连续的曲线,它是一个基本初等函数,实际上所有的基本初等函数在定义域内都是连续的,所有的连续函数,都是有极限的。的极限就是1.基本初等函数包含幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数这五种函数。而初等函数是这些基本初等函数进行有限次四则运算和有限次的函数复合所构成的函数,称为基本函数。

这个函数的图像变化如下所示

由于它并不是一个连续的函数,所以它不存在极限

的函数图像如下

这里x -> ∞,它总是一个周期性变化的图像,所以它不存在极限值;但是如果这里x -> 3,则存在一个极限值,就是sin3。

的函数图像如下

由于它也是不连续的函数,所以它不存在极限。

极限运算法则

  • 有限个无穷小之和仍然是无穷小
  • 有限函数与无穷小的积仍然是无穷小,比如sin(x)就是一个有限函数,它的范围在-1和1之间
  • 有限个无穷小之积仍然是无穷小
  • 如果lim g(x)存在,c为常数,则lim[cg(x)] = clim g(x)
  • 如果lim g(x)存在,n为正整数,则
  • 有数列。如果,则有
    • ≠0(n=1,2,...)且B≠0时,

求数列或函数的极限,我们来看一个例子

分子、分母同时除以x,则有

这里分母的极限是3,分子的极限是∞,所以最终结果为∞。

首先先进行约分,所以最终结果为6

因此我们有这样一个结论,当p,q为非负整数

现在我们来看一个有趣的问题,一只青蛙在一口10米的深井,它第一天跳5米(不下滑),以后每一次因为体力下降,跳的高度是上一次的一半,问青蛙跳多少天能跳出这口井

我们来看一下这只青蛙每天跳的高度是多少,5、2.5、1.25、...、,这里的n为天数。

这是一个等比数列,求和公式为,q是公比为1/2,a1就是5,n天后一共跳了,由这个式子我们可以看出,只有0.5的n次幂趋近于0的时候,也就是n趋近于∞的时候,它才可以等于10.即,所以我们的答案是青蛙跳不出这口井。

这里需要说明的是,如果青蛙每天跳的高度小于等于5米,比如4.99999999米或者5米,它都是跳不出来的。但只要大于5米,比如5.00000001米,它就可以跳出来,这是一个对我们启发很大的量变到质变的意义。

两个重要的极限

我们来看一个银行存钱的利率结算的问题,当然我们这里的示例在现实中是不可能存在的。如果你手上有1万元,有几家银行可以存款,第一家收益按照5年结算,5年利率为1;第二家按照每年结算,年利率为20%;第三家按照季度结算,季度利率为5%;第四家按照月结算,月利率为(5% ÷ 3),5年时间内问钱存哪家银行更划算?

  1. 第一家:    1(1+1) = 2
  2. 第二家:    ,这里指数5代表5年,1÷5=20%
  3. 第三家:    ,这里指数20代表5年有20个季度,1÷20=5%
  4. 第四家:    ,这里指数60代表5年有60个月,1÷60=5%÷3

如果银行把结算周期无限减少,那么钱是否会无限增多呢?这其实就是求极限的问题

,我们现在并不知道这个极限是否存在。

极限存在准则

  • 准则1

若数列满足从某项起,当n > 时,有,且,则极限存在且,这个我们又称为夹逼准则

  • 准则2

单调有界数列必有极限。

我们先来看一下的单调性,根据二项式的展开式其中,则有

通过对的比较,我们发现除了常数项2后面的每一项,都比要小,而且还多了一项,所以,则一定是单调递增的。而又有

我们可以看出是有界的,所以它一定存在极限。这个极限值为一个无理数,即

,这个e叫做自然对数。函数的图像为

从这个图像可以看出n在正数部分,无论n多么大,或者叫n趋近于∞,钱数都趋近于e

我们再来看这样一个极限

我们先来看这样一个图,图中有一个半径为1的1/4个圆,OC是一条射线,A是OC与该1/4圆的交点。CB垂直于横轴,AD垂直于横轴。

令x=AOB,则有,这里S为面积。则有

等式的最左边cos x,当x趋近于0的时候,极限为1;等式的最右边是一个常数1,极限肯定也为1。根据夹逼准则,则有

函数的图像如下

它主要用于电子信息领域的采样,会在傅立叶变换中说明。

函数连续性

无穷小的比较

都是无穷小的时候,是可以比较的。我们假设a、b都是无穷小

  1. ,则b是比a高阶的无穷小,记为b = o(a)
  2. ,则b是比a低阶的无穷小
  3. ,则b与a是同阶的无穷小
  4. ,则b与a是等阶无穷小,记为a ~ b
  5. ,m>0,则b是关于a的m阶无穷小

现在我们给出一些等阶无穷小的结论

  1. ln(1 + x) ~ x

等阶无穷小用来表示近似,在某些情况下它们可以互相代替。

左右极限

趋近一个数的时候可以从左右两个方向趋近

比如这个分段函数,它的函数图像如下

那么它的左极限,右极限。这里我们可以看到,这个函数在x=0的时候为0,那么为什么它的左右极限不等于0呢?其实左极限和右极限在函数在这个点的值是没有关系的。

判断函数在某点处连续性判定:左极限=右极限=该点函数值

一切初等函数在其定义域内都是连续的

我们来看一个例子,函数在(-∞,+∞)内连续,则b为多少?

当x=0的时候,它的右极限为1,左极限为b,则b=1

函数在x=0处连续,则a和b满足的关系式是?

在x=0处,它的左极限是2a,之前我们知道,所以它的右极限是b,所以b=2a

一元函数的导数与微分

切线

我们先来看这样一个函数的图形

这个图形中的绿线就是它的函数曲线,同时我们还做了很多其他的线,其中AB、AC、AD是这个函数曲线的割线,我们可以看到B、C、D是不断靠近于A的,当这个割线的点与A重合时,有一条AH的线,这条线就是这个函数曲线的切线

割线斜率    ,以AB这条割线为例,这里的分母h是自变量的增量,就是9-3=6,也就是AE这条线段;而分子f(x+h)-f(x)就是0.1*9^2-0.1*3^2=8.1-0.9=7.2,也就是BE这条线段。所以最终斜率就是7.2÷6=1.2。

同理,AC的割线斜率就是CF / AF = 1;AD的割线斜率就是DG / AG = 0.8。我们可以看到随着割点B不断向C、D运动的过程中,它的斜率是不断减小的。那如果割点与A点重合的时候,切线的斜率是多少呢?这其实就是一个求极限的问题了。

切线斜率    ,这个斜率绝对值越大,直线越陡峭

导数定义

,这里的表示的是一个常量点,那么所有的常量点的导数就构成了导函数

导数就是平均变化率的极限

y=f(x)的导数可以记为

可导与函数连续性的关系

由导数的定义以及极限的充要条件——函数f(x)具有极限A的充要条件是f(x) = A + å推导可得(这里的å(h)即表示无穷小,A即为导数,f(x)即为)

在最后一个式子中,h可以理解为增量,当增量趋近于0的时候,函数的变化量为0,就可以表示该函数是一个连续函数

结论就是如果函数在某个点可导,那么它一定在这个点连续。

但是函数在某个点连续,却不一定可导。比如

y = |x - 1|,该函数的图形如下

它在x=1的地方是不可导的,我们来看一下该函数在x=1的时候导函数的左右极限

导函数右极限

导函数左极限

因为该函数的导函数左右极限不相等,所以虽然该函数是连续的,但是却是不可导的。

最后总结就是函数可导必定连续,但是连续不一定可导

求导公式

首先我们来看两个等阶无穷小

根据等阶无穷小的定义,我们将它们相除

第一步,ln a是一个常数,根据极限的运算法则,可以将其提前。第二步,根据对数的指数外提转化公式获得。第三步,根据所得。第四步,是两个互为底的对数相乘。所以这是一个等阶无穷小。则有,这里必须是x趋近于0.

这个推导前面都很简单,最后一步是根据上面的得来。则有当a=e的时候

要证明这两个的等阶无穷小,依然是相除,第一步将常量1/a提前;第二步分子、分母同时乘以;第三步根据极限运算法则以及对数的指数外提转化公式所得;第四步根据上面的得来。

简单函数求导

  • 幂函数求导

这里第一步根据两个数的m次幂等于这两个数分别m次幂后再相乘得到,比如x+h乘以1/x等于(x+h)^m乘以(1/x)^m;第二步则得到。

  • 正弦函数求导

这里第一步根据正弦函数的和差化积公式得到;第二步,我们将分子的2放到分母中得到分母为h/2,再根据,最后就是求当h趋近于0的极限,代入可得cos x。

  • 余弦函数求导

这里第一步根据余弦函数的和差化积公式得到;第二步,我们将分子的2放到分母中得到分母为h/2,再根据,最后就是求-当h趋近于0的极限,代入得-sin x。

  • 正切函数求导

  • 指数函数求导

这里第一步将a^x提前可得;第二步将分子分母同时乘以ln a,再根据可得最终结果。

  • 对数函数求导

这里第一步根据以及分子分母上下同时乘以1/x得到;第二步分子分母同时除以ln a,再根据得到。

函数的和、差、积、商求导

反函数求导

例如设x = sin y,则y = arcsin x为其反函数

假如x = tan y,则y = arctan x为其反函数,(arctan x)'=1/tan'y,tan'y=(siny/cosy)′=(sin'ycosy-sinycos'y)/cos^2y=(cos^2y+sin^2y)/cos^2y=1/cos^2y,则(arctan x)'=cos^2y=cos^2y/(sin^2y+cos^2y)=1/(tan^2y+1)=1/(1+x^2)

复合函数求导

u=g(x)在点x可导,y=f(u)在点u=g(x)可导,

这里不能简单的认为两个du可以约去。

证明:

这里推导的第二步是极限的充要条件,表示无穷小。最后一步,趋近于0的时候,=0,得到

求导公式应用示例

这是一个复合函数,根据复合函数的求导公式,则有,再根据两个导数相乘的公式,再根据=cos x,这里需要注意的是sin 3x也是一个复合函数,即sin u和u =3x的复合。3x的导数为((3(x + h)) - 3x)/h = 3,即式子左边部分为为cos xsin x + sin xcos x=2sin xcos x,所以右边为

根据以及复合函数求导公式可得

求函数在点x=2处的切线方程和法线方程

根据幂函数的求导公式,则有,我们将x=2代入

切线方程:斜率k为4

由切线方程y-y0=k(x-x0),有y - 4 = 4(x - 2)得y = 4x - 4

法线方程

法线是和切线相垂直的,故法线的斜率k为-1/4

代入y - 4 = 4(x - 2),得

红色为法线,蓝色为切线。

高阶导数

是指二阶及二阶以上的导数。比如位移函数的一阶导数是瞬时速度,二阶导数是加速度。一阶导数判断增减性,二阶导数判断凹凸性。

微分中值定理

导数究竟有什么用呢?它的最典型的用处就是可以求函数的极值和单调性。

费马引理

设函数f(x)在x0点某邻域内有定义,且在x0处可导,若对于该邻域内任意x均有f(x)≥f(x0)(或f(x)≤f(x0)),那么f'(x0)=0

证明:右极限由于f(x)≥f(x0),所以分子是大于等于0的,分母是大于0的,所以这里是大于等于0的

            左极限由于f(x)≥f(x0),所以分子是大于等于0的,分母是小于0的,所以这里是小于等于0的

由于在x0处可导,那么它左右极限必然是相等的,则

罗尔定理

若函数f(x)在[a,b]上连续,(a,b)内可导(闭区间内连续,开区间内可导),且f(a)=f(b),那么在(a,b)内至少存在一点c (a<c<b),使f'(c)=0

拉格朗日中值定理

如果函数f(x)在闭区间[a,b]连续,开区间(a,b)可导,则在(a,b)内至少有一点c,满足不等式f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)

这是一个导数与函数值之间的桥梁,在数值分析与证明中大量运用。

这里的意思就是说我们连接a、b两点做连线,我们总能找出一个点c做切线,使得这条切线平行于ab这条直线。即是弦AB的斜率,至少能在A、B之间找到一点C,满足过点C的切线与AB平行。

证明:先画出辅助线

由图可以看出

由上面的式子可转化为

则有F(a) = F(b)

由罗尔定理得,当F(a)=F(b)时,存在一个数,使得

F'(x)=()',根据导数,则有F'(x)=f'(x)-,因为之前已经得出(ax)'=a。

则有,转化为

最后可得得证。

拉格朗日中值定理应用示例

已知a>0,证明

证明:令f(x)=ln(1+x),则f(x)在[0,a]连续,在(0,a)可导,根据拉格朗日中值定理

f(a)-f(0)=f'(c)•(a-0),根据对数求导公式,f'(c)=1/(1+c),则

因为ln1=0,则有

因为0 < c < a,所以

两边分开展开计算,最终可得

柯西中值定理

如果函数f(x)及g(x)在闭区间[a,b]连续,开区间(a,b)可导,对任意,满足g'(X)≠0,那么在(a,b)内至少存在一点,使如下等式成立

它的主要作用也是构造辅助函数,运用罗尔定理。在后续定理证明中运用(洛必达法则)

函数单调性与极值

由上图中,我们可以看到切线的斜率大于0(导数大于0),处于递增趋势。

同理,在这幅图中,切线斜率小于0(导数小于0),处于递减趋势。

切线斜率等于0(导数等于0),此处处于极小值。

设函数f(x)在闭区间[a,b]连续,开区间(a,b)可导,在[a,b]上取两点x1、x2,满足a≤x1≤x2≤b,由拉格朗日中值定理得

若当时,f'(x)>0恒成立,则f(x2)>f(x1),即时,f(x)单调递增

若当时,f'(x)<0恒成立,则f(x2)<f(x1),即时,f(x)单调递减

如果在(a,b)内,满足f'(x)=0的点是有限多个,其余点保持恒为正或恒为负,则f(x)在[a,b]上仍然单调。

导数为0的点称为驻点或临界点。

如果函数f(x)在点x0的领域U(x0)有定义,且对于去心领域U(x0)内的任意x,均满足f(x)<f(x0) (或f(x)>f(x0)),则称f(x0)是函数f(x)的一个极大值(或极小值)。

在上图中,D、F、H、J都是极大值点,C、E、G、I都是极小值点。但在某一个区域内,比如C-I的区间内,最大值点就是H。

极值的意义

为什么要研究极值点

优化算法的目标即是获取目标函数的最值

生活中的优化问题

  1. 如何投掷铅球使落点最远
  2. 如何投资收益最大或风险最小
  3. 如何进行垃圾邮件过滤效果最好
  4. 如何进行精准推荐或广告投放
  5. 如何设计系统使效率最高
  6. 优化算法的目标即是获取目标函数的最值
  7. 最小二乘法——残差平方和最小

如何取得极值

  • 必要条件(若函数可导):一阶导数为0
  • 充分条件1:通过单调性判断
  • 充分条件2(若一二阶导数存在):
    • f'(x0)=0且f''(x0)>0,x0处取得极小值
    • f'(x0)=0且f''(x0)<0,x0处取得极大值

极值与单调性示例

讨论函数的单调区间与极值点

先求导函数

令f'(x)≥0,求解不等式,首先a>0,=b^2-4ac=4-4*1*(-3)=16,>0说明有两个解,最后求解x=(-b(+/-)√)/2a=(2(+/-)4)/2

得出x1=3,x2=-1,因为a是大于0的,f'(x)的曲线开口是向上的,所以f'(x)≥0点最终解为x≤-1或者x≥3。所以f(x)的单调递增区间为(-∞,-1][3,∞)。

令f'(x)<=0,则f(x)的单调递减区间为[-1,3]。

x=-1,为极大值,x=3,为极小值。f(x)的图像如下

讨论函数f(x)=x+cos x在[-2π,3π]上的单调区间

先求导函数f'(x)=1-sin x

令f'(x)≥0,求解不等式,1-sin x≥0为恒等式,f(x)是没有递减区间的,所以f(x)在[-2π,3π]上单调递增。

如果要让f'(x)=0,则sin x=1,在[-2π,3π]可以取值为

f(x)的图像如下

由此可以看出极值点处导数一定为0,但导数为0不一定就是极值点。

凹凸性与拐点

我们来看这样两条函数曲线,虽然它们从A点到B点的区间都是单调递增的,但是红色的弧ACB是向上凸的;蓝色的弧ADB是向上凹的。

设f(x)在某区间U上连续,若对于U上任意两点x1、x2,恒有

则称f(x)在U上的图形是向上凹的

设f(x)在某区间U上连续,若对于U上任意两点x1、x2,恒有

则称f(x)在U上的图形是向上凸的

凹凸的判定

设f(x)在某区间[a,b]上连续,在(a,b)内一、二阶导数存在,

若在(a,b)内恒有f''(x)>0,则在[a,b]上图形是凹的,

若在(a,b)内恒有f''(x)<0,则在[a,b]上图形是凸的。

拐点

在某点处左右邻域二阶导数异号的点,若二阶导数存在,必要条件f''(x)=0。但二阶导数为0,不代表一定是拐点,它的左右不异号是完全存在的。

  • 判定指数函数的凹凸性

,a>0且a≠1

一阶导数

二阶导数,是恒大于0的,是凹函数

其中红色曲线是a>1的,蓝色曲线是0<a<1的。从图上可以看到它都是凹的。

  • 判定对数函数的凹凸性

,a>0且a≠1

一阶导数

二阶导数

我们来看一下ln x的图像

我们可以看到0<a<1的时候,ln a是小于0的,则y''>0,是凹函数

当a>1时,ln a是大于0的,则y''<0,是凸函数。

对数函数的图像如下

其中红色曲线是a>1的,蓝色曲线是0<a<1的。

  • 讨论函数的凹凸性

一阶导数

二阶导数

令y''=6x-6>0,得x>1

当x>1时,函数图像是凹的,x<1时,函数图像是凸的,x=1是拐点。

函数图像如下

凹凸的意义

  1. 凹凸性具有良好的特征,直接用于数学证明或分析
  2. 进一步判定曲线形状和特性
  3. 使用二阶导数,能进一步逼近曲线
  4. 猜想:若使用更高阶的导数,能否更加逼近函数。

洛必达法则

  • 洛必达法则1

设x -> x0时,函数f(x)与g(x)都趋于0,在x0的去心邻域内,f'(x)与g'(x)均存在,且g'(x)≠0,若存在或为无穷大,则

  • 洛必达法则2

设x -> ∞,函数f(x)与g(x)都趋于0,当|x|>0时f'(x)与g'(x)均存在,且g'(x)≠0,若存在或为无穷大,则

洛必达法则的用处

解决极限未定式,后续用于证明泰勒公式。

洛必达法则应用示例

这是一个0/0形式的极限未定式。这里的第一步、第二步都是应用洛必达法则,分子分母分别求导,第三步根据我们之前说的两个重要极限之一得到最终结果。

这是一个∞/∞的极限未定式。这里第一步、第二步、第三步也是应用洛必达法则,分子分母分别求导,分母是一个复合型函数求导,根据以及,由于3x的导数为3,所以的导数为。最后一步已经不满足洛必达法则的要求了,分母的极限已经是无穷大了,所以它的最终结果为0.

这是一个0/0型的极限未定式。第一步应用洛必达法则,分母求导为1,分子是一个复合型函数,根据以及=,由于1+2x的导数为2,则求出第一步,第二步直接将0代入获得极限值为2。

这是一个0/0型的极限未定式。第一步应用洛必达法则,分子、分母分别求导。第二步将m代入获得。

这是一个0•∞的极限未定式。第二步应用洛必达法则,分子、分母分别求导,约分后,将0代入,得最终结果。

这是一个的极限未定式。我们先来看当x趋近于0+的时候,这个函数的对数的极限是多少,然后再反过来计算当x趋近于0+的时候,这个函数的极限是多少。我们先根据对数公式以及可得ln y=ln 2+xln x。我们在求该对数极限的时候应用了洛必达法则,再根据对数的求导公式可得ln x的导数为x^-1。约分后将0代入最终结果就是ln 2。再来看函数的极限,由于该函数的对数的极限是ln 2,则该函数的极限是该函数的对数的指数(即为函数本身)的极限,我们设a=e^ln2,则ln a=ln e^ln2=ln 2*ln e=ln 2,则有ln a=ln 2,最终可得a=2。

,且存在,则

证明:

这其中用到了等阶无穷小的定义,=1以及=1

我们对该函数表达式进行通分,得到一个0/0型的极限未定式。虽然满足洛必达法则的应用范围,但是如果使用洛必达法则,会把式子弄的更加复杂,这里不适合直接使用洛必达法则。这里要用到一些等阶无穷小来简化式子,e^x-1 ~ x推导1-e^-x ~ x的过程如下,第一步分子分母同时乘以e^x,第二步将分母拆开,第三步根据极限乘法规则,拆成两个极限相乘,

指数函数e^x,当x -> 0,e^x -> 1,最后可得

因为,则有,这时候是一个0/0型的极限未定式,再根据洛必达法则,,这里是一个复合函数。此时依然是一个0/0型的极限未定式,再一次使用洛必达法则,最后一步将x=0代入即可得最终结果2。

这里需要注意的是,当用等阶无穷小代换求极限时,一般只适用于极限中函数相乘或相除的形式。

如果我们一大早在原式中替换的话,结果将等于1,这是错误的。

比如设,易知当x -> 0时,,但

,易知当x -> 0时,,但

之前我们在两个重要极限中已知,则sin x ~ x,也很容易证明。

一个问题,能否使用洛必达法则求

答案是不可以,因为这里有一个循环逻辑的问题,在使用洛必达法则的过程中,就需要对sin x进行求导,而在sin'x的过程中,本身运用了sin x ~ x的规则,所以不可以。

微分的定义

如果函数的增量可以表示成,A与无关(指的是的高阶无穷小),则称函数在点x处可微,且称为相应于的微分,记为dy,dy=,称为自变量的微分,记为dx=,所以函数微分记为dy=A • dx

微分是指因变量增量的线形部分,也称为线性主部。

在该图中,绿色的线是一条函数曲线,AD是该A点的切线,A的坐标值为(x0,y0),B的坐标值为(x1,y1)

BC是因变量增量,CD是BC的微分。越小,CD越接近BC

可微的充要条件

函数f(x)在点(x0,y0)可微的充要条件是在该点可导。

充分性

若点(x0,y0)处可导,则,根据极限的充要条件,有,将该等式变换,则有

,f'(x0)与无关,是比高阶的无穷小,点(x0,y0)处可微,且A=f'(x0)

则两者可以视为等价命题,可微可导。

必要性

若点(x0,y0)处可微,则,且A与无关,根据无穷小的性质,是比高阶的无穷小,则有,则,所以点(x0,y0)处可导,且f'(x0)=A。

微分是对变化量的一种逼近,dy表示y的变量量的线性近似,dx表示x的变化量。

所以微分思想——以直代曲、线性近似

常见微分公式

以上公式都是函数的导函数乘以自变量的微分dx

和、差、积、商的微分

复合函数的微分

y=f(u)及u=g(x)均可导,则y=f[g(x)]的微分为,就是在原来的导数基础上乘以dx就可以了。

微分应用示例

的微分

先对y求导,根据两个函数相乘的导数计算公式,再有是一个复合函数,导数为4x,则最后得到微分dy。

微分应用——近似计算

微分的定义决定其具有近似计算的功能

设函数y=f(x)在x0处导数存在,,所以,当||很小时,(微分)既是,令,即得到

理解微分近似原理

曲线,图像如下

我们可以看到,在两条红色虚线的范围内,以肉眼看上去,曲线在A点的切线与函数曲线是重合的。即在A(3,0.9)点附近,曲线可由经过A点的切线近似。

考虑一般情况,A点坐标(x0,f(x0)),经过A点的切线方程为

,即是

常用近似计算结论

我们来看一下ln(1+x)的图像

设f(x)=ln(1+x),则,在x=0处展开

f(x)=f(0)+f'(0)(x-0)=ln 1+1*x=x即ln(1+x)=x

上面有一个限制条件就是x->0,但如果x->1的时候,上面的近似计算就不成立,我们来看一下x->1时候的情况

设f(x)=ln(1+x),则,在x=1处展开

f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)=ln 2+(x-1)/2

这个式子比较复杂,更多的时候我们会讨论x->0的情况。

,在x=0处展开

f(x)=f(0)+f'(0)(x-0)=1+ax

当x->0时,有下面这些近似计算

看几个具体的例子

  • 计算的值

首先,的图像如下

设f(x)=e^x,则过点(0,1)的近似计算为f(x)=f(0)+f'(0)(x-0)=1+x,原题中x=0.01,则1+0.01=1.01

  • 计算的值

首先

设f(x)=(1+x)^20,过(0,1)的近似计算为f(x)=f(0)+f'(0)(x-0)=1+20x,

所以1+20*0.01=1.2

误差

目前用一次函数加上一阶导数对曲线近似,曲线的二次及高次信息被当作误差,是否可利用二阶导数对曲线进行二次多项式近似,多项式次数越高,是否近似程度越高。

泰勒公式定义

在前面使用微分求近似计算的时候,有不足的地方:只能在附近近似,近似区域窄;没有定量研究近似所产生的误差大小。如果利用二阶(或更高阶)导数信息对曲线近似多项式近似,效果是否更好。能否通过一个点上函数值和该点上的各阶导数值,利用多项式去逼近一个函数。

一阶逼近:利用一次函数逼近原函数

二阶逼近:利用二次函数逼近原函数

原函数:           (未知待求)

已知:

根据条件,我们可以做如下推导

将a0、a1、a2代入原函数f(x),整理后得

在x0处展开,得

假设任意函数f(x)可以在点x0处多项式逼近,我们令这个多项式为p(x),则

由于f(x)可以由p(x)逼近,所以,满足f(x)与p(x)在x0处各阶导数对应相等。

我们将p(x)在x0处展开,则有

泰勒中值定理1

其中为误差。

它的条件是:各阶导数存在。本质为:邻域内的多项式逼近

现在我们来分析一下这个误差

上面,我们知道,无论n为多少,它们是恒相等的,在x=x0处的n阶导数为0。

这个误差是比更高阶的无穷小

这是一个0/0的极限未定式,我们在前面不断的使用洛必达法则,直到n-1次之后,有。n的阶乘为常数,提出,由于=0,则有=,根据导数的定义,这里即为,则,根据高阶无穷小的定义得证。

现在我们来看看泰勒展式的例子

  • y=sin x在x=0处的泰勒展式

一次逼近,由于sin'x=cos x,当x=0的时候,cos x=1,根据=sin 0+1*(x-0)=0+x=x,所以y=x

二次逼近,根据=x-sin 0*(x-0)^2/2=x-0=x,则二次逼近=一次逼近

三次逼近,+f'''(x0)(x-x0)^3/3!=x-cos 0*x^3/6=x-x^3/6,故

由于cos'x=-sin x,而sin 0=0,所以四次逼近=三次逼近,所有的偶数次逼近=上一个奇数次逼近

五次逼近为,七次逼近为

y=sin x逼近过程,1次逼近图形

3次逼近图形

5次逼近图形

7次逼近图形

9次逼近图形

根据这些图形,我们可以得到一些结论

  1. 阶数越高,逼近误差越小
  2. 阶数越高,逼近范围越大

不足之处

  1. 误差项无法具体估计
  2. 邻域的范围究竟如何确定不清楚

泰勒中值定理2

,c介于x与x0之间。

条件依然是各阶导数存在

证明:首先

根据柯西中值定理

,c1介于x与x0之间。

再运用一次柯西中值定理

,c2介于c1与x0之间

经过n+1次柯西中值定理后

,c介于cn与x0之间,也在x与x0之间

变型后得到,c在x与x0之间

因为(x)=,所以,而,最后可得

,c介于x与x0之间。

误差范围

通过这个式子,我们可以看出当给出函数f(x)的时候,f(x)的n+1阶导数的最大值是确定的,x0是已知的,再给定一个x,那么这个误差就由n来决定了。

思考:阶数无穷大时,是否可无限接近于原函数。

何时收敛

后续级数理论可证明,说明当n趋近于无穷大的时候,它会趋近于0。

在x0的一个邻域内,如果函数各阶导数都存在,当n->∞时,n阶泰勒多项式在该邻域内趋近于原函数。

泰勒展式的收敛域

  • ,x=0处展开(麦克劳林展式)

e^x的导数为e^x

1阶:=e^0+e^0*(x-0)=1+x

2阶:=1+x+x^2/2

3阶:

7阶:

15阶、35阶....可以自行写出,我们将各阶逼近的图形画出

其中紫色为3阶展开的曲线,青色的为7阶展开,绿色为15阶的,黄色为35阶的。还有一条灰色的线是在x<0基本是贴着x轴的,在x>0在紫色线的左边的是e^x的图像本身。由此我们可以看出,随着阶数n的不断增加,它的泰勒展式,就越趋近于e^x。

是否对于任意函数在任意点展开,都有随着阶数不断增大,有效逼近的范围也会增大?

  • ,x=2处展开,x=5处展开,看一下有什么不同

x=2处展开,泰勒展开的图像依次为

阶数n=1

阶数n=3

阶数n=9

阶数n=13

阶数n=19

阶数n=25

x=5处展开,泰勒展开的图像依次为

阶数n=1

阶数n=3

阶数n=5

阶数n=9

阶数n=15

阶数n=21

阶数n=29

阶数n=37

从上面的图形中我们可以看出,并不是随着n的增大,而无限逼近于原函数。始终只能在一个小范围内收敛到原函数收敛范围和展开点有关,上图中,我们可以看到在x=2处展开的收敛范围要比x=5处展开的收敛范围要窄。收敛范围关于展开点对称

由于收敛范围关于展开点对称,则有收敛半径的问题。

上面的图形中,本身的图形在x=0处间断,多项式的逼近过程无法越过间断点收敛半径等于展开点到最近的间断点的距离

我们再来看一个例子

  • 考虑在x=5处展开的收敛性

阶数n=1

阶数n=3

阶数n=5

阶数n=7

阶数n=9

阶数n=19

阶数n=29

阶数n=37

通过上面这个例子,我们并没有看到随着n的增大,收敛半径逐渐增大。那也就是说这里存在间断点。但是在实数范围内都有定义,本身并不存在间断点。它的一阶导数在x=0处间断。所以x=0是它的泰勒展式的间断点。因为泰勒展式包含了原函数的各阶导数,只要某一阶的导数存在间断点,则这个间断点就是收敛半径的间断点。

  • 考虑在x=3处展开的收敛性

首先原函数在实数范围内都没有间断点,各阶导函数在实数范围内也都没有间断点。

根据上面的条件,我们有理由相信它的收敛半径是不受限制的。随着阶数n的不断增大,它会越来越逼近原函数。

阶数n=1

阶数n=2

阶数n=3

阶数n=4

阶数n=5

阶数n=6

阶数n=7

阶数n=8

阶数n=9

根据上面的图形,我们并没有看见随着n的增大,它在无限逼近于原函数,依然有一个收敛半径。现在我们将各阶逼近的图合并为一张图

收敛半径并非无穷大。分母部分真的都不可能为0吗?

在实数范围内,x^2+9当然不可能等于0,但是在复数域考虑会使得x^2+9=0,收敛半径等于(3,0i)与(0,3i)之间的距离

收敛圆

收敛半径:函数展开点到最近奇点的距离。收敛半径对应收敛圆,圆内区域为收敛区域。因为在复数域考虑的话,收敛区域就是一个圆。

那我们现在来看看是否可通过x=4处的泰勒展式来估计在x=-2的函数值。

这就要考虑x=-2是否在收敛圆内,如果在收敛圆内,我们通过不断增大阶数,就可以估计出正确的结果,但如果不在收敛圆内,那么无论怎么增大阶数都无法估计。

之前我们说存在x0点一个邻域,随着阶数n的不断增大,泰勒展式的逼近误差就会越小。另外我们现在又说如果某点不在收敛域内,无论n如何增大,都无法逼近该点。这会不会相互矛盾呢?其实这是没有矛盾的,泰勒公式本身说的是存在一个邻域,但并没有说这个邻域究竟有多大。而收敛域正好就说明了这个邻域究竟有多大的问题。所以这两个表述是不矛盾的。

泰勒展式的应用

  1. 绝大多数模型或算法的误差限估计
  2. 近似计算,数值分析
  3. 工程类软件的开发,工具软件的开发
  4. 研究无法用初等函数表示的函数
  5. 后续课程应用。

应该说泰勒展式是高数中特别重要,特别精华的部分。

牛顿迭代法解方程

对于一元高次多项式方程,五次及以上多项式方程没有求根公式。

牛顿迭代法是一种切线逼近的方法。这个方法叫牛顿-拉弗森法

在上图中,红色曲线是一条函数曲线f(x),现在我们要求的是f(x)=0这个方程的根。我们在函数曲线上任取一个点A,如果这个点A越靠近方程的根(红色曲线与x轴的交点),那么我们的迭代过程就会越快,迭代次数就会越少。从A点做一条切线,切线与x轴的交点称为B点。从B点做一条x轴的垂线,垂线与红色曲线相交于点C。从C点做一条切线,切线与x轴的交点为D点。从D点做一条x轴的垂线,垂线与红色曲线相交于E点。从E点做一条切线,切线与x轴的交点为F。此时我们可以看到F点与方程的根的距离就已经很小了。

初始点A的切线方程,令y=0得到B点的横坐标

不断进行上面的过程,迭代公式即为

这个过程,我们可以用程序来实现,算法流程如下

class NewtonAlgorithm:

    def __init__(self, x0, err, n):
        # 牛顿迭代法求方程的根:x^4-2x^3-x+2=0
        # 导函数:4x^3-6x^2-1
        self._x0 = x0
        self._err = err
        self._n = n

    def algo(self):
        while self._err > 0.00001:
            xn = self._x0 - (self._x0**4 - 2 * self._x0**3 - self._x0 + 2) \
                 / (4 * self._x0**3 - 6 * self._x0**2 - 1)
            self._err = abs(xn - self._x0)
            self._x0 = xn
            self._n += 1
        print(self._x0, self._n)
from playLA.NewtonAlgorithm import NewtonAlgorithm

if __name__ == "__main__":

    newton_algo = NewtonAlgorithm(5, 1, 0)
    newton_algo.algo()

运行结果

2.0000000000000004 9

我们这样的写法只能够找到离初始值5最近的那个根2,经过了9次迭代。但是一个4次方程有4个根,现在我们来换一个初始值-1

from playLA.NewtonAlgorithm import NewtonAlgorithm

if __name__ == "__main__":

    newton_algo = NewtonAlgorithm(-1, 1, 0)
    newton_algo.algo()

运行结果

0.9999999999999999 6

现在又找到了一个根1,经过了6次迭代。

但其实还有两个虚数根

from playLA.NewtonAlgorithm import NewtonAlgorithm

if __name__ == "__main__":

    newton_algo = NewtonAlgorithm(-1-1j, 1, 0)
    newton_algo.algo()

运行结果

(-0.5000000000514252-0.8660254038378665j) 5

当然Python本身有库函数可以调用求出所有的根

from sympy import *

class NewtonAlgorithm:

    def __init__(self, x0, err, n):
        # 牛顿迭代法求方程的根:x^4-2x^3-x+2=0
        # 导函数:4x^3-6x^2-1
        self._x0 = x0
        self._err = err
        self._n = n

    def algo(self):
        while self._err > 0.00001:
            xn = self._x0 - (self._x0**4 - 2 * self._x0**3 - self._x0 + 2) \
                 / (4 * self._x0**3 - 6 * self._x0**2 - 1)
            self._err = abs(xn - self._x0)
            self._x0 = xn
            self._n += 1
        print(self._x0, self._n)

    def algo_py(self):
        x = symbols('x')
        print(solve(x**4 - 2 * x**3 - x + 2))
from playLA.NewtonAlgorithm import NewtonAlgorithm

if __name__ == "__main__":

    newton_algo = NewtonAlgorithm(-1-1j, 1, 0)
    newton_algo.algo()
    newton_algo.algo_py()

运行结果

(-0.5000000000514252-0.8660254038378665j) 5
[1, 2, -1/2 - sqrt(3)*I/2, -1/2 + sqrt(3)*I/2]

通过库函数,我们并不需要赋初始值,它可以直接求出所有的根。

多元函数的导数与微分

空间方程基础

  1. 一维空间:直线                R            x
  2. 二维空间:平面                        (x1,x2)
  3. 三维空间:立体空间                  (x1,x2,x3)
  4. n维空间:                                 (x1,x2,...xn)

更多关于空间的内容请参考线性代数整理 中"空间,向量空间和欧几里得空间"一节的内容

向量,有大小有方向的量,有关向量的内容请参考线性代数整理 中"向量"一节的内容,包含向量的加减法和数量乘法以及向量的模和向量的数量积(点乘)。

空间平面方程:例如ax+by+cz+d=0,这是一个线性系统,可以使用高斯-约旦消元法来求解,具体参考线性代数整理 中"线性系统"一节的内容。

空间曲面方程

二次曲面:三元二次方程

F(x,y,z)=0

它的图就是这个样子的

空间曲线方程

空间曲线:两个曲面的交线

图形如下

空间曲线参数方程

例如螺旋线图形如下

二元函数极限的定义

我们先来看一下二元函数的定义

设D是(平面)上的非空子集,映射f:D -> R(直线)为定义在D上的二元函数,可记为z=f(x,y),(x,y)D或者z=f(P),P(平面的一个点)D

定义域是平面的一部分,平面点集

E={(x,y)|(x,y)具有性质M}

比如

它的二维平面内就是这个样子

又比如

再比如

聚点:对于任意给定的>0,点P的去心邻域内总有点集E中的点,点P称为E的聚点。

我们来看一下在定义域中哪些点是聚点

这里外圈是取等号的,属于E中的点,内圈是不取等号的,所以不属于E中的点。如果我们在外圈以外任意取一个点,那么这个点的去心邻域跟E是没有交集的,所以这不会是E的聚点。如果我们在蓝色区域内任取一个点,那么这个点的去心邻域是完全属于E的,那么这个点肯定是E的聚点。如果我们在外圈的实心边界上取一个点,虽然这个点的去心邻域内的点有部分不属于E,但也会与E有交集,所以这个边界上的点也是E的聚点,这里这个点是属于E的。如果我们在内圈的虚线边界上取一个点,同样该点的去心邻域内的点有部分不属于E,但也会与E有交集,所以这个点依然是E的聚点,但是这个点本身不属于E。

由此我们可以看到,E的聚点包含E内的点和其边界上的点,E的聚点可以属于E,也可以不属于E。

二元函数极限:设二元函数f(x,y)的定义域为D,是D的聚点,如果存在常数A,对于任意给定的正数,总存在,使得当点时,都有,则称A为函数f(x,y)当时的极限,记为

这里被称为的去心邻域。表示在的去心邻域有定义。这里需要注意的是,如果是定义域的内点,那么我们趋近的方向是360度全方位的趋近,如果是定义域的边界点,则只能从内部的几个方向去趋近。通俗的理解就是当函数自变量趋近于某点时,函数值也会趋近于某个值。趋近的方向无穷多个。任意方向趋近某点时,函数值都会趋近于同一个值,极限才存在。

运算法则:一元函数关于极限的运算法则适用于多元函数。

二元函数求极限示例

首先该函数的定义域

为D的聚点

首先分子分母同乘以一个2y,第二步根据极限的运算法则,拆成两个极限相乘。再根据两个重要极限之一的得知=1,将y=2代入

  • 讨论函数在点(0,0)处的极限是否存在

这是一个分段函数,前面我们说了二元函数的极限会从360度全方位逼近,我们先看一下从x轴方向逼近

当点沿x轴趋近于(0,0)时,,这里沿x抽趋近,则y一定为0

再来看一下从y轴方向逼近,当点沿y轴趋近于(0,0)时,,这里沿y轴趋近,则x一定为0

单从这两个方向趋近,并不能说明该函数在(0,0)处的极限一定存在。当点沿直线y=kx趋近于(0,0)时

这里第三步直接把x^2约去,就得到结果

由于k可以取任意值,假设k=1,则极限为1/2≠0,若二元函数存在极限,必须是各个方向趋近于一个点,函数值都会趋近于同一个值,故该函数的在(0,0)处极限不存在。

多元函数连续性:如果,则函数f(x,y)在点连续

像上例中,(0,0)是函数的间断点。

一切多元初等函数(可以用一个式子表示的多元函数,这个式子是由常数以及不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的)在其定义域内连续。一般的,如果f(x,y)是初等函数,且是f(x,y)定义域的内点(不包含边界点),那么f(x,y)在处连续,所以

譬如,这里(1,2)就是函数定义域的内点,故直接代入就可得极限。

性质

  1. 有界闭区域D上的多元连续函数必然在D上有界,能取得最大值和最小值。
  2. 在有界闭区域D上的多元连续函数必然能够取得介于最大值和最小值之间的任何值。

偏导数

  1. 设函数z=f(x,y)在点的某一邻域有定义,如果存在,则该极限为函数在点处的偏导数,记为
  2. 设函数z=f(x,y)在点的某一邻域有定义,如果存在,则该极限为函数在点处的偏导数,记为

偏导函数:若函数z=f(x,y)在定义域内的任一点(x,y)的偏导数均存在,那么这个偏导数就是x,y的函数,称为偏导函数。对x的偏导函数,记为;对y的偏导函数,记为

这里需要注意的是,对于一元函数,可视为dy与dx之商,但偏导数的记号只能作为一个整体,不能视为商。

偏导数的意义

半球球面函数在点A=(1,2,2)处对x的偏导数

这里红色的轴为x轴,绿色的轴为y轴,蓝色的轴为z轴。球面与y轴的交点为(0,3,0),则此时y轴的值为3。则y=2表示的平面与球面的交线是曲线。该曲线在A点处的切线对x轴的斜率。如果要求的是对y的偏导数,则x=1表示的平面与球面的交线的曲线在A点处的切线对y轴的斜率。

偏导数与连续

对一元函数,某点导数存在,该点一定连续。对多元函数,某点偏导数存在,该点不一定连续。对多元函数,某点连续,该点不一定有偏导数。这也就是说多元函数是否连续跟偏导数无关

偏导数计算示例

  • 在点(1,2)处的偏导数。

对x的偏导数,将y视为常量=4x+3y,=4*1+3*2=10

对y的偏导数,将x视为常量=3x-2y,=3*1-2*2=-1

  • 的偏导数。

对x的偏导数,将y视为常量=2xsin(3y)

对y的偏导数,将x视为常量=3x^2cos(3y)

二阶偏导数

函数z=f(x,y)具有偏导数,如果偏导数的导函数存在,则有以下四种情况

这里第一种是先求x的偏导数,再求x的偏导数;第二种是先求x的偏导数,再求y的偏导数;第三种是先求y的偏导数,再求x的偏导数;第四种是先求y的偏导数,再求y的偏导数。

二阶偏导数示例

  • 计算函数的二阶偏导数

首先对x的偏导数=9x^2-5y,对y的偏导数=-5x-3y^2-1

第一种情况=18x;第二种情况=-5;第三种情况=-5;第四种情况=-6y

如果函数的两个二阶偏导数在某区域内连续,那么该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。二阶偏导数在连续条件下与求导次序无关

偏导数的用处

  1. 函数研究的主要目标
  2. 获得函数的极值与最值
  3. 偏导数可用于求函数极值
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