微分方程整理(二)

原创
01/20 13:20
阅读数 326

微分方程整理

示例1:\(y'=x^2+y^2\)   定义域R:|x|≤1,|y|≤1,初值(0,0),求一个近似解与真解的误差不超过0.05。

这是一个不可解的一阶微分方程,我们只能求其近似解

\(f(x,y)=x^2+y^2\)

a=1,b=1,\(M=\max_R{f(x,y)}=\max_R(x^2+y^2)=2\)\(h=\min\{a,{b\over M}\}={1\over 2}\)\(L=\max{f_y'}=\max{2y}=2\)

\(|x|≤{1\over 2}\),则第n次的近似解与真解的误差为

\(|φ_n(x)-φ(x)|≤M⋅{L^nh^{n+1}\over (n+1)!}={2⋅2^n⋅({1\over 2})^{n+1}\over (n+1)!}={1\over (n+1)!}<0.05\)

得n=3

由初始值(0,0)可得

\(φ_0=0\)

\(φ_1=y_0+\int_{x_0}^xf(ξ,φ_0(ξ))dξ=\int_0^xξ^2dξ={x^3\over 3}\)

\(φ_2=y_0+\int_{x_0}^xf(ξ,φ_1(ξ))dξ=\int_0^x(ξ^2+{ξ^6\over 9})dξ={x^3\over 3}+{x^7\over 63}\)

\(φ_3=y_0+\int_{x_0}^xf(ξ,φ_2(ξ))dξ=\int_0^x(ξ^2+({ξ^3\over 3}+{ξ^7\over 63})^2)dξ=\int_0^x(ξ^2+{ξ^6\over 9}+{2ξ^{10}\over 189}+{ξ^{14}\over 3969})dξ\)

\(={x^3\over 3}+{x^7\over 63}+{2x^{11}\over 2079}+{x^{15}\over 59535}\)

该近似解即为满足要求的近似解。

示例2:y'=x+y+1,y(0)=0的Picard序列,并由此取极限求解

令f(x,y)=x+y+1

\(φ_0=0\)

\(φ_1=y_0+\int_{x_0}^xf(ξ,φ_0(ξ))dξ=\int_0^x(ξ+1)dξ={x^2\over 2}+x\)

\(φ_2=y_0+\int_{x_0}^xf(ξ,φ_1(ξ))dξ=\int_0^x(ξ+1+{ξ^2\over 2}+ξ)dξ={x^3\over 3!}+x^2+x\)

\(φ_3=y_0+\int_{x_0}^xf(ξ,φ_2(ξ))dξ=\int_0^x(ξ+1+{ξ^3\over 6}+ξ^2+ξ)dξ={x^4\over 4!}+{x^3\over 3}+x^2+x\)

由规律可得

\(φ_n={x^{n+1}\over (n+1)!}+2({x^n\over n!}+{x^{n-1}\over (n-1)!}+...+{x\over 2})={x^{n+1}\over (n+1)!}+2({x^n\over n!}+{x^{n-1}\over (n-1)!}+...+x+1)-x-2\)

\(\lim_{n->∞}φ_n(x)=φ(x)=2e^x-x-2\)

为方程的真解。

这里需要说明的是

\(\lim_{n->∞}{x^{n+1}\over (n+1)!}=0\),可以参考微分方程整理 中的命题5有说明

\(\lim_{n->∞}({x^n\over n!}+{x^{n-1}\over (n-1)!}+...+x+1)=e^x\),可以参考高等数学整理 中的两个重要的极限

但其实这是一个一阶线性非齐次方程,是可解的

P(x)=1,Q(x)=x+1

根据一阶线性非齐次方程的通解公式,有

\(y=e^{∫P(x)dx}∫Q(x)e^{−∫P(x)dx}dx+Ce^{∫P(x)dx}=e^{\int1dx}\int(x+1)e^{-\int1dx}dx+Ce^{\int1dx}\)

\(=e^x\int{x+1\over e^x}dx+Ce^x=-e^x\int{x+1\over e^x}d(-x)+Ce^x=-e^x\int(x+1)d(e^{-x})+Ce^x\)

\(=-e^x[(x+1)e^{-x}-\int{e^{-x}d(x+1)}]+Ce^x=-e^x[(x+1)e^{-x}+\int{e^{-x}d(-x)}]+Ce^x\)

\(=-e^x[(x+1)e^{-x}+e^{-x}]+Ce^x\)

\(=-e^x(e^{-x}+xe^{-x}+e^{-x})+Ce^x=Ce^x-x-2\)

由y(0)=0代入,得C=2,故满足初始条件的特解为

\(y=2e^x-x-2\)

  • 解的延拓
  1. \({dy\over dx}=x^2+y^2\)
  2. y(0)=0

R:|x|≤1,|y|≤1

这里我们知道

\(|x|≤h={1\over 2}\)

如果我们增大定义域R的范围,如

R:|x|≤2,|y|≤2,此时

 a=2,b=2,\(M=\max_R{f(x,y)}=\max_R(x^2+y^2)=8\)\(h=\min\{a,{b\over M}\}={1\over 4}\)

\(|x|≤h={1\over 4}\)

由此可见随着定义域越大,解的区间反而会越小

为了克服这个缺陷,我们需要对解进行延拓

上图中,过(0,0)的解在\(-{1\over 2}\)\({1\over 2}\)之间,当函数曲线到达\(({1\over 2},1)\)的时候,我们以\(({1\over 2},1)\)为一个新的初始点,继续以解的存在唯一性定理,又可以确定一个新的定义域\(R_1\),在\(({1\over 2},1)\)的左边与原函数曲线重合,在\(({1\over 2},1)\)的右边会延伸出一段新的函数曲线,假设此时的\(h=h_2\),原\(h=h_1={1\over 2}\),此时解的存在范围由\(x_0+h_1\)变成了\(x_0+h_1+h_2\),当x抵达\(x_0+h_1+h_2\)的时候继续做一个有界闭域,函数f(x,y)关于y又满足利普希兹条件的话,又可以应用一次解的存在唯一性定理。

我们一直做这样的延拓,可以向左延拓,也可以向右延拓,假设\({dy\over dx}=x^2+y^2\)本身的有界闭域是G的话,一直延拓是可能延拓到G的边界的,但有时候也到不了边界,可能会存在一条如上图中的竖线,x抵达该竖线时,\({dy\over dx}=∞\),那么此时函数曲线会无限接近该竖线的向上延伸。

该定理就是解的延拓定理。解能够存在的最大区间,我们称为饱和解,即y=φ(x)向左向右不能再延拓了。

这里f(x,y)是连续函数,即满足了解的存在性,而关于y满足局部的利普希兹条件即可,该条件比满足全局的利普希兹条件更弱。如果y满足全局利普希兹条件的话,在每一个点都满足利普希兹条件,所以就有了解的延拓定理。

定理3:(解的延拓定理)如果右端函数f(x,y)在有界闭域G内连续,关于y满足局部利普希兹条件,此时

  1. \({dy\over dx}=f(x,y)\)
  2. \(y(x_0)=y_0\)

的解是一定可以延拓的。以向x增大的方向来说,y=φ(x)可以延拓到\([x_0,d)\)上,当x->d时,解(x,φ(x))是趋于G的边界的。

推论:如果G是无界区域,在延拓定理中,过\((x_0,y_0)\)的解y=φ(x),以向x增大的方向来说,它的延拓情况有两种

  1. \((x_0,∞)\)
  2. \((x_0,d)\)  d是一个有限数

φ(x)是无界的。

示例1:\({dy\over dx}={y^2-1\over 2}\)过点(0,0),(ln2,-3)的解的存在区间。

虽然这个微分方程是变量分离的可解方程,但我们这里不需要解方程也可以看出

  1. y=1
  2. y=-1

是方程的两个直线解

\(f(x,y)={y^2-1\over 2}\),是一个连续函数,且y满足利普希兹条件L=y,则过初始值(0,0)的解一定是存在且唯一。

当|y|<1时,f(x,y)<0,即\(y'={dy\over dx}<0\),说明解y=φ(x)是单调递减的。在通过y''来观察其凹凸性。

这是一个在x<0时无限逼近于y=1,x>0无限逼近于y=-1的单调递减的曲线。而解的存在区间为(-∞,+∞),则根据

  1. \({dy\over dx}={y^2-1\over 2}\)
  2. y(0)=0

\(x\in(-​∞,+∞)\),这是一个饱和解

现在我们再来看看过(ln2,-3)的情况,过这个初始点的解也是存在且唯一的。    

由于\(y_0=-3\),即\(|y|>1\),f(x,y)>0,即\(y'={dy\over dx}>0\),说明解y=φ(x)是单调递增的。

由于解是存在且唯一,从(ln2,-3)出发向x增大的方向是逼近y=-1的,不能超过y=-1,否则解就不是唯一的了。

从(ln2,-3)出发向x减小的方向,随着y的减小,\(y^2->∞\),说明y'->∞不存在,函数曲线会向下无限逼近于y轴,即x值只能逼近于0而无法到达0,故

  1. \({dy\over dx}={y^2-1\over 2}\)
  2. y(ln2)=-3

\(x\in(0,+∞)\),这两个区间都是最大区间,而不是局部区间。

  • 解对初值的连续性和可微性

定理4:设f(x,y)于定义域D内连续且关于y满足利普希兹条件,y=φ(x)是

  1. \({dy\over dx}=f(x,y)\)     a≤x≤b
  2. \(y(x_0)=y_0\)

的解,\(a≤x_0≤b\),给定任意的ε>0,必存在正数δ使得

\((x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2≤δ^2\)

时,方程满足

\(y(x_1)=y_1\)

在区间[a,b]也有定义,且

\(|φ(x,x_1,y_1)-φ(x,x_0,y_0)|<ε\)

此时称为连续的。

用上图来表示就是在某个点的邻域内(就是上图中那个圈),任取一个初始点,所得到的函数都不会跟原函数的差值太大。

定理5:解对初值的可微性

  1. \({∂φ\over ∂x_0}=-f(x_0,y_0)e^{\int_{x_0}^x{∂f(x,φ)\over ∂y}dx}\)
  2. \({∂φ\over ∂y_0}=e^{\int_{x_0}^x{∂f(x,φ)\over ∂y}dx}\)

当满足了解对初值连续的情况下,还满足上面的偏导数公式,则解对初值还是可微的。该条件的证明较为繁琐,但是与函数的可微性的原理是一样的,有关函数可微的含义可以参考高等数学整理 微分的定义

线性微分方程的一般理论

给定n个函数

\(x_1(t),x_2(t),x_3(t),...,x_n(t)\)

要判断这些线性函数是线性相关还是线性无关(有关线性相关和线性无关可以参考线性代数整理 中的线性相关和线性无关),我们需要构造新的行列式

W(t)=

这是一个n阶行列式,称为朗斯基行列式。有关行列式的内容可以参考线性代数整理(三) 中的行列式

定理2:如果函数\(x_1(t),x_2(t),x_3(t),...,x_n(t)\)在定义区间[a,b]上线性相关,则W(t)=0

证:若函数\(x_1(t),x_2(t),x_3(t),...,x_n(t)\)线性相关,则有一组不全为0的常数\(C_1,C_2,C_3,...,C_n\),使得

\(C_1x_1(t)+C_2x_2(t)+C_3x_3(t)+...+C_nx_n(t)=0\)

我们可以根据上式不断对其两端求1到n-1阶导数,都有

\(C_1x_1'(t)+C_2x_2'(t)+C_3x_3'(t)+...+C_nx_n'(t)=0\)

\(C_1x_1''(t)+C_2x_2''(t)+C_3x_3''(t)+...+C_nx_n''(t)=0\)

...

\(C_1x_1^{(n-1)}(t)+C_2x_2^{(n-1)}(t)+C_3x_3^{(n-1)}(t)+...+C_nx_n^{(n-1)}(t)=0\)

这是一个齐次线性方程组,由于\(C_1,C_2,C_3,...,C_n\)不全为0,说明关于未知数\(C_i\)的齐次线性方程组有非0解,齐次线性方程组有非0解的充要条件为系数行列式的值为0,即W(t)=0。

对于定理2来说,反之是不成立的,如两个分段函数

  1. \(x_1(t)=t^2\)      -1≤t<0
  2. \(x_1(t)=0\)         0≤t≤1

以及

  1. \(x_2(t)=0\)     -1≤t<0
  2. \(x_2(t)=t^2\)      0≤t≤1

在[-1,0)区间上,W(t)==0;

在[0,1]区间上,W(t)==0

虽然在[-1,1]上,W(t)都等于0,现在来看函数本身,设有\(C_1,C_2\)两常数,使得

在[-1,0)区间上,\(C_1t^2+C_20=0\)

\(C_1t^2=0\),由于\(t≠0\),只得\(C_1=0\)

在[0,1]区间上,\(C_10+C_2t^2=0\)

\(C_2t^2=0\),虽然这里t可以等于0,但是在0<t≤1时,要使的等式也成立,也只得\(C_2=0\)

这里就有\(C_1=C_2=0\),全都为0,则\(x_1(t)和x_2(t)\)是线性无关的,故定理2反之不成立。但如果\(W(t)≠0\),则一定是线性无关的。

定理3:\(x_1(t),x_2(t),x_3(t),...,x_n(t)\)是线性高阶微分方程

\({d^nx\over dt}+a_1(t){d^{n-1}x\over dt^{n-1}}+...+a_{n-1}(t){dx\over dt}+a_n(t)x=0\)

的解,则\(x_i(t)\)之间线性无关,则W(t)在这个区间[a,b]上的任何点处都不等于0,\(W(t)≠0\),对∀ t∈[a,b]。

证:设\(∃ t_0∈[a,b]\)     s.t. \(W(t_0)=0\)

\(W(t_0)=\)=0

此时我们可以构造方程组

  1. \(C_1x_1(t_0)+C_2x_2(t_0)+C_3x_3(t_0)+...+C_nx_n(t_0)=0\)
  2. \(C_1x_1'(t_0)+C_2x_2'(t_0)+C_3x_3'(t_0)+...+C_nx_n'(t_0)=0\)
  3. \(C_1x_1''(t_0)+C_2x_2''(t_0)+C_3x_3''(t_0)+...+C_nx_n''(t_0)=0\)
  4. ...
  5. \(C_1x_1^{(n-1)}(t_0)+C_2x_2^{(n-1)}(t_0)+C_3x_3^{(n-1)}(t_0)+...+C_nx_n^{(n-1)}(t_0)=0\)

这是一组以\(C_1,C_2,C_3,...,C_n\)为未知数的齐次线性方程组,而该齐次线性方程组的系数行列式的值又等于0,说明该齐次线性方程组有非0解。我们假设这组非0解为\(C_1^*,C_2^*,C_3^*,...,C_n^*\),这样就构造了原方程的新解

\(x(t)=C_1^*x_1(t)+C_2^*x_2(t)+C_3^*x_3(t)+...+C_n^*x_n(t)\)

这是一个线性组合,有关线性组合可以参考线性代数整理 中的线性组合

由于\(x_1(t),x_2(t),x_3(t),...,x_n(t)\)是原方程的解,根据解的叠加原理,所以x(t)也是原方程的解。

\(t=t_0\)时,则有

\(x(t_0)=C_1^*x_1(t_0)+C_2^*x_2(t_0)+C_3^*x_3(t_0)+...+C_n^*x_n(t_0)=0\)

其各阶导数同样满足我们构造出来的方程组,由原方程可以看出x(t)=0也是原方程的解,它们都满足解的初始条件( \(C_1,C_2,C_3,...,C_n\)为未知数的齐次线性方程组),由于解的存在唯一性

  1. \(x(t)=C_1^*x_1(t)+C_2^*x_2(t)+C_3^*x_3(t)+...+C_n^*x_n(t)\)
  2. x(t)=0

相矛盾,故有

\(C_1^*x_1(t)+C_2^*x_2(t)+C_3^*x_3(t)+...+C_n^*x_n(t)=0\)

\(C_1^*,C_2^*,C_3^*,...,C_n^*\)是非0解,说明\(x_1(t),x_2(t),x_3(t),...,x_n(t)\)线性相关,与 \(x_i(t)\)之间线性无关相矛盾,得证。

线性齐次方程通解结构

根据定理3我们知道,高阶线性微分方程

\({d^nx\over dt}+a_1(t){d^{n-1}x\over dt^{n-1}}+...+a_{n-1}(t){dx\over dt}+a_n(t)x=0\)

的n个解为\(x_1(t),x_2(t),x_3(t),...,x_n(t)\)

\(t=t_0\)时,我们构造

  1. \(x_1(t) \)        \(x_1(t_0)=1\)     \(x_1'(t_0)=0\)       \(x_1''(t_0)=0\)       ...        \(x_1^{(n-1)}(t_0)=0\)
  2. \(x_2(t) \)        \(x_2(t_0)=0\)     \(x_2'(t_0)=1\)       \(x_2''(t_0)=0\)       ...        \(x_2^{(n-1)}(t_0)=0\)
  3. \(x_3(t) \)        \(x_3(t_0)=0\)     \(x_3'(t_0)=0\)       \(x_3''(t_0)=1\)       ...        \(x_3^{(n-1)}(t_0)=0\)
  4. ...
  5. \(x_n(t) \)        \(x_n(t_0)=0\)     \(x_n'(t_0)=0\)       \(x_n''(t_0)=0\)       ...        \(x_n^{(n-1)}(t_0)=1\)

这些都是满足了后面初始条件的x(t),由其朗斯基行列式

\(W(t_0)=\)\(=1≠0\)

可知,只要有任意一点\(W(t_0)≠0\),由定理3的逆否命题,这一组函数\(x_1(t),x_2(t),x_3(t),...,x_n(t)\)是线性无关的

定理4:高阶线性微分方程

\({d^nx\over dt}+a_1(t){d^{n-1}x\over dt^{n-1}}+...+a_{n-1}(t){dx\over dt}+a_n(t)x=0\)

一定存在n个线性无关的解。

定理5:(通解结构)若\(x_1(t),x_2(t),x_3(t),...,x_n(t)\)

\({d^nx\over dt}+a_1(t){d^{n-1}x\over dt^{n-1}}+...+a_{n-1}(t){dx\over dt}+a_n(t)x=0\)

n个线性无关的解,则这n个线性无关的解的线性组合

\(x(t)=C_1x_1(t)+C_2x_2(t)+C_3x_3(t)+...+C_nx_n(t)\)

为方程通解。

证:由解的叠加原理,x(t)是方程的解,

由其未知数\(C_1,C_2,C_3,...,C_n\)的系数所构成的朗斯基行列式以及\(x_1(t),x_2(t),x_3(t),...,x_n(t)\)线性无关,则有

W(t)=\(≠0\)

又有

\({∂(x,x',x'',...,x^{(n-1)})\over ∂(C_1,C_2,C_3,...,C_n)}=W(t)≠0\),由定理2的逆命题

说明\(C_1,C_2,C_3,...,C_n\)线性无关,得证。

这里的\({∂(x,x',x'',...,x^{(n-1)})\over ∂(C_1,C_2,C_3,...,C_n)}\)表示x(包括\(x_1,x_2,x_3,...,x_n\))函数对C(包括\(C_1,C_2,C_3,...,C_n\))各阶偏导数所组成的行列式。

这说明\({d^nx\over dt}+a_1(t){d^{n-1}x\over dt^{n-1}}+...+a_{n-1}(t){dx\over dt}+a_n(t)x=0\)的解空间构成一个n维线性空间,其n个线性无关的解可以作为解空间的一组基。如果这组解满足

那么这组解叫做原方程的基本解组

但是我们构造原方程的解并不只有这一种方式,只要这组行列式的值为1,即可满足线性无关,例如

\(=1≠0\)

这是一个下三角行列式,该初始条件已经发生了改变,那么解x(t)也就发生了改变,但同时x(t)依然是线性无关的,即基本解组是不唯一的。但满足

的基本解组称为标准基本解组

示例1:x''-x=0的解分别是\(e^t\)\(e^{-t}\),通解为\(x(t)=C_1e^t+C_2e^{-t}\),求x(0)=1,x'(0)=0以及x(0)=0,x'(0)=1时的方程的解。

\(x(t)=C_1e^t+C_2e^{-t}\),得

\(x'(t)=C_1e^t-C_2e^{-t}\)

当t=0时,由x(0)=1,x'(0)=0有

  1. \(C_1+C_2=1\)
  2. \(C_1-C_2=0\)

\(C_1={1\over 2}\),\(C_2={1\over 2}\)

此时记为\(x_1(t)\),则

\(x_1(t)={1\over 2}e^t+{1\over 2}e^{-t}={1\over 2}(e^t+e^{-t})\)

当t=0时,由x(0)=0,x'(0)=1有

  1. \(C_1+C_2=0\)
  2. \(C_1-C_2=1\)

 \(C_1={1\over 2}\),\(C_2=-{1\over 2}\)

此时记为\(x_2(t)\),则

\(x_2(t)={1\over 2}e^t-{1\over 2}e^{-t}={1\over 2}(e^t-e^{-t})\)

  1. \(x_1(t)={1\over 2}(e^t+e^{-t})\)
  2. \(x_2(t)={1\over 2}(e^t-e^{-t})\)

W(t)=\(=1≠0\)

可知\(x_1(t)\)\(x_2(t)\)是线性无关的,所以以这两个解作为标准基本解组得到方程的通解为

\(x(t)=C_1{1\over 2}(e^t+e^{-t})+C_2{1\over 2}(e^t-e^{-t})={1\over 2}[(C_1+C_2)e^t+(C_1-C_2)e^{-t}]\)

\(C_1^*={1\over 2}(C_1+C_2)\)\(C_2^*={1\over 2}(C_1-C_2)\),则

\(x(t)=C_1^*e^t+C_2^*e^{-t}\)

上式虽然在形式上与\(x(t)=C_1e^t+C_2e^{-t}\)非常类似,但它们不是同一组基本解组。从这里我们可以看出标准基本解组不一定是最简洁的一组解。

可降阶的二阶微分方程

可降阶的二阶微分方程只有几种特殊的类型

  • \({d^2y\over dx^2}=f(x)\)

解该类型的二阶微分方程只需要两次积分即可

\({dy\over dx}=\int{f(x)dx}+C_1\)

\(y=\int{(\int{f(x)dx})dx}+C_1x+C_2\)

这就是该类型方程的通解。

示例1:\({d^2y\over dx^2}={1\over cos^2x}\),当\(x_0={π\over 4}\)时,\(y_0={ln2\over 2}\)\(y_0'=1\)

\({dy\over dx}=tanx+C_1\)     (此处可以参考高等数学整理 中的正切函数求导)

因为 \(x_0={π\over 4}\)时,\(y_0'=1\),故

\(1=tan{π\over 4}+C_1\)

\(1=1+C_1\)

\(C_1=0\)

\({dy\over dx}=tanx\)

\(y=-ln|cosx|+C_2\)      (此处可以参考微分方程整理 中的正切的积分公式的推导)

因为 \(x_0={π\over 4}\)时,\(y_0={ln2\over 2}\),故

\({ln2\over 2}=-ln|cos{π\over 4}|+C_2\)

\({ln2\over 2}=-ln|{1\over \sqrt2}|+C_2\)

\({ln2\over 2}=ln\sqrt2+C_2\)

\(C_2=0\)

\(y=-ln|cosx|\)

为原方程的特解

  • \({d^2y\over dx^2}=f(x,{dy\over dx})\)

该类型的方程不明显含有y,简称不显含y,通过变量替换法来进行降阶

\({dy\over dx}=p\),则\({d^2y\over dx^2}={dp\over dx}\),原方程化为

\({dp\over dx}=f(x,p)\)

设该新方程的解为

\(p=φ(x,C_1)\)

\({dy\over dx}=φ(x,C_1)\)

原方程通解为

\(y=\int{φ(x,C_1)dx}+C_2\)

示例2:\((1+x^2){d^2y\over dx^2}=2x{dy\over dx}\)

\({dy\over dx}=p\),则\({d^2y\over dx^2}={dp\over dx}\),原方程化为

\((1+x^2){dp\over dx}=2xp\)

分离变量,得

\({dp\over p}={2x\over 1+x^2}dx\)

两端积分

\(\int{dp\over p}=\int{2x\over 1+x^2}dx\)

\(ln|p|=\int{{1\over 1+x^2}d(1+x^2)}\)

\(ln|p|=ln|1+x^2|+ln|C_1|\)

\(ln|p|=ln(|1+x^2|⋅|C_1|)\)

\(p=C_1(1+x^2)\)

\({dy\over dx}=C_1(1+x^2)\)

\(y=\int{C_1(1+x^2)dx}+C_2\)

\(y=C_1(x+{x^3\over 3})+C_2\)

为原方程的通解

  • \({d^2y\over dx^2}=f(y,{dy\over dx})\)

该类型的方程不明显含有x,简称不显含x,同样通过变量替换法来进行降阶

\({dy\over dx}=p\),则\({d^2y\over dx^2}={dp\over dx}={dp\over dy}⋅{dy\over dx}=p{dp\over dy}\),原方程化为

\(p{dp\over dy}=f(y,p)\)

设该新方程的解为

\(p=φ(y,C_1)\)

\({dy\over dx}=φ(y,C_1)\)

分离变量

\({dy\over φ(y,C_1)}=dx\)

两端积分

\(\int{dy\over φ(y,C_1)}=\int{dx}\)

示例3:\(({dy\over dx})^2-y{d^2y\over dx^2}=0\)

\({dy\over dx}=p\),则\({d^2y\over dx^2}={dp\over dx}={dp\over dy}⋅{dy\over dx}=p{dp\over dy}\),原方程化为

\(p^2-yp{dp\over dy}=0\)

\((p-y{dp\over dy})p=0\)

于是有

  1. \(p-y{dp\over dy}=0\)
  2. p=0

由1式

\(p=y{dp\over dy}\)

分离变量

\({dy\over y}={dp\over p}\)

两端积分

\(\int{dy\over y}=\int{dp\over p}\)

\(ln|p|=ln|y|+ln|C_1|\)

\(p=C_1y\),p=0也是解

\(C_1=0\)的情形,\(C_1\)可以为任意常数,此时

\(p=C_1y\)\((p-y{dp\over dy})p=0\)的通解

\({dy\over dx}=C_1y\)

分离变量

\({dy\over y}=C_1dx\)

两端积分

\(\int{dy\over y}=\int{C_1dx}\)

\(ln|y|=C_1x+ln|C_2|\)

\(ln|y|=lne^{C_1x}+ln|C_2|\)

\(y=C_2e^{C_1x}\)

y=0也是解,为上式\(C_2=0\)的情形

\(y=C_2e^{C_1x}\)为原方程的通解,\(C_1,C_2\)为任意常数

二阶线性微分方程解的结构

  • 二阶线性微分方程的形式

\({d^2y\over dx^2}+p(x){dy\over dx}+q(x)y=f(x)\)

等式右端的f(x)称为非齐次项或自由项。

  1. 如果f(x)≡0,该形式称为二阶齐次线性微分方程。\({d^2y\over dx^2}+p(x){dy\over dx}+q(x)y=0\)
  2. 如果f(x)0,该形式称为二阶非齐次线性微分方程。
  • 二阶线性微分算子
  1. 一阶求导算子
    1. \({dy\over dx}={d\over dx}y\),等式右边读作求导算子\(d\over dx\)作用在y上;
  2. 二阶求导算子
    1. \({d^2y\over dx^2}={d\over dx}({dy\over dx})\),等式右边表示求导算子\(d\over dx\)作用在一阶导数\(dy\over dx\)上。
    2. \({d\over dx}({dy\over dx})={d\over dx}({d\over dx}y)\),最终式表示求导算子\(d\over dx\)连续作用在y上两次。
    3. \({d\over dx}({d\over dx}y)={d^2\over dx^2}y\),这里\((dx)^2≡dx^2\),等式右边表示二阶求导算子\(d^2\over dx^2\)作用在y上。

以此类推,三阶导数

\({d^3y\over dx^3}={d\over dx}({d^2y\over dx^2})={d\over dx}({d\over dx}({d\over dx}y))={d^3\over dx^3}y\)

我们可以看作是求导算子\(d\over dx\)连续作用在y上三次,也可以看作是三阶求导算子\(d^3\over dx^3\)作用在y上。

对于二阶线性微分算子,有

\(L={d^2\over dx^2}+p(x){d\over dx}+q(x)\)

则该算子作用在y上,有

\(L[y]=({d^2\over dx^2}+p(x){d\over dx}+q(x))y\)

\(={d^2y\over dx^2}+p(x){dy\over dx}+q(x)y\)

于是原方程简记为

  1. L[y]=f(x)     (非线性)
  2. L[y]=0        (线性)
  • 性质

设函数y=y(x),\(y_1=y_1(x)\),\(y_2=y_2(x)\),二阶可导;\(C,C_1,C_2\)为常数,则有

  1. L[Cy]=CL[y]
  2. \(L[y_1+y_2]=L[y_1]+L[y_2]\)
  3. \(L[C_1y_1+C_2y_2]=C_1L[y_1]+C_2L[y_2]\)

证明:1.

\(L[Cy]=({d^2\over dx^2}+p(x){d\over dx}+q(x))(Cy)\)

\(={d^2(Cy)\over dx^2}+p(x){d(Cy)\over dx}+q(x)(Cy)\)

\(=C[{d^2y\over dx^2}+p(x){dy\over dx}+q(x)y]=CL[y]\)

1得证

2.

\(L[y_1+y_2]=({d^2\over dx^2}+p(x){d\over dx}+q(x))(y_1+y_2)\)

\(={d^2(y_1+y_2)\over dx^2}+p(x){d(y_1+y_2)\over dx}+q(x)(y_1+y_2)\)

\(={d^2y_1\over dx^2}+{d^2y_2\over dx^2}+p(x){dy_1\over dx}+p(x){dy_2\over dx}+q(x)y_1+q(x)y_2\)         (此处可以参考高等数学整理 中的函数的和、差、积、商求导)

\(=[{d^2y_1\over dx^2}+p(x){dy_1\over dx}+q(x)y_1]+[{d^2y_2\over dx^2}+p(x){dy_2\over dx}+q(x)y_2]\)

\(=L[y_1]+L[y_2]\)

2得证

3.

由性质2

\(L[C_1y_1+C_2y_2]=L[C_1y_1]+L[C_2y_2]\)

由性质1

\(=C_1L[y_1]+C_2L[y_2]\)

3得证

  • 叠加原理

定理1:设\(y_1=y_1(x)\),\(y_2=y_2(x)\)都是二阶齐次线性微分方程L[y]=0的解,\(C_1,C_2\)是常数,则\(C_1y_1+C_2y_2\)也是L[y]=0的解。

根据线性微分方程的一般理论,\(C_1y_1+C_2y_2\)\(y_1,y_2\)的线性组合,为L[y]的通解。当然我们也可以根据前面的性质来证明

已知\(L[y_1]=L[y_2]=0\)

\(L[C_1y_1+C_2y_2]=C_1L[y_1]+C_2L[y_2]=C_10+C_20=0\)

得证

  • 二阶齐次线性微分方程解的结构

定理2: \(y_1=y_1(x)\),\(y_2=y_2(x)\) 是L[y]=0两个线性无关的解,\(C_1,C_2\)是任意常数,则L[y]=0的通解是

\(y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)\)

定理3:设\(y^*=y^*(x)\)是非齐次线性微分方程L[y]=f(x)的一个特解,\(Y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)\)是L[y]=0的通解,则

\(y=Y+y^*=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)+y^*(x)\)

是L[y]=f(x)的通解,其中\(C_1,C_2\)为任意常数。

证明:\(L[y]=L[Y+y^*]=L[Y]+L[y^*]=0+f(x)=f(x)\)

所以y是解

因为\(Y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)\)是L[y]=0的通解,故\(C_1,C_2\)相互独立

所以\(y=Y+y^*\)是通解,得证

  • 广义叠加原理

定理4:设\(y_1,y_2\)分别是\(L[y]=f_1(x)\),\(L[y]=f_2(x)\)的解,则\(y_1+y_2\)\(L[y]=f_1(x)+f_2(x)\)的解。

证明:由已知,得

\(L[y_1]=f_1(x)\),\(L[y_2]=f_2(x)\)

\(L[y_1+y_2]=L[y_1]+L[y_2]=f_1(x)+f_2(x)\)

得证

定理5:设\(y_1+iy_2\)(复数)是\(L[y]=f_1(x)+if_2(x)\)的解,则\(y_1,y_2\)分别是\(L[y]=f_1(x)\)\(L[y]=f_2(x)\)的解。

证明:由已知,得

\(L[y_1+iy_2]=f_1(x)+if_2(x)\)

\(L[y_1+iy_2]=L[y_1]+iL[y_2]\)

由两个复数相等,则它们的实部与虚部分别向等(有关复数的内容可以参考复数整理 )

\(L[y_1]=f_1(x)\),\(L[y_2]=f_2(x)\)

得证

二阶常系数线性微分方程

  • 二阶常系数齐次线性微分方程

\({d^2y\over dx^2}+p{dy\over dx}+qy=0\)

这里p、q为常数

通过上式,我们可以看出函数y(x)具有求导不变性,因为它本身加上一阶导数再加上二阶导数为0,以e为底的指数函数具有这种性质。

\(y=e^{rx}\)是原方程的解,r是待定的常数,则有

\({dy\over dx}=re^{rx}\),\({d^2y\over dx^2}=r^2e^{rx}\)

代入原方程,有

\(r^2e^{rx}+pre^{rx}+qe^{rx}=0\)

由于\(e^{rx}≠0\),等式两边同除以\(e^{rx}\),有

\(r^2+pr+q=0\)

我们将该方程称为原方程的特征方程

1、当\(p^2-4q>0\)时,该特征方程有两个不相等的实根\(r_1,r_2\),则

\(y_1=e^{r_1x}\),\(y_2=e^{r_2x}\)都是原方程的解

这两个函数的朗斯基行列式为

≠0

\(y_1\)\(y_2\)是线性无关的。

故原方程的通解为

\(y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}\)      \(C_1,C_2\)为任意常数

2、 \(p^2-4q=0\)时, 该特征方程有两个相等的实根\(r_1=r_2=r\),则

\(y_1=e^{rx}\)是原方程的解

\(y_2=ue^{rx}\)是原方程的解(u是一个函数,以保证\(y_1,y_2\)线性无关),则

\({dy_2\over dx}={du\over dx}e^{rx}+rue^{rx}=({du\over dx}+ru)e^{rx}\)

\({d^2y_2\over dx^2}=({d^2u\over dx^2}+r{du\over dx})e^{rx}+({du\over dx}+ru)re^{rx}=({d^2u\over dx}+2r{du\over dx}+r^2u)e^{rx}\)

代入原方程,有

\(({d^2u\over dx}+2r{du\over dx}+r^2u)e^{rx}+p({du\over dx}+ru)e^{rx}+que^{rx}=0\)

由于\(e^{rx}≠0\),等式两边同除以\(e^{rx}\),有

\(({d^2u\over dx}+2r{du\over dx}+r^2u)+p({du\over dx}+ru)+qu=0\)

\({d^2u\over dx^2}+(2r+p){du\over dx}+(r^2+pr+q)u=0\)

由于r是特征方程的实根,故

\(r^2+pr+q=0\)

\(r_1=r_2=r\),故

2r+p=0

\({d^2u\over dx^2}=0\)

取u=x,则

\(y_2=xe^{rx}\)是原方程的解

 \(y_1\)\(y_2\)线性无关,原方程的通解为

\(y=C_1e^{rx}+C_2xe^{rx}=(C_1+C_2x)e^{rx}\)     \(C_1,C_2\)为任意常数

3、 \(p^2-4q<0\)时, 该特征方程有两个共轭的复根\(r_1,r_2=α(+/-)iβ\)  (有关共轭复数的内容可以参考复数整理 中的共轭复数)

\(y_1=e^{r_1x}=e^{(α+iβ)x}=e^{αx+iβx}=e^{αx}e^{iβx}\)

\(y_2=e^{r_2x}=e^{(α-iβ)x}=e^{αx-iβx}=e^{αx}e^{-iβx}\)

都是原方程的解

由欧拉公式,有(有关欧拉公式的内容可以参考复数整理 中的欧拉公式)

\(y_1=e^{αx}(cosβx+isinβx)\)

\(y_2=e^{αx}(cosβx-isinβx)\)

\(y_1^*={1\over 2}(y_1+y_2)=e^{αx}cosβx\)

\(y_2^*={1\over 2i}(y_1-y_2)=e^{αx}sinβx\)

由于解的线性组合仍是原方程的解,且这两个线性组合解函数的朗斯基行列式为

≠0

\(y_1^*\)\(y_2^*\)是线性无关的

故原方程的通解为

\(y=C_1e^{​αx}cosβx+C_2e^{​αx}sinβx=(C_1cosβx+C_2sinβx)e^{​αx}\)      \(C_1,C_2\)为任意常数

示例1:\({d^2y\over dx^2}+3{dy\over dx}-10y=0\)

这是二阶常系数齐次线性微分方程,其特征方程为

\(r^2+3r-10=0\)

(r+5)(r-2)=0

解得

\(r_1=-5\),\(r_2=2\)

这是第一种情况,方程有两个不相等的实根,则原方程通解为

\(y=C_1e^{-5x}+C_2e^{2x}\)       \(C_1,C_2\)为任意常数

示例2:\({d^2y\over dx^2}-4{dy\over dx}+4y=0\)

这是二阶常系数齐次线性微分方程,其特征方程为

\(r^2-4r+4=0\)

解得

\(r_1=r_2=2\)

这是第二种情况,方程有两个相等的实根,则原方程通解为

\(y=(C_1+C_2x)e^{2x}\)     \(C_1,C_2\)为任意常数

示例3:\({d^2y\over dx^2}+4{dy\over dx}+7y=0\)

这是二阶常系数齐次线性微分方程,其特征方程为

\(r^2+4r+7=0\)

\(r={-4(+/-)\sqrt{16-28}\over 2}=-2(+/-){\sqrt{3}}i\)

这是第三种情况,方程有两个共轭的复根,则原方程通解为

\(y=(C_1cos\sqrt{3}x+C_2sin\sqrt{3}x)e^{-2x}\)     \(C_1,C_2\)为任意常数

展开阅读全文
加载中
点击引领话题📣 发布并加入讨论🔥
打赏
0 评论
0 收藏
0
分享
返回顶部
顶部