微分方程整理

原创
2023/11/23 21:54
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常微分方程

例:求一曲线方程,使其满足过点(1,2),且其上任意一点处的切线斜率为其横坐标的2倍。

设曲线方程为y=f(x),有\({dy\over dx}=2x\),这样的方程与代数方程的不同在于包含了未知函数对自变量的导数,为一阶的微分方程。之所以为一阶微分方程是因为该方程的导数的最高阶数为一阶。由该式可得

dy=2xdx

两端积分,有

\(y=x^2+C\)

将(1,2)代入,可得

C=1

故该曲线方程为

\(y=x^2+1\)

其中\(y=x^2+C\)为微分方程\({dy\over dx}=2x\)的通解,\(y=x^2+1\)为特解。

微分方程定义和基本概念

\(F(x,y,y',...,y^{(n)})=0\)

包含了自变量各阶导数的方程称为微分方程。

  • 基本概念
  1. 微分方程分为常微分方程和偏微分方程,之前的示例就为常微分方程,偏微分方程例如
    1. \({∂^2u\over ∂x^2}+{∂^2u\over ∂y^2}=0\)
    2. 的多元函数的方程。它们的区分主要是自变量的个数
  2. 方程的阶数就是未知函数对自变量的导数的最高阶数。这里又把微分方程分为一阶微分方程高阶微分方程
  3. 从线性和非线性的角度,又可以把微分方程分为线性方程非线性方程
    1. 线性方程的形式:
    2. \(y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+a_2(x)y^{(n-2)}+...+a_{n-1}(x)y'+a_n(x)y=f(x)\)
    3. 非线性方程如:
    4. \(y'+(y')^2=1\)
  4. 方程的解,y=φ(x),x∈I,代入到方程\(F(x,y,y',...,y^{(n)})=0\)中,使得两端成立,此时y=φ(x)就是方程的一个解。
    1. 如果它的解当中含着任意个相互独立的常数C,那么这样的解就叫做方程的通解。通解的形式又可以分为显式解隐式解。隐式解主要是例如\(lny=x^2+C\),它不容易直接写出y和x的关系,它也是一种解。
    2. 如果它的解当中不含任意个常数,那么这样的解就叫做方程的特解。求特解必须知道一定的已知条件,一般该条件叫做初值条件

初等积分法

早期,人们致力于寻找一阶微分方程的通解,该时期称为微分方程发展的古典时期,在这一过程中,人们发现了一系列能用初等积分法求解的方程类型。这些方程有变量分离方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程、全微分方程和某些一阶隐方程等。1841年Liouville证明了Riccati方程

\({dy\over dx}=P(x)y^2+Q(x)y+R(x)\)

不存在一般的初等解决法而中断。

  • 分离变量法

形如

\({dy\over dx}=f(x,y)=g(x)h(y)\)

如果f(x,y)可以分解为关于x和关于y的两个函数g(x)和h(y),且这两个函数都是定义在某个区间的连续函数,那么就称该方程为变量分离方程

1)if ∃ \(y=y_0\)  s.t. h(y)=0,则

\(y=y_0\)是方程的解

2) \(h(y)≠0\),上式可转化为

\({dy\over h(y)}=g(x)dx\)

两端积分

\(\int{dy\over h(y)}=\int{g(x)dx}\)

设h(y)的原函数为H(y);g(x)的原函数为G(x),则上式可转化为

H(y)=G(x)+C

这就是微分方程的隐式通解,如果我们能够求出y是x的显函数,则可以求出方程的显式通解。

示例1:\(y'=e^{x+y}\)

\(y'=e^{x+y}=e^x⋅e^y\)

这里\(e^{x+y}\)可以分离成关于x的函数\(e^x\)和关于y的函数\(e^y\)

显然\(e^y≠0\),则有

\({dy\over e^y}=e^xdx\)

两端积分

\(\int{dy\over e^y}=\int{e^xdx}\)

\(-e^{-y}=e^x+C\)

\(y=ln(-{1\over e^x+C})\)

这里的\(\int{dy\over e^y}=\int{e^{-y}dy}=-\int{e^{-y}d(-y)}=-e^{-y}+C\)

Python代码

import sympy as sp

if __name__ == '__main__':

    x = sp.symbols('x')
    y = sp.Function('y')(x)

    eq = sp.Eq(y.diff(x, 1) - sp.exp(x) * sp.exp(y), 0)

    print(sp.dsolve(eq, y))

运行结果

Eq(y(x), log(-1/(C1 + exp(x))))

示例2:\({dy\over dx}=2x(1-y^2)^{1\over 2}\)

1)显然y=(+/-)1是方程的解。

2)当\(1-y^2≠0\)时,上式可转化为

\({dy\over \sqrt{1-y^2}}=2xdx\)

两端积分

\(\int{dy\over \sqrt{1-y^2}}=\int2xdx\)

\(arcsiny=x^2+C\)   隐式解  \(x^2+C ∈ (-{π\over 2},{π\over 2})\)

\(y=sin(x^2+C)\)      显式解

另y=(+/-)1也是方程的解

这里的\(\int{dy\over \sqrt{1-y^2}}\),令y=sint,t=arcsiny,则\(\int{dy\over \sqrt{1-y^2}}=\int{costdt\over cost}=\int{dt}=arcsiny\)

这里的dy=d(sint)=costdt可以参考高等数学整理 中的常见微分公式。

Python代码

import sympy as sp

if __name__ == '__main__':

    x = sp.symbols('x')
    y = sp.Function('y')(x)

    eq = sp.Eq(y.diff(x, 1) - 2 * x * sp.sqrt(1 - y**2), 0)

    print(sp.dsolve(eq, y))

运行结果

Eq(y(x), sin(C1 + x**2))

以上求的都是方程的通解,现在我们来看一个求特解的例子。

示例3:\({dy\over dx}={2xy^2\over 1-x^2}\),求\(y(0)=1\)的特解

上式可转化为

\({dy\over y^2}={2x\over 1-x^2}dx\)

两端积分

\(\int{dy\over y^2}=\int{2x\over 1-x^2}dx\)

由于\(2xdx=-d(1-x^2)\)

该式可转化为

\(-\int{dy\over y^2}=\int{d(1-x^2)\over 1-x^2}\)

最终可得

\({1\over y}=ln|1-x^2|+C\)

将x=0时,y=1代入,可得

1=ln1+C

由于ln1=0,故C=1

故该方程的特解为

\({1\over y}=ln|1-x^2|+1\)

\(y={1\over ln|1-x^2|+1}\)

Python代码

import sympy as sp

if __name__ == '__main__':

    x = sp.symbols('x')
    y = sp.Function('y')(x)

    eq = sp.Eq(y.diff(x, 1) - 2 * x * y**2 / (1 - x**2), 0)

    print(sp.dsolve(eq, y))

运行结果

Eq(y(x), -1/(C1 - log(x**2 - 1)))
  • 变量替换法——齐次方程

对于某些一阶微分方程并不是直接给定的变量分离方程,通过变量代换,将不是变量分离的方程变成变量分离方程,这个过程就是变量替换法

齐次方程是最简单的变量替换法的应用。

对于给定的一个函数f(x,y),把x换成tx,把y换成ty,\(f(tx,ty)=t^nf(x,y)\),这样的函数称为n次齐次函数。它的特点是各项次数相等,如

\(g(x,y)=x^2+xy+y^2\)

就是一个齐次函数。更严格来说,形如

\(f(x,y)={x^3+x^2y+y^3\over xy^2}\)

函数式分子分母同除以\(x^3\),有

\(={1+{y\over x}+({y\over x})^3\over ({y\over x})^2}\)

这是一个0次齐次函数,也就是说右端函数是一个关于\(y\over x\)的函数,即形如

\({dy\over dx}=g({y\over x})\)

的方程称为齐次方程。它是一定能化成变量分离方程的。

\({y\over x}=u\),即y=ux,则dy=d(ux)=udx+xdu,这里可参考高等数学整理 常见微分公式中的和、差、积、商的微分

代入原方程,可得

\(u+x{du\over dx}=g(u)\)

\(x{du\over dx}=g(u)-u\)

这样就化成了一个新的未知变量u的变量分离方程。

如果\(g(u)-u≠0\),分离变量,上式可化为

\({du\over g(u)-u}={dx\over x}\)

两端积分

\(\int{du\over g(u)-u}=\int{dx\over x}\)

假设\(1\over g(u)-u\)的原函数为G(u),那么上式可得

G(u)=ln|x|+C

\(G({y\over x})=ln|x|+C\)

如果\(u=u_0\),使得g(u)-u=0,那么\(u=u_0\)也是该方程的解,即

\({y\over x}=u_0\)

\(y=u_0x\)

我们需要将其代入到原方程中去验证它是否是原方程的解,如果是,我们需要将其补充上去,得到原方程所有的解。

示例1:\(y'={y+\sqrt{x^2+y^2}\over x}\),求y(1)=0的特解。

上式可化为

\({dy\over dx}={y\over x}+\sqrt{1+({y\over x})^2}\)

\({y\over x}=u\),有

\(u+x{du\over dx}=u+\sqrt{1+u^2}\)

因为\(1+u^2>0\),有

\({du\over \sqrt{1+u^2}}={dx\over x}\)

两端积分

\(\int{du\over \sqrt{1+u^2}}=\int{dx\over x}\)

令u=tant,则\(du=d(tant)=sec^2tdt\),上式的左边可化为

\(\int{sectdt}=\int{dt\over cost}=\int{costdt\over cos^2t}=\int{d(sint)\over 1-sin^2t}\)

令v=sint,有

\(=\int{dv\over 1-v^2}=\int{dv\over (1+v)(1-v)}={1\over 2}\int{dv\over 1+v}+{1\over 2}\int{dv\over 1-v}={1\over 2}\int{d(1+v)\over 1+v}-{1\over 2}\int{d(1-v)\over 1-v}\)

\(={1\over 2}ln|1+v|-{1\over 2}ln|1-v|+C\)

\(={1\over 2}ln|{1+v\over 1-v}|+C={1\over 2}ln|{1+sint\over 1-sint}|+C=ln|\sqrt{1+sint\over 1-sint}|+C=ln|{1+sint\over cost}|+C=ln|sect +tant|+C\)

\(=ln|\sqrt{1+u^2}+u|+C\)

\(\int{secxdx}=ln|secx+tanx|+C\)是正割积分的一个基础公式,需要经常使用,这里只是顺便推导一下。

故两端积分最终可得

\(ln|\sqrt{1+u^2}+u|=ln|x|+C\)

由于C是任意常数,我们可以在这里把C记作lnC,则有

\(ln|{\sqrt{1+u^2}+u\over x}|=lnC\)

\({\sqrt{1+u^2}+u\over x}=C\)

\(\sqrt{1+u^2}+u=Cx\)

\({\sqrt{x^2+y^2}\over x}+{y\over x}=Cx\)

将x=1,y=0代入,可得

C=1

故该方程的特解为

\(\sqrt{x^2+y^2}+y=x^2\)   隐函数

\(y={1\over 2}(x^2-1)\)   显函数

Python代码

import sympy as sp

if __name__ == '__main__':

    x = sp.symbols('x')
    y = sp.Function('y')(x)

    eq = sp.Eq(y.diff(x, 1) - (y + sp.sqrt(x**2 + y**2)) / x, 0)

    print(sp.dsolve(eq, y))

运行结果

Eq(y(x), -x*sinh(C1 - log(x)))

这里的sinh是双曲正弦函数。

  • 能够化成齐次方程的方程

形如

\({dy\over dx}=f({a_1x+b_1y+c_1\over a_2x+b_2y+c_2})\)

的方程是一定能够化成齐次方程的。

分情况讨论

1)如果\(c_1=c_2=0\),f函数的变量分子分母同时除以x就可以得到

\(f({a_1+b_1{y\over x}\over a_2+b_2{y\over x}})\)

这本身就是一个0次齐次方程。

2)如果\(c_1\)或者\(c_2\)有一个不为0,即\(c_1^2+c_2^2≠0\)

我们知道在xy面上,如果\(a_1x+b_1y+c_1=0\),那么该方程是xy面上的一条直线;同理,如果\(a_2x+b_2y+c_2=0\),那么该方程也是xy面上的一条直线。

那么这两条直线无非有三种关系,第一种——重合,第二种——平行,第三种——相交。

如果是第一种——重合,那么满足关系

\({a_1\over a_2}={b_1\over b_2}={c_1\over c_2}=k\)

此时方程的通解为\(y=k'x+b\)  (注意这里的k'和k没有关系)

如果是第二种——平行,那么满足关系

\({a_1\over a_2}={b_1\over b_2}=k≠{c_1\over c_2}\)

在代数中表示为行列式(有关行列式的内容可以参考线性代数整理(三) 中的行列式)

Δ==0

代入原方程右端,可转化为

\(f({k(a_2x+b_2y)+c_1\over a_2x+b_2y+c_2})\)

\(a_2x+b_2y=u\)

两端微分,有

\(a_2dx+b_2dy=du\)

\(a_2+b_2{dy\over dx}={du\over dx}\)

\({dy\over dx}={{du\over dx}-a_2\over b_2}\)

这样就得到了原方程的左端。原方程的右端可以直接写成f(u),则

\({{du\over dx}-a_2\over b_2}=f(u)\)

\({du\over dx}=b_2f(u)+a_2\)

这样就变成了一个齐次方程,再变量分离,两端积分,即可获得原方程的解。

如果是第三种——相交,满足关系

\({a_1\over a_2}≠{b_1\over b_2}\)

即为

Δ=\(≠0\)

联立方程组

  1. \(a_1x+b_1y+c_1=0\)
  2. \(a_2x+b_2y+c_2=0\)

假设该方程组的解为(α,β),即两直线的交点。我们将坐标系的原点移到交点处,有

  1. x-α=X
  2. y-β=Y

代入原方程

\({dY\over dX}={a_1X+b_1Y\over a_2X+b_2Y}={a_1+b_1{Y\over X}\over a_2+b_2{Y\over X}}\)      (此时转换了坐标系原点,除去了常数项\(c_1\)\(c_2\)

\({Y\over X}=u\),则该齐次方程就一定能化成变量分离方程,再两端积分求得方程的解。

示例1:(x-y-1)dx+(4y+x-1)dy=0

上式可化为

\({dy\over dx}=-{x-y-1\over x+4y-1}\)

这里x-y-1=0和x+4y-1=0必然不是重合或者平行的直线,它们是相交的关系,联立解方程可得

x=1,y=0,这两条直线相交于(1,0)这个点

转移坐标系原点,新坐标系的原点(X,Y)与原坐标系的关系为

  1. X=x-1
  2. Y=y

原微分方程可化为

\({dY\over d(X+1)}=-{X-Y\over X+4Y}\)

\({dY\over dX}=-{X-Y\over X+4Y}\)

\({dY\over dX}=-{1-{Y\over X}\over 1+4{Y\over X}}\)

\(u={Y\over X}\),上式可化为

\(u+X{du\over dX}=-{1-u\over 1+4u}\)

\(X{du\over dX}=-{1+4u^2\over 1+4u}\)

由于\(1+4u^2≠0\),分离变量

\(-{(1+4u)du\over 1+4u^2}={dX\over X}\)

两端积分

\(\int{(1+4u)du\over 1+4u^2}=-\int{dX\over X}\)

\(\int{{du\over 1+4u^2}+\int{4udu\over 1+4u^2}}=-\int{dX\over X}\)

\({1\over 2}\int{{d(2u)\over 1+4u^2}+{1\over 2}\int{d(1+4u^2)\over 1+4u^2}}=-\int{dX\over X}\)

\(\int{{d(2u)\over 1+4u^2}+\int{d(1+4u^2)\over 1+4u^2}}=-2\int{dX\over X}\)

\(arctan2u+ln(1+4u^2)=-2ln|X|+C\)

这里需要补充一个反正切函数求导的推导

y=arctanx

x=tany

\(y'=(arctanx)'={dy\over dx}={1\over {dx\over dy}}\)

这里我们知道

\({dx\over dy}=x'=(tany)'=sec^2y\)

\(y'={1\over sec^2y}={1\over tan^2y+1}={1\over x^2+1}\)

故最终可得

\((arctanx)'=y'={dy\over dx}={1\over x^2+1}\)          (这是一个反正切的常用求导公式,需要经常使用)

转化为微分就有

\(dy={dx\over x^2+1}\)

从而有

\(\int{d(2u)\over 1+4u^2}=arctan2u+C\)

回到\(arctan2u+ln(1+4u^2)=-2ln|X|+C\),可转化为

\(arctan2u+ln(1+4u^2)+2ln|X|=C\)

\(arctan2u+ln((1+4u^2)⋅|X|^2)=C\)

\(arctan{2y\over x-1}+ln((1+4({y\over x-1})^2)⋅|x-1|^2)=C\)

\(arctan{2y\over x-1}+ln((x-1)^2+4y^2)=C\)

上式即为该方程的解(隐式解)。

  • 比较特殊的变量替换

在齐次方程中,通过将\({y\over x}=u\)的变量替换,可以化为变量分离方程。但并不是所有的变量替换都是\({y\over x}=u\)做什么样的变量替换取决于给定的方程类型

示例1:\({dy\over dx}=1+(y-x)^2\)\(y(0)={1\over 2}\),求特解

形如\({dy\over dx}=f(ax+by+c)\)中,我们可以把ax+by看成一个整体。在原题中,我们就可以把y-x看成一个整体,通过这样的变量替换,它是一定能化成变量分离方程。

令y-x=u,则dy-dx=du,原方程可化为

\({du+dx\over dx}=1+u^2\)

\({du\over dx}+1=1+u^2\)

\({du\over u^2}=dx\)

两端积分

\(\int{du\over u^2}=\int{dx}\)

\(-\int{du\over u^2}=-\int{dx}\)

\({1\over u}=-x+C\)

\({1\over y-x}=-x+C\)

\(y(0)={1\over 2}\)可得

C=2

故该方程的特解为

\({1\over y-x}=-x+2\)

示例2:\((y+xy^2)dx+(x-x^2y)dy=0\)

上式可化为

(1+xy)ydx+(1-xy)xdy=0

令xy=z,则xdy+ydx=dz,上式可化为

\((1+z){z\over x}dx+(1-z)(dz-{z\over x}dx)=0\)

\(z(1+z)dx+(1-z)(xdz-zdx)=0\)

[z(1+z)-z(1-z)]dx+(1-z)xdz=0

\(2z^2dx=(z-1)xdz\)

分离变量

\({z-1\over 2z^2}dz={dx\over x}\)

两端积分

\(\int{z-1\over 2z^2}dz=\int{dx\over x}\)

\(\int{1\over z}dz-\int{1\over z^2}dz=2\int{dx\over x}\)

\(ln|z|-{1\over z}=lnx^2+C\)

\(ln|{z\over x^2}|-{1\over z}=C\)

\(ln|{y\over x}|-{1\over xy}=C\)

上式即为该方程的解,在该方程中ydx和xdy前面都有一个关于x,y的函数,此时我们就可以将xy看成一个整体进行变量替换

  • 一阶线性方程

形如

\({dy\over dx}=P(x)y+Q(x)\)

叫做一阶线性非齐次方程(这里要求P(x)和Q(x)是定义在区间[a,b]的连续函数),如果Q(x)≡0,则上式为

\({dy\over dx}=P(x)y\)

为一阶线性齐次方程。对该方程进行变量分离、两端积分,其通解为

\(y=Ce^{\int{P(x)dx}}\)

我们设\(y^*=C(x)e^{\int{P(x)dx}}\)是一阶线性非齐次方程的一个解,这种方法称为常数变异法(即把一阶线性齐次方程的常数C进行变异)

将该解代入原方程,有

\((y^*)'=C'(x)e^{\int{P(x)dx}}+C(x)P(x)e^{\int{P(x)dx}}=P(x)y^*+Q(x)=P(x)C(x)e^{\int{P(x)dx}}+Q(x)\)

\(C'(x)e^{\int{P(x)dx}}+C(x)P(x)e^{\int{P(x)dx}}=P(x)C(x)e^{\int{P(x)dx}}+Q(x)\)

\(C'(x)=Q(x)e^{-\int{P(x)dx}}\)

两端积分

\(C(x)=\int{Q(x)e^{-\int{P(x)dx}}}dx+C\)

代入\(y^*=C(x)e^{\int{P(x)dx}}\),有

\(y=(\int{Q(x)e^{-\int{P(x)dx}}}dx+C)e^{\int{P(x)dx}}=e^{\int{P(x)dx}}\int{Q(x)e^{-\int{P(x)dx}}}dx+Ce^{\int{P(x)dx}}\)

这里我们知道\(Ce^{\int{P(x)dx}}\)是一阶线性齐次方程的通解,\(e^{\int{P(x)dx}}\int{Q(x)e^{-\int{P(x)dx}}}dx\)满足\(y^*=C(x)e^{\int{P(x)dx}}\)的其中之一,为一阶线性非齐次方程的特解。这里我们可以看到一阶线性非齐次方程的解为其齐次方程的通解与其本身的特解的和的形式。而上式也就是一阶线性非齐次方程通解公式。该方法(常数变异法)是拉格朗日花费了11年想出来的,其推导过程已不得而知。

示例1:\({dy\over dx}={cosy\over cosysin2y-xsiny}\)

颠倒分子分母的位置,有

\({dx\over dy}={cosysin2y-xsiny\over cosy}\)

\({dx\over dy}=-xtany+sin2y\)

这是一个关于x的一阶线性非齐次方程,在这里

P(y)=-tany,Q(y)=sin2y

代入一阶线性非齐次方程的通解公式,有

\(x=e^{\int{P(y)dy}}\int{Q(y)e^{-\int{P(y)dy}}dy}+Ce^{\int{P(y)dy}}\)

    \(=e^{\int{-tany}dy}\int{sin2y}⋅e^{-\int{-tanydy}}dy+Ce^{\int{-tanydy}}\)

这里补充一个正切的积分公式的推导

\(\int{tanxdx}=\int{{sinx\over cosx}dx}=-cosx\int{{1\over cosx}dx}+C=-\int{{1\over cosx}d(cosx)}+C\)

                   \(=-ln|cosx|+C=ln|{1\over cosx}|+C=ln|secx|+C\)

\(e^{\int{-tany}dy}\int{sin2y}⋅e^{-\int{-tanydy}}dy+Ce^{\int{-tanydy}}=e^{lncosy}\int{sin2y⋅e^{ln{1\over cosy}}dy}+Ce^{lncosy}\)

\(=cosy\int{sin2y⋅{1\over cosy}dy}+Ccosy=cosy\int{{2sinycosy\over cosy}dy}+Ccosy\)

\(=cosy\int{2sinydy}+Ccosy=-2cos^2y+Ccosy\)

\(x=-2cos^2y+Ccosy\)

为原函数的通解,这里需要说明

\(e^{\int{-tany}dy}=e^{lncosy}\)

可以去掉绝对值符号是因为在\(e^{lncosy}\int{sin2y⋅e^{ln{1\over cosy}}dy}\)的积分内部和积分外部的正负号相同,如果同为负的话依然会负负得正。而对于\(Ce^{lncosy}\)而言,C是任意常数,可正可负,所以也可以去掉绝对值符号。

  • 伯努利方程

形如

\({dy\over dx}=P(x)y+Q(x)y^n\)\((n≠0,1)\)

被称为伯努利方程,这里如果n=0为线性非齐次方程,如果n=1为变量可分离方程,这两种情况我们都已经解决了。

两端同时除以\(y^n\),有

\(y^{-n}{dy\over dx}=P(x)y^{1-n}+Q(x)\)

\((1-n)y^{-n}{dy\over dx}=(1-n)P(x)y^{1-n}+(1-n)Q(x)\)

\(y^{1-n}=z\),上式可化为

\({dz\over dx}=(1-n)P(x)z+(1-n)Q(x)\)

这就是一个关于z的一阶线性非齐次方程,代公式(这里以示区别,我们用\(P(x)^*\)\(Q(x)^*\)来代替)

\(z=e^{\int{P(x)^*dx}}\int{Q(x)^*e^{-\int{P(x)^*dx}}dx}+Ce^{\int{P(x)^*dx}}\)

\(=e^{\int{(1-n)P(x)dx}}\int{(1-n)Q(x)⋅e^{-\int{(1-n)P(x)dx}}dx}+Ce^{\int{(1-n)P(x)dx}}\)

则伯努利方程的通解就为

\(y^{1-n}=e^{\int{(1-n)P(x)dx}}\int{(1-n)Q(x)⋅e^{-\int{(1-n)P(x)dx}}dx}+Ce^{\int{(1-n)P(x)dx}}\)

示例1:\({dy\over dx}=-{1\over 3}y+{1\over 3}(1-2x)y^4\)

这是一个n=4的伯努利方程,直接代公式

\(y^{1-n}=e^{\int{(1-n)P(x)dx}}\int{(1-n)Q(x)⋅e^{-\int{(1-n)P(x)dx}}dx}+Ce^{\int{(1-n)P(x)dx}}\)

\(y^{-3}=e^{\int{-3*{(-{1\over 3})dx}}}\int{-3*{1\over 3}(1-2x)⋅e^{-\int{-3*{(-{1\over 3})dx}}}dx}+Ce^{\int{-3*(-{1\over 3})dx}}\)

\(y^{-3}=e^x\int{(2x-1)⋅e^{-x}dx}+Ce^x\)

\(y^{-3}=e^x\int{(2x⋅e^{-x}-e^{-x})dx}+Ce^x\)

\(y^{-3}=e^x(\int{2x⋅e^{-x}dx}-\int{e^{-x}dx})+Ce^x\)

\(y^{-3}=e^x(\int{2xd(-e^{-x})}+\int{e^{-x}d(-x)})+Ce^x\)

\(y^{-3}=e^x(-2xe^{-x}-2e^{-x}+e^{-x})+Ce^x\)

\(y^{-3}=e^x(-2x-1)e^{-x}+Ce^x\)

\({1\over y^3}=-2x-1+Ce^x\)

上式就是该方程的通解

这里说明一下\(e^{-x}dx=d(-e^{-x})\),因为\(d(-e^{-x})=-e^{-x}ln(-e)dx=e^{-x}dx\)

\(\int{2xd(-e^{-x})}=2\int{xd(-e^{-x})}\),根据分部积分公式\(\int{udv}=uv-\int{vdu}\),这里u=x,\(v=-e^{-x}\),代入得

\(2\int{xd(-e^{-x})}=2(-xe^{-x}-\int{-e^{-x}dx})=2(-xe^{-x}-\int{e^{-x}d(-x)})\)

\(=2(-xe^{-x}-e^{-x})=-2xe^{-x}-2e^{-x}\)

有关分部积分的内容可以参考高等数学整理(二) 中的分部积分

  • 全微分方程——积分因子法

我们来看一个变量可分离方程

\({dy\over dx}=-{y\over x}\)

分离变量

\({dy\over y}=-{dx\over x}\)

两端积分

\(\int{dy\over y}=-\int{dx\over x}\)

ln|y|=-ln|x|+lnC

ln|xy|=lnC

xy=C

这就是原方程的通解。我们将原方程变形,有

xdy+ydx=0

由微分的积公式我们知道

d(xy)=ydx+xdy

所以原方程变形后左端实际上就是d(xy),而右端的0实际上就是常数的微分,故而有

d(xy)=dC,进而可得

xy=C为原方程的通解。并且

xdy+ydx=0               引例1

称为全微分方程。

引例2,\(3x^2ydx+x^3dy=0\)

上式可化为

\(ydx^3+x^3dy=0\)

\(d(x^3y)=0\)

\(x^3y=C\)

即为原方程的通解。

通过引例1和2,我们可以看出形如

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0

如果存在一个二元函数U(x,y)满足dU(x,y)=Mdx+Ndy,此时该方程称为全微分方程,又叫恰当方程

这里我们要解决三个内容:

  1. 如何判断M(x,y)dx+N(x,y)dy=0是否是全微分方程。
  2. 如果是全微分方程,如何求出解U(x,y)=C。
  3. 如果不是全微分方程,我们需要寻找一种方法将该方程化为全微分方程μMdx+μNdy=0,该方法为积分因子法,μ就是积分因子。

在引例1中,我们可以知道M=y,N=x,则\({∂M\over ∂y}={∂N\over ∂x}=1\);在引例2中,\(M=3x^2y\),\(N=x^3\),则\({∂M\over ∂y}={∂N\over ∂x}=3x^2\)。在这两个引例中都满足\({∂M\over ∂y}={∂N\over ∂x}\)

我们可以这样说,如果M(x,y)dx+N(x,y)dy=0中满足

\({∂M\over ∂y}={∂N\over ∂x}\)

那么它就是一个全微分方程,并且存在二元函数U(x,y)使得dU(x,y)=Mdx+Ndy,那么

\(U_x'=M\)\(U_y'=N\)

这是U的一阶偏导数,在U的二阶偏导数中,一共有四个,抛开\(U_x''\)以及\(U_y''\),由二阶偏导数的性质,如果\(U_{xy}''\)\(U_{yx}''\)存在且连续,那么

\(U_{xy}''=U_{yx}''\)

它们是必等关系,此处可以参考高等数学整理 中的二阶偏导数。而这个关系实际上就是\({∂M\over ∂y}={∂N\over ∂x}\),这说明如果M(x,y)dx+N(x,y)dy=0是一个全微分方程,那么可以得到该关系。

如果从\({∂M\over ∂y}={∂N\over ∂x}\)出发,我们如何去证明M(x,y)dx+N(x,y)dy=0是一个全微分方程。要证明该命题,我们需要寻找到二元函数U(x,y)使得dU(x,y)=Mdx+Ndy,这是一个构造性的证明,该证明过程也是求解全微分方程通解的过程。

对于M(x,y)dx+N(x,y)dy=0,M和N为在某区域内连续函数,且有连续的一阶偏导数,则M(x,y)dx+N(x,y)dy=0为全微分方程成立。

\({∂M\over ∂y}={∂N\over ∂x}\)是M(x,y)dx+N(x,y)dy=0为全微分方程的充分必要条件。

这里的必要性我们已经确定了,现在我们需要证明它的充分性。

\({∂M\over ∂y}={∂N\over ∂x}\)可以确定

\(U_x'=M\)\(U_y'=N\)

\(U(x,y)=\int{M(x,y)dx}+φ(y)\)

这是一个偏积分,U(x,y)是原函数,这里我们将y看成常数,U对x的导数为\(U_x'=M\),故x的微分为Mdx(这里M和M(x,y)是一个意思),积分就为\(\int{Mdx}\),φ(y)就是常数C。上式对y求偏导,可化为

\(U_y'={∂{\int{Mdx}}\over ∂y}+φ'(y)=N\)

\(φ'(y)=N-{∂\int{Mdx}\over ∂y}\)

我们的目的是为了求出φ(y),而φ(y)的导数中即包含了x,又包含了y,我们必须要证明φ‘(y)只与y有关,与x无关,而与x无关只需要证明φ‘(y)对x的偏导为0即可(函数值不随x的变化而变化,即与x无关)。

\({∂N\over ∂x}-{∂\over ∂x}{∂\int{Mdx}\over dy}\)

由二阶偏导数的性质,上式可以转化为

\({∂N\over ∂x}-{∂\over ∂y}{∂\int{Mdx}\over dx}={∂N\over ∂x}-{∂M\over ∂y}=0\)

这就证明了φ‘(y)只与y有关,与x无关,则

\(φ(y)=\int{[N-{∂\int{Mdx}\over ∂y}]dy}\)

代入U(x,y),有

\(U(x,y)=\int{M(x,y)dx}+\int{[N-{∂\int{Mdx}\over ∂y}]dy}\)

这样我们就找到了二元函数U(x,y)满足\(U_x'=M\)\(U_y'=N\),其全微分为M(x,y)dx+N(x,y)dy=0。

所以U(x,y)=C即为原方程的通解,这也是求通解的公式,称为不定积分法

示例1:\((3x^2+6xy^2)dx+(6x^2y+4y^3)dy=0\)

由上式可知,\(M=3x^2+6xy^2\),\(N=6x^2y+4y^3\)

\({∂M\over ∂y}=12xy\),\({∂N\over ∂x}=12xy\),故而\({∂M\over ∂y}={∂N\over ∂x}\),该方程是一个全微分方程

原方程可化为

\(3x^2dx+4y^3dy+6xy^2dx+6x^2ydy=0\)

\(d(x^3)+d(y^4)+3y^2d(x^2)+x^2d(3y^2)=0\)

\(d(x^3)+d(y^4)+d(3x^2y^2)=0\)

两端积分

\(\int{d(x^3)+d(y^4)+d(3x^2y^2)}=\int0\)

\(\int{d(x^3)}+\int{d(y^4)}+\int{d(3x^2y^2)}=C\)

\(x^3+y^4+3x^2y^2=C\)

为原方程的通解。该方法称为凑微分法。如果我们凑微分凑不出来,可以直接套公式

\(U(x,y)=\int{M(x,y)dx}+\int{[N-{∂\int{Mdx}\over ∂y}]dy}\)

\(=\int{(3x^2+6xy^2)dx}+\int{[(6x^2y+4y^3)-{∂\int{(3x^2+6xy^2)dx}\over ∂y}]dy}\)

\(=x^3+3x^2y^2+\int{[(6x^2y+4y^3)-{∂(x^3+3x^2y^2)\over ∂y}]dy}\)

\(=x^3+3x^2y^2+\int{[(6x^2y+4y^3)-6x^2y]dy}\)

\(=x^3+3x^2y^2+\int{4y^3dy}\)

\(=x^3+3x^2y^2+y^4\)

\(x^3+3x^2y^2+y^4=C\)

为原方程的通解。

这里我们需要知道

\(U(x,y)=\int{M(x,y)dx}+\int{[N-{∂\int{Mdx}\over ∂y}]dy}\)

中,M和N是可以对调的,即为

\(U(x,y)=\int{N(x,y)dy}+\int{[M-{∂\int{Ndy}\over ∂x}]dx}\)

我们用该公式重新来计算一遍

\(=\int{(6x^2y+4y^3)dy}+\int{[(3x^2+6xy^2)-{∂\int{(6x^2y+4y^3)dy}\over ∂x}]dx}\)

\(=3x^2y^2+y^4+\int{[(3x^2+6xy^2)-{∂(3x^2y^2+y^4)\over ∂x}]dx}\)

\(=3x^2y^2+y^4+\int{[(3x^2+6xy^2)-6xy^2]dx}\)

\(=3x^2y^2+y^4+\int{3x^2dx}\)

\(=3x^2y^2+y^4+x^3\)

\(3x^2y^2+y^4+x^3=C\)

为原方程的通解。

除了不定积分法还有一个定积分法,在(x,y)中任取一点(\(x_0,y_0\)),U(x,y)的公式由不定积分转为定积分

\(U(x,y)=\int_{x_0}^x{M(x,y)dx}+\int_{y_0}^y{[N-{∂\int{Mdx}\over ∂y}]dy}\)

最终可化为

\(U(x,y)=\int_{x_0}^x{M(x,y)dx}+\int_{y_0}^y{N(x_0,y)dy}\)

该方法又称为线积分法

现在我们已经解决了第一个、第二个内容,来看看第三个内容。

ydx-xdy=0

这里M=y,N=-x

\(M_y'=1\)\(N_x'=-1\),则\(M_y'≠N_x'\),说明这不是一个全微分方程

原方程两端同时乘以\(1\over x^2\),有

\({ydx-xdy\over x^2}=0\)

两端乘以-1,有

\({xdy-ydx\over x^2}=0\)

由于

\(d({y\over x})=yd({1\over x})+{1\over x}dy=-{y\over x^2}dx+{1\over x}dy={xdy-ydx\over x^2}\)

故原方程的通解就为

\({y\over x}=C\)   隐式解

y=Cx      显式解

这里我们来看一下\({xdy-ydx\over x^2}=0\)的M和N,\(M=-{y\over x^2}\),\(N={1\over x}\)

\(M_y'=-{1\over x^2}\),\(N_x'=-{1\over x^2}\),有\(M_y'=N_x'\),则\({xdy-ydx\over x^2}=0\)为一个全微分方程。

这里我们将一个非全微分方程化成了一个全微分方程,其中\(1\over x^2\)称为积分因子

已知M(x,y)dx+N(x,y)dy=0为非全微分方程,如果存在着一个二元函数μ(x,y),能够使得μMdx+μNdy=0能够成为一个全微分方程,那么该二元函数μ(x,y)称为积分因子。这里需要注意的是该积分因子不是唯一的。如在上面的原微分方程中,我们也可以两端同时乘以\(1\over y^2\)\(1\over xy\)等等。

如两端同时乘以\(1\over y^2\),有

\({ydx-xdy\over y^2}=0\)

这里\({ydx-xdy\over y^2}=d({x\over y})\),则

\({x\over y}=C\)

为原方程的通解,即

x=Cy

该解与y=Cx其实是一个意思,因为C是任意常数。

现在我们来看看如何寻找这个积分因子μ,我们知道μMdx+μNdy=0是一个全微分方程,则有

\({∂(μM)\over ∂y}={∂(μN)\over ∂x}\)

\(M{∂μ\over ∂y}+μ{∂M\over ∂y}=N{∂μ\over ∂x}+μ{∂N\over ∂x}\)

这是一个偏微分方程,积分因子μ是比较难以求出来的,需要分情况来看。

情况1:μ只与x有关,即μ=μ(x),即\({∂μ\over ∂y}=0\),上式可化为

\(N{dμ\over dx}=μ({∂M\over ∂y}-{∂N\over ∂x})\)

分离变量

\({dμ\over μ}={{∂M\over ∂y}-{∂N\over ∂x}\over N}dx\)

两端积分

\(\int{dμ\over μ}=\int{{∂M\over ∂y}-{∂N\over ∂x}\over N}dx\)

\(ln|μ|=\int{{∂M\over ∂y}-{∂N\over ∂x}\over N}dx\)

\(μ=e^{\int{{∂M\over ∂y}-{∂N\over ∂x}\over N}dx}\)

情况2: μ只与y有关,即μ=μ(y),即\({∂μ\over ∂x}=0\),上式可化为

\(-M{dμ\over dy}=μ({∂M\over ∂y}-{∂N\over ∂x})\)

分离变量

\({dμ\over μ}={{∂M\over ∂y}-{∂N\over ∂x}\over -M}dy\)

两端积分

\(\int{dμ\over μ}=\int{{∂M\over ∂y}-{∂N\over ∂x}\over -M}dy\)

\(ln|μ|=\int{{∂M\over ∂y}-{∂N\over ∂x}\over -M}dy\)

\(μ=e^{\int{{∂M\over ∂y}-{∂N\over ∂x}\over -M}dy}\)

示例2:\((xy+y^2)dx+(xy+y+1)dy=0\)

该方程的\(M=xy+y^2\),\(N=xy+y+1\),则

\(M_y'=x+2y\),\(N_x'=y\)\(M_y'≠N_x'\),故这不是一个全微分方程

这里我们需要先求出积分因子才能将原方程转化为全微分方程,首先我们来看一下

\({{∂M\over ∂y}-{∂N\over ∂x}\over N}={(x+2y)-y\over xy+y+1}={x+y\over xy+y+1}\)

这里我们会发现它既与x有关,又与y有关,这样积分因子是难以求出来的。我们再来看一下

\({{∂M\over ∂y}-{∂N\over ∂x}\over -M}={x+y\over -(xy+y^2)}=-{1\over y}\)

它只与y有关,故直接代公式求积分因子

\(μ=e^{\int{{∂M\over ∂y}-{∂N\over ∂x}\over -M}dy}=e^{\int{-{1\over y}dy}}=e^{-lny}={1\over y}\)

这样我们就可以构建新的全微分方程,原方程两端同时乘以\(1\over y\)

\({1\over y}(xy+y^2)dx+{1\over y}(xy+y+1)dy=0\)

\((x+y)dx+(x+1+{1\over y})dy=0\)

这里新的M=x+y,\(N=x+1+{1\over y}\)

代入通解公式

\(U(x,y)=\int{M(x,y)dx}+\int{[N-{∂\int{Mdx}\over ∂y}]dy}\)

\(=\int{(x+y)dx}+\int{[(x+1+{1\over y})-{∂\int{(x+y)dx}\over ∂y}]dy}\)

\(={x^2\over 2}+xy+\int{[(x+1+{1\over y})-{∂({x^2\over 2}+xy)\over ∂y}]dy}\)

\(={x^2\over 2}+xy+\int{[(x+1+{1\over y})-x]dy}\)

\(={x^2\over 2}+xy+\int{(1+{1\over y})dy}\)

\(={x^2\over 2}+xy+y+ln|y|\)

\({x^2\over 2}+xy+y+ln|y|=C\)

为原方程的通解。

示例3:一阶线性非齐次方程y'=P(x)y+Q(x)

上式可化为

[P(x)y+Q(x)]dx-dy=0   (1)

在该方程中,M=P(x)y+Q(x),N=-1,则

\(M_y'=P(x)\),\(N_x'=0\),故\(M_y'≠N_x'\),这不是一个全微分方程

由于\(M_y'-N_x'=P(x)\)只与x有关,直接代公式求积分因子

\(μ=e^{\int{{∂M\over ∂y}-{∂N\over ∂x}\over N}dx}=e^{\int{{P(x)\over -1}dx}}=e^{-\int{P(x)dx}}\)

(1)式两端同时乘以μ,有

\(e^{-\int{P(x)dx}}[P(x)y+Q(x)]dx-e^{-\int{P(x)dx}}dy=0\)

\(e^{-\int{P(x)dx}}P(x)ydx-e^{-\int{P(x)dx}}dy+e^{-\int{P(x)dx}}Q(x)dx=0\)

\(yd(-e^{-\int{P(x)dx}})+(-e^{-\int{P(x)dx}})dy+e^{-\int{P(x)dx}}Q(x)dx=0\)

\(d(-e^{-\int{P(x)dx}}y)+Q(x)e^{-\int{P(x)dx}}dx=0\)

两端积分

\(\int{d(-e^{-\int{P(x)dx}}y)+Q(x)e^{-\int{P(x)dx}}dx}=\int0\)

\(-e^{-\int{P(x)dx}}y+\int{Q(x)e^{-\int{P(x)dx}}dx}=C\)

即为原方程的通解。这里需要说明一下

\(d(-e^{-\int{P(x)dx}})\)中,令\(u=-\int{P(x)dx}\),则

\(d(-e^u)=-e^u⋅u'dx\)

这是一个复合函数的链式法则,故

\(d(-e^u)=-e^u⋅u'dx=-e^{-\int{P(x)dx}}(-\int{P(x)dx})'dx=e^{-\int{P(x)dx}}P(x)dx\)

  • 参数法

对于一个给定的一阶微分方程F(x,y,y')=0,如果能从中解出\(y'={dy\over dx}=f(x,y)\)的话,该形式就是我们前面介绍过的一阶显示微分方程的解法,有分离变量法和积分因子法。但是如果不能从F(x,y,y')=0中解出y'=f(x,y)的话,形如这样的方程我们称为一阶隐方程

对于一阶隐方程,我们采用参数法来解。

我们要寻找到一个参数t的函数,使得

x=φ(t),y=ψ(t)

φ(t)和ψ(t)是定义在某个区间上的连续函数。

将其回代到一阶隐方程中,如果满足

\(F(φ(t),ψ(t),{ψ'(t)\over φ'(t)})=0\)

的话,x=φ(t),y=ψ(t)是定义在某个区间上的方程的参数形式的解。该方法我们称为参数法

情形1:虽然F(x,y,y')=0无法解出y'=f(x,y),但是可以解出y或者x的形式。

如y=f(x,y'),令y'=p,两端求导

\(p={dy\over dx}=f_x'+f_p'⋅{dp\over dx}\)

这就化成了一个关于新的未知变量p的一阶显式微分方程,这样我们就可以使用前面的分离变量法或者积分因子法去求方程的解。假设我们此时解出

  1. x=φ(p)
  2. y=ψ(p)+C

这样就得到了方程的参数形式的解。

示例1:\(y=y'^2-xy'+{x^2\over 2}\)

从上式中,我们可以看出它满足了y=f(x,y')的形式,设y'=p,上式可化为

\(y=p^2-xp+{x^2\over 2}\)      (1)

两端同时对x求导

\(p=2p{dp\over dx}-p-x{dp\over dx}+x\)

\(2p-x=(2p-x){dp\over dx}\)

\((2p-x)({dp\over dx}-1)=0\)

故而可得

  1. 2p=x
  2. \({dp\over dx}=1\),即dp=dx,p=x+C

将x=2p回代回1式可得

\(y={x^2\over 4}\)

这是方程的一个解。

将p=x+C回代回1式可得

\(y={x^2\over 2}+Cx+C^2\)

这是方程的另一个解,这两个都是解的一般形式。

  1. x=p+C
  2. \(y=p^2-(p+C)x+{(p+C)^2\over 2}\)

为解的参数形式。

情形2:F(x,y,y')=0不显含x(或y),以x为例,有

F(x,y')=0,令y'=p

F(x,p)=0,它所描绘的是xOp面上的一条曲线,曲线可以用参数方程来表示,引入参数t

x=φ(t),p=ψ(t)

由于

\({dy\over dx}=p\)

故而

dy=pdx=ψ(t)φ(t)dt

两端积分

\(y=\int{ψ(t)φ(t)dt}+C\)

故方程F(x,y')=0的参数解为

  1. \(y=\int{ψ(t)φ(t)dt}+C\)
  2. x=φ(t)

示例2:\(x^2+y'^2=1\)

解法1,我们先使用变量分离法来求解

\(y'=(+/-)\sqrt{1-x^2}\)

\(dy=(+/-)\sqrt{1-x^2}dx\)

两端积分

\(y=(+/-)\int{\sqrt{1-x^2}dx}\)

令x=sint,\(t∈(-{π\over 2},{π\over 2})\),有

\(y=(+/-)\int{cost⋅costdt}\)

由于

\(cos2x=2cos^2x-1\)

\(cos^2x={cos2x+1\over 2}\)

上式可化为

\(y=(+/-)\int{{1\over 2}(1+cos2t)dt}\)

\(y=(+/-){1\over 2}(t+\int{{1\over 2}cos2td(2t)})+C\)

\(y=(+/-){1\over 2}(t+{1\over 2}sin2t)+C\)

\(y=(+/-){1\over 2}(sintcost+t)+C\)

\(y=(+/-){1\over 2}(x\sqrt{1-x^2}+arcsinx)+C\)

为原方程的通解。

解法2:设x=cost,y'=sint,则

\({dy\over dx}=sint\)

dy=sintdx

\(dy=sintd(cost)=sint(-sintdt)=-sin^2tdt\)

两端积分

\(y=-\int{sin^2tdt}\)

\(y=-\int{(1-cos^2t)dt}\)

\(y=-\int{(1-{1\over 2}(cos2t+1))dt}\)

\(y=-{1\over 2}\int{(1-cos2t)dt}\)

\(y=-{1\over 2}(t-\int{{1\over 2}cos2td(2t)})+C\)

\(y=-{1\over 2}(t-{1\over 2}sin2t)+C\)

故原方程的参数解为

  1. \(y=-{1\over 2}(t-{1\over 2}sin2t)+C\)
  2. x=cost

实例应用

示例1:某商品的需求量Q对价格P的弹性为-Pln3,若该商品的最大需求量为1200kg,求

  1. Q与P的关系;
  2. 当P=1时,市场对价格的需求量;
  3. 当P->+∞时,需求量的变化趋势。

这里我们需要补充一个需求价格的关系:

\(\lim_{Δp->0}{{ΔQ\over Q}\over {ΔP\over P}}={dQ\over dP}⋅{P\over Q}\)

1、这里ΔQ表示需求量的绝对变化量,\(ΔQ\over Q\)表示需求量的相对变化量,ΔP表示价格的绝对变化量,\(ΔP\over P\)表示价格的相对变化量,\({ΔQ\over Q}\over {ΔP\over P}\)表示价格每变化1%相应的需求的变化量,整个式子表示需求价格弹性函数式。根据已知,可以建立方程

\({dQ\over dP}⋅{P\over Q}=-Pln3\)

分离变量

\({dQ\over Q}=-ln3dP\)

两端积分

\(\int{dQ\over Q}=\int{-ln3dP}\)

lnQ=-Pln3+lnC

\(Q={C\over 3^P}\)

2、由已知商品的最大需求量为1200kg,即为价格为0时,需求量为1200

\(1200={C\over 3^0}\)

C=1200

则有

\(Q={1200\over 3^P}\)

当P=1时,可得

\(Q={1200\over 3^1}=400\)kg

3、\(\lim_{P->+∞}{1200\over 3^P}=0\)

P->+∞,Q->0

示例2:某商品的需求函数与供给函数分别为

\(Q_d=a-bp\)\(Q_s=-c+dp\)   (a,b,c,d>0)

假设p是t的函数,已知初始价格为\(p_0\),且在任一时刻t,p(t)的变化率与这一时刻的超额需求\(Q_d-Q_s\)成正比。(比例常数k>0)

  1. 均衡价格\(p_e\)
  2. p(t)的表达式
  3. 分析p(t)随时间的变化情况。

1、当需求价格与供给价格达到相等的时候达到供需平衡,则有

a-bp=-c+dp

\(p_e={a+c\over b+d}\)

2、根据题意可得

\({dp\over dt}=k(Q_d-Q_s)=k(a-bp+c-dp)=-k(b+d)p+k(a+c)\)

这是一个一阶线性非齐次方程,其中P(t)=-k(b+d),Q(t)=k(a+c),代入公式

\(p=e^{\int{-k(b+d)dt}}\int{k(a+c)e^{-\int{-k(b+d)dt}}dt}+Ce^{\int{-k(b+d)dt}}\)

\(=e^{-k(b+d)t}\int{k(a+c)e^{k(b+d)t}dt}+Ce^{-k(b+d)t}\)

\(=e^{-k(b+d)t}\int{{a+c\over b+d}e^{k(b+d)t}d(k(b+d)t)}+Ce^{-k(b+d)t}\)

\(=e^{-k(b+d)t}({a+c\over b+d})e^{k(b+d)t}+Ce^{-k(b+d)t}\)

\(=p_e+Ce^{-k(b+d)t}\)

我们已知\(p(0)=p_0\),则有

\(p_0=p_e+C\)

\(C=p_0-p_e\)

故p(t)的最终表达式为

\(p(t)=p_e+(p_0-p_e)e^{-k(b+d)t}\)

3、\(\lim_{t->+∞}{p(t)}=\lim_{t->+∞}{p_e+(p_0-p_e)e^{-k(b+d)t}}=p_e\)

故有

t->+∞,\(p(t)->p_e\)

一阶微分方程解的存在定理

引例:

  1. \({dy\over dx}=2\sqrt{y}\)
  2. y(0)=0

将1式分离变量

\({dy\over 2\sqrt{y}}=dx\)

两端积分

\(\int{dy\over 2\sqrt{y}}=\int{dx}\)

\(\sqrt{y}+C=x\)

\(\sqrt{y}=x-C\)

\(y=(x-C)^2\)

在实属范围内,\(\sqrt{y}\)要求y≥0,又x-C≥0;又由1式y'≥0,即可以斜率为正,也可以是一条水平横线。所以整个引例的解就为

  1. \(y=(x-C)^2\)     x>C
  2. y=0    x≤C

其中2的解是不包含在1中的。

  • 一阶微分方程解的存在唯一性及逐步逼近法
  1. \({dy\over dx}=f(x,y)\)
  2. \(y(x_0)=y_0\)

这样一个初值问题(柯西问题),如果f(x,y)连续,能够保证解的存在性

定理1:f(x,y)连续,且满足R:\(|x-x_0|≤a\)\(|y-y_0|≤b\)(矩形框内),关于y满足利普希兹条件\(|f(x,y_1)-f(x,y_2)|≤L|y_2-y_1|\)

则方程(1和2)的解在\(|x-x_0|≤h\)(\(h≤x_0\))上存在唯一\(h=min\{a,{b\over M}\}\)\(M=\max_{x,y∈R}|f(x,y)|\),L称为利普希兹常数

证明:在大部分情况下\({dy\over dx}=f(x,y)\)使用我们之前的方法(分离变量法或者积分因子法)是解不出来的,例如

  1. \({dy\over dx}=x^2-y^2\)
  2. y(0)=0

我们只能寻求方程的近似解,需要去构造一系列的解,一步一步的去逼近方程的真实解y=φ(x)。根据泰勒公式,我们知道,一个曲线函数可以由其各阶导去逐步逼近,最后取极限就是该函数。

命题1:

  1. \({dy\over dx}=f(x,y)\)
  2. \(y(x_0)=y_0\)

这样的微分方程可以等价于积分方程

\(y=y_0+\int_{x_0}^x{f(x,y)dx}\)

假设y=φ(x)是1式的解,则有

d(φ(x))=f(x,φ(x))dx

两端从\(x_0\)到x求定积分

\(\int_{x_0}^x{d(φ(x))}=\int_{x_0}^x{f(x,φ(x))dx}\)

\(φ(x)-φ(x_0)=\int_{x_0}^x{f(x,φ(x))dx}\)

这里\(φ(x_0)=y(x_0)=y_0\),故上式最终可得

\(y=y_0+\int_{x_0}^x{f(x,y)dx}\)

故微分方程可以等价于积分方程。这个命题的目的是为了从积分方程出发去构造一系列的近似解。

这里我们以

  1. y'=y
  2. y(0)=1

来说明,首先

\(φ_0=y_0=1\)

根据命题1,将\(φ_0\)代入\(φ_1\)

\(φ_1=φ_0+\int_0^x{φ_0dx}=1+\int_0^x{1dx}=1+x\)

\(φ_1\)代入\(φ_2\)

\(φ_2=φ_0+\int_0^x{φ_1dx}=1+\int_0^x{(1+x)dx}=1+x+{x^2\over 2!}\)

\(φ_2\)代入\(φ_3\)

\(φ_3=φ_0+\int_0^x{φ_2dx}=1+\int_0^x{(1+x+{x^2\over 2!})dx}=1+x+{x^2\over 2!}+{x^3\over 3!}\)

以此往复,直到\(φ_n\)的表达式不再变化为止,但无论如何\(φ_n\)\(φ_{n-1}\)都不会相等,那我们就必须求φ的极限,看极限是否存在。

命题2:

由命题1,我们逐步推导出了\(φ_n\),这里依然是

\(φ_0(x)=y_0\)

对于积分上限的x,为了以示区别,我们对于自变量的x用ξ来代替,就有

\(φ_n(x)=y_0+\int_{x_0}^x{f(ξ,φ_{n-1}(ξ))dξ}\),n=1,2,3,...,n,...

这样就构造了一个函数的序列。

这些\(φ_n(x)\)\([x_0,x_0+h]\)上有定义,连续且满足不等式

\(|φ_n(x)-y_0|≤b\)

现在我们使用数学归纳法来证明,当n=0的时候\(φ_0(x)=y_0\),上式必然成立,我们来看当n=1的时候

\(|​φ_1(x)-y_0|=|\int_{x_0}^xf(ξ,φ_0(ξ))dξ|\)

由于\(M=\max_{x,y∈R}|f(x,y)|\),且积分的绝对值小于等于函数绝对值的变上限积分,故

\(|\int_{x_0}^xf(ξ,φ_0(ξ))dξ|≤\int_{x_0}^x{|f(ξ,φ_0(ξ))|dξ}≤\int_{x_0}^xMdξ≤M|x-x_0|\)

又由\(|x-x_0|≤h\)\(h=min\{a,{b\over M}\}\),最终可得

\(|​φ_1(x)-y_0|=|\int_{x_0}^xf(ξ,φ_0(ξ))dξ|≤M|x-x_0|≤b\)

故n=1时,命题2成立

假设n=k-1的时候,不等式成立,当n=k的时候,就有

\(|​φ_k(x)-y_0|=|\int_{x_0}^xf(ξ,φ_k(ξ))dξ|≤M|x-x_0|≤b\)

这样就证明了命题2是成立的。

这里补充积分的绝对值小于等于函数绝对值的变上限积分的证明

函数f(x)一定满足以下条件

-|f(x)|≤f(x)≤|f(x)|

同时积分

\(-\int{|f(x)|dx}≤\int{f(x)dx}≤\int{|f(x)|dx}\)

前面两项可以合并为\(|\int{f(x)dx}|\),故

\(|\int{f(x)dx}|​≤\int{|f(x)|dx}\)

命题3:

函数序列{\(φ_n(x)\)}在\([x_0,x_0+h]\)上一致收敛到连续函数φ(x)。

直接证明函数列{\(φ_n(x)\)}在这个区间上收敛并不好证,我们可以构造一个新的函数列并相加

\(φ_0+(φ_1-φ_0)+(φ_2-φ_1)+...+(φ_n-φ_{n-1})+...=φ_n(x)\)

这是一个函数项级数,将函数列的一致收敛性转化成了级数的一致收敛性。级数有收敛的,有发散的,而该级数也就是\(φ_n(x)\)。有关级数的内容可以参考级数整理 。使用维尔斯特拉斯定理,我们只需要证明该级数的通项小于等于一个正项级数的通项(有界),那么该级数就是一致收敛。(有关维尔斯特拉斯定理可以参考级数整理 中的波尔查诺 - 维尔斯特拉斯定理)

我们先来证明有界性,并找出该级数的通项

第一项\(φ_0=y_0\),由命题2,我们知道\(|φ_0-y_0|≤b\)

由命题1,第二项(这里重定义自变量为ξ)

\(|φ_1-φ_0|=|\int_{x_0}^x{f(ξ,φ_0(ξ))dξ}|\)

由利普希兹条件,有

\(|φ_1-φ_0|=|\int_{x_0}^x{f(ξ,φ_0(ξ))dξ}|≤M(x-x_0)\)

第三项

\(|φ_2-φ_1|=|\int_{x_0}^x({f(ξ,φ_1(ξ))-f(ξ,φ_0(ξ)))dξ}|≤\int_{x_0}^x|f(ξ,φ_1(ξ))-f(ξ,φ_0(ξ))|dξ\)

根据利普希兹条件\(|f(x,y_1)-f(x,y_2)|≤L|y_2-y_1|\),有

\(≤\int_{x_0}^xL|φ_1(ξ)-φ_0(ξ)|dξ\)

由第二项\(|φ_1-φ_0|≤M(x-x_0)\),有

\(≤\int_{x_0}^xLM(ξ-x_0)dξ=\int_{x_0}^xLM(ξ-x_0)d(ξ-x_0)=ML{(x-x_0)^2\over 2!}\)

第四项

\(|φ_3-φ_2|=|\int_{x_0}^x({f(ξ,φ_2(ξ))-f(ξ,φ_1(ξ)))dξ}|≤\int_{x_0}^x|f(ξ,φ_2(ξ))-f(ξ,φ_1(ξ))|dξ\)

\(≤\int_{x_0}^xL|φ_2(ξ)-φ_1(ξ)|dξ\)

由第三项\(|φ_2-φ_1|≤ML{(x-x_0)^2\over 2!}\),有

\(≤\int_{x_0}^xML^2{(ξ-x_0)^2\over 2!}dξ=\int_{x_0}^xML^2{(ξ-x_0)^2\over 2!}d(ξ-x_0)=ML^2{(x-x_0)^3\over 3!}\)

由此可得

\(|φ_n-φ_{n-1}|≤ML^{n-1}{(x-x_0)^n\over n!}\)

由于\(x-x_0<h\)

如此,我们构建了一个正项级数

\(\sum_{n=1}^∞{M\over L}⋅{h^nL^n\over n!}={M\over L}\sum_{n=1}^∞{(hL)^n\over n!}\)

这里使用比值判别法

\(u_n={(hL)^n\over n!}\),则

\({u_{n+1}\over u_n}={(hL)^{n+1}\over (n+1)!}⋅{n!\over (hL)^n}={hL\over n}\)

\(\lim_{n->∞}{hL\over n}=0<1\)

故原级数\(\sum_{n=1}^∞{M\over L}⋅{h^nL^n\over n!}\)是收敛的,故命题3得证。

命题4:

\(\lim_{n->∞}φ_n(x)=>φ(x)\)

定义于区间\([x_0,x_0+h]\)上的连续解。

其中=>表示一致收敛。

证明:根据利普希兹条件\(|f(x,y_1)-f(x,y_2)|≤L|y_2-y_1|\),有

\(|f(x,φ_n(x))-f(x,φ(x))|≤L|φ_n(x)-φ(x)|\)

由命题3,\(\lim_{n->∞}φ_n(x)=>φ(x)\),有

\(\lim_{n->∞}f(x,φ_n(x))=>f(x,φ(x))\)

由命题1,\(φ_n(x)=y_0+\int_{x_0}^x{f(ξ,φ_{n-1}(ξ))dξ}\),两端取极限

\(\lim_{n->∞}φ_n(x)=\lim_{n->∞}[y_0+\int_{x_0}^x{f(ξ,φ_{n-1}(ξ))dξ}]\)

\(φ(x)=y_0+\int_{x_0}^x{\lim_{n->∞}f(ξ,φ_{n-1}(ξ))dξ}\)       (积分的极限等于极限的积分)

由于是一致性收敛,则

\(\lim_{n->∞}f(x,φ_{n-1}(x))=>f(x,φ(x))\)

\(φ(x)=y_0+\int_{x_0}^x{f(x,φ(x))dx}\)

故φ(x)是\(y=y_0+\int_{x_0}^x{f(x,y)dx}\)积分方程的解,即也就是

  1. \({dy\over dx}=f(x,y)\)
  2. \(y(x_0)=y_0\)

微分方程的解。

命题5:解的唯一性,如果还存在一个解ψ(x),那么ψ(x)φ(x)

如果ψ(x)是方程的一个解,那么根据命题1,有

\(ψ(x)=y_0+\int_{x_0}^xf(ξ,ψ(ξ))dξ\)

那么

\(|φ_0-ψ(x)|≤\int_{x_0}^x|f(ξ,ψ(ξ))|dξ≤M(x-x_0)\)

\(|φ_1-ψ(x)|≤\int_{x_0}^x|f(ξ,​φ_0(ξ))-f(ξ,ψ(ξ))|dξ≤{ML\over 2!}(x-x_0)^2\)

现设

\(|φ_{n-1}-ψ(x)|≤{ML^{n-1}\over n!}(x-x_0)^n\)

\(|φ_n-ψ(x)|≤\int_{x_0}^x|f(ξ,​φ_n(ξ))-f(ξ,ψ(ξ))|dξ≤{ML^n\over (n+1)!}(x-x_0)^{n+1}≤{ML^n\over (n+1)!}h^{n+1}={M\over L}⋅{(Lh)^{n+1}\over (n+1)!}\)

这里补充一个

\(\lim_{n->∞}{x^n\over n!}=0\)

由斯特林公式

\(n!≈({n\over e})^n\sqrt{2πn}\)

\(\lim_{n->∞}{x^n\over n!}≈\lim_{n->∞}{x^n\over ({n\over e})^n\sqrt{2πn}}=\lim_{n->∞}{({ex\over n})^n\over \sqrt{2πn}}\)

因为

\(\lim_{n->∞}{ex\over n}=0\)

\(\lim_{n->∞}{1\over \sqrt{2πn}}=0\)

\(\lim_{n->∞}{x^n\over n!}=0\)

\(\lim_{n->∞}{M\over L}⋅{(Lh)^{n+1}\over (n+1)!}=0\)

函数序列也一致收敛于ψ(x),由收敛的唯一性可知ψ(x)=φ(x),得证。

助记:

一、

f(x,y)在上图中的有界闭域R(\(|x-x_0|≤a\),\(|y-y_0|≤b\))上是连续的,M与-M两条直线的交点为初始点\((x_0,y_0)\)\(M=\max_{x,y∈R}|f(x,y)|\),M是f(x,y)在这个有界闭域上的最大值,表示切线斜率的最大值,即函数f(x,y)的曲线斜率介于-M和M之间,说明解在\(x_0\)的左侧位于M的上方,在\(x_0\)的右侧位于M的下方,即上图中中间曲线的位置,它们都不能超出\(y_0-b\)\(y_0+b\)之间。我们用逐步逼近法构造的所有的近似解\(φ_0,φ_1,φ_2,...,φ_n,...\)的斜率都介于-M和M之间。如果M的最大值比较小,比如为\(b\over a\),那么x的存在区间可以到达a,但是如果M的最大值比较大,那么x的存在区间到不了a,只能为\(b\over M\)(在上图中即为\(x_0\)到M的最大点的横坐标的距离),所以有 \(|x-x_0|≤h\)\(h=min\{a,{b\over M}\}\),即M越大,h越小,M的最小值为\(b\over a\),此时h=a。

二、

f(x,y)在有界闭域R上连续,只能保证解的存在性,但无法保证解的唯一性。在证唯一性的时候,我们需要用到利普希兹条件。验证利普希兹条件比较繁琐,此时我们使用拉格朗日中值定理(可以参考高等数学整理 中的拉格朗日中值定理),有

\(|f(x,y_1)-f(x,y_2)|=|f_y'(x,y_1+θ(y_2-y_1))|⋅|y_1-y_2|\)          (0<θ<1)

如果f(x,y)关于y的偏导数存在且连续,那么在这样一个有界闭域上,一个连续函数(指该偏导函数)一定有最大值。我们令该最大值为L,即

\(\max{f_y'(x,y_1+θ(y_2-y_1))}=L\)

则有

\(|f(x,y_1)-f(x,y_2)|≤L|y_1-y_2|\)

所以我们在f(x,y)关于y满足利普希兹条件的时候经常用通过验证f(x,y)对y的偏导是否存在并且连续去验证,如

\(f(x,y)=x^2+y^2\)         |x|≤1,|y|≤1

\(f_y'(x,y)=2y\)

2y在|y|≤1是有界的,为|2y|≤2,2为界

这里需要注意的是,对y的偏导存在且连续与利普希兹条件并不等价,前者要强,后者要弱。比如|y|在y=0的时候是不可导的,但是利普希兹条件是可以的。故满足对y的偏导存在且连续一定满足利普希兹条件,但是满足利普希兹条件不一定满足对y的偏导存在且连续

三、

对于一阶线性非齐次方程

y'=P(x)y+Q(x)

P(x)、Q(x)是定义区间I上的连续函数。

右端函数P(x)y+Q(x)对y的偏导数为P(x),它在任何区间上都是有界的,与y无关,如果定义了x的闭域\(|x-x_0|≤a\),那么一定有h=a,解的存在区间即为x的取值范围。如果x的定义域为-∞到+∞,那么解的存在区间也为-∞到+∞。

  • 一阶隐方程F(x,y,y')=0的解的存在与唯一性

定理2:

  1. 对于一阶隐方程F(x,y,y')=0,给定一个初始值\((x_0,y_0,y_0')\),代入隐方程有\(F(x_0,y_0,y_0')=0\)
  2. F(x,y,y')=0是(x,y,y')的连续函数,\(F_x'\)存在且连续,\(F_y'\)存在且连续,\(F_{y'}'\)存在且连续;
  3. \(F_{y_0‘}'(x_0,y_0,y_0')≠0\),可以说明y'是x,y的函数。(同理,如果\(F_{x_0}'(x_0,y_0,y_0')≠0\),则x是y,y'的函数,该函数不能显式的解出,只能隐含在F(x,y,y')=0中。此处可以参考高等数学整理(二) 中的隐函数求导公式)

此时也能够得到唯一的解y=φ(x),\(|x-x_0|≤h\)满足\(y(x_0)=y_0\),    \(y'(x_0)=y_0'\),这就是隐方程解的存在唯一性定理。

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