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2. 红黑树

火拳-艾斯
 火拳-艾斯
发布于 01/17 18:24
字数 4938
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定义:红黑树(Red-Black Tree,简称R-B Tree),它一种特殊的二叉查找树(Binary Search Tree)。

要理解红黑树,先要了解什么是二叉查找树。在上一章中,我们学习了什么是二叉树,以及二叉树的遍历,以上一章的知识作为基础,现在学校什么是二叉查找树。二叉查找树是一棵满足以下特征的二叉树:

  1. 左子树上的所有节点的值均小于或等于它的根节点的值
  2. 右子树上的所有节点的值均大于或等于它的根节点的值
  3. 左、右子树也分别为二叉排序树

    以下二叉树就是一棵标准的二叉树:

一棵典型的二叉查找树

二叉查找树的查询效率如何呢?还是以上面这棵树为例,现在我们查找值为8的节点,

1. 根节点9 >8,所以比较左孩子节点,

2.由于5<8,所以查看右孩子节点,

3.由于7<8,所有查看右孩子节点

4.此时发现8=8 ,查找成功。

以上查找方法,正是二分查找思想。查找所需的最大次数,正好是树的高度。二叉查找树这种数据结构,在查找上是有它的优势的,可是它也并不是完美的,哪里不完美呢?现在,如果对一棵二叉查找树,插入数据(或节点),二叉查找树该怎么做呢?

假设初始的二叉查找树只有三个节点,根节点值为9,左孩子值为8,右孩子值为12:

接下来我们依次插入如下五个节点:7,6,5,4,3。依照二叉查找树的特性,结果会变成什么样呢?

通过观察发现,本来效率很高二分查找,再添加节点后,查找时间复杂度几乎变成了线性。那么如何解决二查找树多次插入新节点而导致的不平衡呢?这时候,红黑树就应运而生了。

红黑树(Red-Black Tree)是一种自平衡的二叉查找树,它除了符合二叉查找树的所有特性外,还要符合以下附加特性:

  1. 节点是红色或黑色
  2. 根节点是黑色
  3. 每个叶子节点都是黑色的空姐点(NIL节点)
  4. 每个红色节点的两个子节点都是黑色。( 从每个叶子到根的所有路径上不能有两个连续的红色节点
  5. 从任一节点到其每个叶子节点的所有路径都包含相同数目的黑色节点。

下图中这棵树,就是一颗典型的红黑树:

红黑树从根节点到叶子节点,最长路径不会超过最短路径的2倍。当有节点插入或删除的时候,当前红黑树的规则就会被打破了,此时需要把节点做出调整,以维持红黑树的规则。

什么情况下会破坏红黑树的规则,什么情况下不会破坏规则呢?我们举两个简单的栗子:

1.向原红黑树插入值为14的新节点:

由于父节点15是黑色节点,因此这种情况并不会破坏红黑树的规则,无需做任何调整。

2. 向原红黑树中增加值为21的新节点:

此时,可以观察到这棵树不再符合红黑树的规则,需要做出调整,怎么调整呢?有两种方法,“变色”和“旋转”,而旋转又分成两种“左旋转”和“右旋转”。

变色为了重新符合红黑树的规则,尝试把红色节点变为黑色,或者把黑色节点变为红色。

     下图所表示的是红黑树的一部分,需要注意节点25并非根节点。因为节点21和节点22连续出现了红色,不符合规则4,所以把节点22从红色变成黑色:

但这样并不算完,因为凭空多出的黑色节点打破了规则5,所以发生连锁反应,需要继续把节点25从黑色变成红色:

此时仍然没有结束,因为节点25和节点27又形成了两个连续的红色节点,需要继续把节点27从红色变成黑色:

左旋转: 逆时针旋转红黑树的两个节点,使得父节点被自己的右孩子取代,而自己成为自己的左孩子。说起来很怪异,大家看下图:

图中,身为右孩子的Y取代了X的位置,而X变成了自己的左孩子。此为左旋转。

右旋转:

顺时针旋转红黑树的两个节点,使得父节点被自己的左孩子取代,而自己成为自己的右孩子。大家看下图:

图中,身为左孩子的Y取代了X的位置,而X变成了自己的右孩子。此为右旋转。

我们以刚才插入节点21的情况为例:

首先,我们需要做的是变色,把节点25及其下方的节点变色:

此时节点17和节点25是连续的两个红色节点,那么把节点17变成黑色节点?恐怕不合适。这样一来不但打破了规则4,而且根据规则2(根节点是黑色),也不可能把节点13变成红色节点。

 

变色已无法解决问题,我们把节点13看做X,把节点17看做Y,像刚才的示意图那样进行左旋转

由于根节点必须是黑色节点,所以需要变色,变色结果如下:

这样就结束了吗?并没有。因为其中两条路径(17 -> 8 -> 6 -> NIL)的黑色节点个数是4,其他路径的黑色节点个数是3,不符合规则5。

这时候我们需要把节点13看做X,节点8看做Y,像刚才的示意图那样进行右旋转

 

最后根据规则来进行变色

如此一来,我们的红黑树变得重新符合规则。这一个例子的调整过程比较复杂,经历了如下步骤:

变色 -> 左旋转 -> 变色 -> 右旋转 -> 变色

可以看出,红黑树在有新节点加入时,操作还是很复杂的。那有哪些应用场景呢?

JDK的集合类TreeMap和TreeSet第层就是红黑树实现的。在JDK1.8中,HashMap也用到了红黑树。

红黑树的JAVA代码实现

1.基本定义

/**
 * 红黑树
 *
 * @param <T>
 */
public class RBTree<T extends Comparable<T>> {
	/**
	 * 根节点
	 */
	private              RBTNode<T> root;
	private static final boolean    RED   = false;
	private static final boolean    BLACK = true;

	/**
	 * 节点对象
	 *
	 * @param <T>
	 */
	public class RBTNode<T extends Comparable<T>> {
		/**
		 * 颜色
		 */
		boolean    color;
		/**
		 * 关键字(键值)
		 */
		T          key;
		/**
		 * 左孩子
		 */
		RBTNode<T> left;
		/**
		 * 右孩子
		 */
		RBTNode<T> right;
		/**
		 * 父结点
		 */
		RBTNode<T> parent;

		public RBTNode(T key, boolean color, RBTNode<T> parent, RBTNode<T> left, RBTNode<T> right) {
			this.key = key;
			this.color = color;
			this.parent = parent;
			this.left = left;
			this.right = right;
		}

	}
}

2.左旋

private void leftRotate(RBTNode<T> x) {
		// 设置x的右孩子为y
		RBTNode<T> y = x.right;

		// 将 “y的左孩子” 设为 “x的右孩子”;
		// 如果y的左孩子非空,将 “x” 设为 “y的左孩子的父亲”
		x.right = y.left;
		if (y.left != null)
			y.left.parent = x;

		// 将 “x的父亲” 设为 “y的父亲”
		y.parent = x.parent;

		if (x.parent == null) {
			/**
			 * 如果 “x的父亲” 是空节点,则将y设为根节点
			 */
			this.root = y;
		} else {
			if (x.parent.left == x){
				// 如果 x是它父节点的左孩子,则将y设为“x的父节点的左孩子”
				x.parent.left = y;
			}
			else{
				// 如果 x是它父节点的左孩子,则将y设为“x的父节点的左孩子”
				x.parent.right = y;
			}
		}
		// 将 “x” 设为 “y的左孩子”
		y.left = x;
		// 将 “x的父节点” 设为 “y”
		x.parent = y;
	}

3.右旋

/* 
 * 对红黑树的节点(y)进行右旋转
 *
 * 右旋示意图(对节点y进行左旋):
 *            py                               py
 *           /                                /
 *          y                                x                  
 *         /  \      --(右旋)-.            /  \                     #
 *        x   ry                           lx   y  
 *       / \                                   / \                   #
 *      lx  rx                                rx  ry
 * 
 */
private void rightRotate(RBTNode<T> y) {
    // 设置x是当前节点的左孩子。
    RBTNode<T> x = y.left;

    // 将 “x的右孩子” 设为 “y的左孩子”;
    // 如果"x的右孩子"不为空的话,将 “y” 设为 “x的右孩子的父亲”
    y.left = x.right;
    if (x.right != null)
        x.right.parent = y;

    // 将 “y的父亲” 设为 “x的父亲”
    x.parent = y.parent;

    if (y.parent == null) {
        this.mRoot = x;            // 如果 “y的父亲” 是空节点,则将x设为根节点
    } else {
        if (y == y.parent.right)
            y.parent.right = x;    // 如果 y是它父节点的右孩子,则将x设为“y的父节点的右孩子”
        else
            y.parent.left = x;    // (y是它父节点的左孩子) 将x设为“x的父节点的左孩子”
    }

    // 将 “y” 设为 “x的右孩子”
    x.right = y;

    // 将 “y的父节点” 设为 “x”
    y.parent = x;
}

3. 添加节点

将一个节点插入到红黑树中,需要执行哪些步骤呢?首先,将红黑树当作一颗二叉查找树,将节点插入;然后,将节点着色为红色;最后,通过"旋转和重新着色"等一系列操作来修正该树,使之重新成为一颗红黑树。详细描述如下:
第一步: 将红黑树当作一颗二叉查找树,将节点插入。
       红黑树本身就是一颗二叉查找树,将节点插入后,该树仍然是一颗二叉查找树。也就意味着,树的键值仍然是有序的。此外,无论是左旋还是右旋,若旋转之前这棵树是二叉查找树,旋转之后它一定还是二叉查找树。这也就意味着,任何的旋转和重新着色操作,都不会改变它仍然是一颗二叉查找树的事实。
好吧?那接下来,我们就来想方设法的旋转以及重新着色,使这颗树重新成为红黑树!

第二步:将插入的节点着色为"红色"。
       为什么着色成红色,而不是黑色呢?为什么呢?在回答之前,我们需要重新温习一下红黑树的特性:
(1) 每个节点或者是黑色,或者是红色。
(2) 根节点是黑色。
(3) 每个叶子节点是黑色。 [注意:这里叶子节点,是指为空的叶子节点!]
(4) 如果一个节点是红色的,则它的子节点必须是黑色的。
(5) 从一个节点到该节点的子孙节点的所有路径上包含相同数目的黑节点。
      将插入的节点着色为红色,不会违背"特性(5)"!少违背一条特性,就意味着我们需要处理的情况越少。接下来,就要努力的让这棵树满足其它性质即可;满足了的话,它就又是一颗红黑树了。o(∩∩)o...哈哈

第三步: 通过一系列的旋转或着色等操作,使之重新成为一颗红黑树。
       第二步中,将插入节点着色为"红色"之后,不会违背"特性(5)"。那它到底会违背哪些特性呢?
       对于"特性(1)",显然不会违背了。因为我们已经将它涂成红色了。
       对于"特性(2)",显然也不会违背。在第一步中,我们是将红黑树当作二叉查找树,然后执行的插入操作。而根据二叉查找数的特点,插入操作不会改变根节点。所以,根节点仍然是黑色。
       对于"特性(3)",显然不会违背了。这里的叶子节点是指的空叶子节点,插入非空节点并不会对它们造成影响。
       对于"特性(4)",是有可能违背的!
       那接下来,想办法使之"满足特性(4)",就可以将树重新构造成红黑树了。

/* 
 * 将结点插入到红黑树中
 *
 * 参数说明:
 *     node 插入的结点        // 对应《算法导论》中的node
 */
private void insert(RBTNode<T> node) {
    int cmp;
    RBTNode<T> y = null;
    RBTNode<T> x = this.mRoot;

    // 1. 将红黑树当作一颗二叉查找树,将节点添加到二叉查找树中。
    while (x != null) {
        y = x;
        cmp = node.key.compareTo(x.key);
        if (cmp < 0)
            x = x.left;
        else
            x = x.right;
    }

    node.parent = y;
    if (y!=null) {
        cmp = node.key.compareTo(y.key);
        if (cmp < 0)
            y.left = node;
        else
            y.right = node;
    } else {
        this.mRoot = node;
    }

    // 2. 设置节点的颜色为红色
    node.color = RED;

    // 3. 将它重新修正为一颗二叉查找树
    insertFixUp(node);
}

/* 
 * 新建结点(key),并将其插入到红黑树中
 *
 * 参数说明:
 *     key 插入结点的键值
 */
public void insert(T key) {
    RBTNode<T> node=new RBTNode<T>(key,BLACK,null,null,null);

    // 如果新建结点失败,则返回。
    if (node != null)
        insert(node);
}

内部接口 -- insert(node)的作用是将"node"节点插入到红黑树中。
外部接口 -- insert(key)的作用是将"key"添加到红黑树中。


添加修正操作的实现代码(Java语言)

/*
 * 红黑树插入修正函数
 *
 * 在向红黑树中插入节点之后(失去平衡),再调用该函数;
 * 目的是将它重新塑造成一颗红黑树。
 *
 * 参数说明:
 *     node 插入的结点        // 对应《算法导论》中的z
 */
private void insertFixUp(RBTNode<T> node) {
    RBTNode<T> parent, gparent;

    // 若“父节点存在,并且父节点的颜色是红色”
    while (((parent = parentOf(node))!=null) && isRed(parent)) {
        gparent = parentOf(parent);

        //若“父节点”是“祖父节点的左孩子”
        if (parent == gparent.left) {
            // Case 1条件:叔叔节点是红色
            RBTNode<T> uncle = gparent.right;
            if ((uncle!=null) && isRed(uncle)) {
                setBlack(uncle);
                setBlack(parent);
                setRed(gparent);
                node = gparent;
                continue;
            }

            // Case 2条件:叔叔是黑色,且当前节点是右孩子
            if (parent.right == node) {
                RBTNode<T> tmp;
                leftRotate(parent);
                tmp = parent;
                parent = node;
                node = tmp;
            }

            // Case 3条件:叔叔是黑色,且当前节点是左孩子。
            setBlack(parent);
            setRed(gparent);
            rightRotate(gparent);
        } else {    //若“z的父节点”是“z的祖父节点的右孩子”
            // Case 1条件:叔叔节点是红色
            RBTNode<T> uncle = gparent.left;
            if ((uncle!=null) && isRed(uncle)) {
                setBlack(uncle);
                setBlack(parent);
                setRed(gparent);
                node = gparent;
                continue;
            }

            // Case 2条件:叔叔是黑色,且当前节点是左孩子
            if (parent.left == node) {
                RBTNode<T> tmp;
                rightRotate(parent);
                tmp = parent;
                parent = node;
                node = tmp;
            }

            // Case 3条件:叔叔是黑色,且当前节点是右孩子。
            setBlack(parent);
            setRed(gparent);
            leftRotate(gparent);
        }
    }

    // 将根节点设为黑色
    setBlack(this.mRoot);
}

insertFixUp(node)的作用是对应"上面所讲的第三步"。它是一个内部接口。

4.删除操作

将红黑树内的某一个节点删除。需要执行的操作依次是:首先,将红黑树当作一颗二叉查找树,将该节点从二叉查找树中删除;然后,通过"旋转和重新着色"等一系列来修正该树,使之重新成为一棵红黑树。详细描述如下:
第一步:将红黑树当作一颗二叉查找树,将节点删除。
       这和"删除常规二叉查找树中删除节点的方法是一样的"。分3种情况:
① 被删除节点没有儿子,即为叶节点。那么,直接将该节点删除就OK了。
② 被删除节点只有一个儿子。那么,直接删除该节点,并用该节点的唯一子节点顶替它的位置。
③ 被删除节点有两个儿子。那么,先找出它的后继节点;然后把“它的后继节点的内容”复制给“该节点的内容”;之后,删除“它的后继节点”。在这里,后继节点相当于替身,在将后继节点的内容复制给"被删除节点"之后,再将后继节点删除。这样就巧妙的将问题转换为"删除后继节点"的情况了,下面就考虑后继节点。 在"被删除节点"有两个非空子节点的情况下,它的后继节点不可能是双子非空。既然"的后继节点"不可能双子都非空,就意味着"该节点的后继节点"要么没有儿子,要么只有一个儿子。若没有儿子,则按"情况① "进行处理;若只有一个儿子,则按"情况② "进行处理。

第二步:通过"旋转和重新着色"等一系列来修正该树,使之重新成为一棵红黑树。
        因为"第一步"中删除节点之后,可能会违背红黑树的特性。所以需要通过"旋转和重新着色"来修正该树,使之重新成为一棵红黑树。

/* 
 * 删除结点(node),并返回被删除的结点
 *
 * 参数说明:
 *     node 删除的结点
 */
private void remove(RBTNode<T> node) {
    RBTNode<T> child, parent;
    boolean color;

    // 被删除节点的"左右孩子都不为空"的情况。
    if ( (node.left!=null) && (node.right!=null) ) {
        // 被删节点的后继节点。(称为"取代节点")
        // 用它来取代"被删节点"的位置,然后再将"被删节点"去掉。
        RBTNode<T> replace = node;

        // 获取后继节点
        replace = replace.right;
        while (replace.left != null)
            replace = replace.left;

        // "node节点"不是根节点(只有根节点不存在父节点)
        if (parentOf(node)!=null) {
            if (parentOf(node).left == node)
                parentOf(node).left = replace;
            else
                parentOf(node).right = replace;
        } else {
            // "node节点"是根节点,更新根节点。
            this.mRoot = replace;
        }

        // child是"取代节点"的右孩子,也是需要"调整的节点"。
        // "取代节点"肯定不存在左孩子!因为它是一个后继节点。
        child = replace.right;
        parent = parentOf(replace);
        // 保存"取代节点"的颜色
        color = colorOf(replace);

        // "被删除节点"是"它的后继节点的父节点"
        if (parent == node) {
            parent = replace;
        } else {
            // child不为空
            if (child!=null)
                setParent(child, parent);
            parent.left = child;

            replace.right = node.right;
            setParent(node.right, replace);
        }

        replace.parent = node.parent;
        replace.color = node.color;
        replace.left = node.left;
        node.left.parent = replace;

        if (color == BLACK)
            removeFixUp(child, parent);

        node = null;
        return ;
    }

    if (node.left !=null) {
        child = node.left;
    } else {
        child = node.right;
    }

    parent = node.parent;
    // 保存"取代节点"的颜色
    color = node.color;

    if (child!=null)
        child.parent = parent;

    // "node节点"不是根节点
    if (parent!=null) {
        if (parent.left == node)
            parent.left = child;
        else
            parent.right = child;
    } else {
        this.mRoot = child;
    }

    if (color == BLACK)
        removeFixUp(child, parent);
    node = null;
}

/* 
 * 删除结点(z),并返回被删除的结点
 *
 * 参数说明:
 *     tree 红黑树的根结点
 *     z 删除的结点
 */
public void remove(T key) {
    RBTNode<T> node; 

    if ((node = search(mRoot, key)) != null)
        remove(node);
}

内部接口 -- remove(node)的作用是将"node"节点插入到红黑树中。
外部接口 -- remove(key)删除红黑树中键值为key的节点。


删除修正操作的实现代码(Java语言)

/*
 * 红黑树删除修正函数
 *
 * 在从红黑树中删除插入节点之后(红黑树失去平衡),再调用该函数;
 * 目的是将它重新塑造成一颗红黑树。
 *
 * 参数说明:
 *     node 待修正的节点
 */
private void removeFixUp(RBTNode<T> node, RBTNode<T> parent) {
    RBTNode<T> other;

    while ((node==null || isBlack(node)) && (node != this.mRoot)) {
        if (parent.left == node) {
            other = parent.right;
            if (isRed(other)) {
                // Case 1: x的兄弟w是红色的  
                setBlack(other);
                setRed(parent);
                leftRotate(parent);
                other = parent.right;
            }

            if ((other.left==null || isBlack(other.left)) &&
                (other.right==null || isBlack(other.right))) {
                // Case 2: x的兄弟w是黑色,且w的俩个孩子也都是黑色的  
                setRed(other);
                node = parent;
                parent = parentOf(node);
            } else {

                if (other.right==null || isBlack(other.right)) {
                    // Case 3: x的兄弟w是黑色的,并且w的左孩子是红色,右孩子为黑色。  
                    setBlack(other.left);
                    setRed(other);
                    rightRotate(other);
                    other = parent.right;
                }
                // Case 4: x的兄弟w是黑色的;并且w的右孩子是红色的,左孩子任意颜色。
                setColor(other, colorOf(parent));
                setBlack(parent);
                setBlack(other.right);
                leftRotate(parent);
                node = this.mRoot;
                break;
            }
        } else {

            other = parent.left;
            if (isRed(other)) {
                // Case 1: x的兄弟w是红色的  
                setBlack(other);
                setRed(parent);
                rightRotate(parent);
                other = parent.left;
            }

            if ((other.left==null || isBlack(other.left)) &&
                (other.right==null || isBlack(other.right))) {
                // Case 2: x的兄弟w是黑色,且w的俩个孩子也都是黑色的  
                setRed(other);
                node = parent;
                parent = parentOf(node);
            } else {

                if (other.left==null || isBlack(other.left)) {
                    // Case 3: x的兄弟w是黑色的,并且w的左孩子是红色,右孩子为黑色。  
                    setBlack(other.right);
                    setRed(other);
                    leftRotate(other);
                    other = parent.left;
                }

                // Case 4: x的兄弟w是黑色的;并且w的右孩子是红色的,左孩子任意颜色。
                setColor(other, colorOf(parent));
                setBlack(parent);
                setBlack(other.left);
                rightRotate(parent);
                node = this.mRoot;
                break;
            }
        }
    }

    if (node!=null)
        setBlack(node);
}

removeFixup(node, parent)是对应"上面所讲的第三步"。它是一个内部接口。

本文转载自:https://mp.weixin.qq.com/s/_N23LuKGBQKfMDZvxyHaPw

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