三角函数为什么是基本初等函数
人类的基本数学理论，一切从三角形开始。勾股定理和三角函数是人类初等数学的基础研究理论，这展示了人类所观测到的世界的一些本征特性。
勾股定理和三角函数都与直角三角形有关。从测量计算到算术论断证明，定理的推算也用了人类几百年的历史，这是值得的而且是伟大的，这两个定理是后续人类十几个世纪以来所有数学公里的基础。
圆周率π，直径与周长，以直代曲思想的萌芽
跟直角三角形一样，人类凭肉眼观测，也能发现一些端倪，因为无论圆的大小怎样，直径和周长都是随着圆变化的，这足以说明这就是圆自身的一种性质。
割圆术等是初代的微积分思想，直线近似利用直角三角形求圆周率，是我国古代对数学界的伟大贡献。
所以，圆周率与直角三角形有关，π的性质也是直角三角形的极限的性质。圆周率有多准确，取决于在圆内分割多少个直角三角形。
牛顿力学，微积分时代，变化率函数与连续性
以直代曲的思想停滞了一千多年，没有任何进步。
直到人类需要求曲线的性质，需要求速度等抽象的物理现象的时候，才得以进一步发展。
伟大的牛顿力学，展示了物体的受力分析。
物理的受力分析如果是恒定的，那物理特性可以抽象为数学模型，这个数学模型也是连续的，这里就引申出连续性的定义。很多课本认为连续性是用数学定义去定义的，我认为这是本末倒置的。连续性应该用物理需求去定义，他更应该是一个物理学的概念，是一个物理学的前提条件，数学的定义只是这个物理学概念的延伸。
连续性是一个框架级别的工具，他表明了物理现象和数学工作的范围。一旦超出这个范围，数学公式和物理现象将是混乱的，毫无意义。你可以想象一个石头在天空无序地飞来飞去吗？你怎么去求它的速度变化率？这是不可能的，因为它的受力图混乱，甚至每一秒的函数都不一样，所以无法求速度变化率等。
可幸的是牛顿时代界定的力不多，只有万有引力，电磁力（摩擦力，空气阻力等），所以物体运动的体系被人类确定下来，维持了几百年之久。
物理学过程 -> 物体受力的时间与范围（物体在某个时段内受什么力） -> 数学模型（跟时间t有关的函数连续性） -> 求取函数变化率 -> 推断出物理现象的连续性与函数性质 -> 从而预测物理现象
是的，无论是牛顿力学还是微积分，到最后都是为了预测。
至此，人类可以用很少的条件，预测大量的自然现象，甚至帮助自己研发工具和武器。
大炮的轨道，天体的运动，燃料与动力学等，汽车，大炮，这些关键的工具无一不经历过精密的牛顿定律和数学模型推导。
