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理解卷积

陆幽轩
 陆幽轩
发布于 2017/06/27 11:59
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**原始定义:**设f,g在R上可积,定义新函数h满足以下特性:

$$h(x)=(f*g)(x) =\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)g(x-t) {\rm d}t$$

则称h是f和g的卷积。

Wiki百科上有一个非常形象的图解来解释卷积:

它(卷积)是其中一个函数翻转并平移后与另一个函数的乘积的积分,是一个对平移量的函数。

这里有两个定义,翻转和平移,可以这么来理解这两个概念:

  • 翻转 g(t) 变成 g(-t)
  • 平移 g(-t) 向右平移x个单位,变成g(x-t)

这里就不贴图了,直接上Wiki百科地址。看下面的图解,就能理解卷积函数所谓的翻转和平移了。另外有卷积Flash演示

推荐一个知乎问题:在定义卷积时为什么要对其中一个函数进行翻转?;这篇知乎阐述了卷积的起源。

卷积的离散定义

根据卷积的连续定义,很容易就能理解卷积的离散定义:

$$h(x)=(f*g)(x) =\sum_{k=-\infty}^{+\infty} f(k) g(x-k) $$

$$s.t.(x,k\in Z)$$

参考总结的博文:我对卷积的理解 中输液的例子就能深刻理解卷积的离散定义。给出以下例子进行理解:

二维中的卷积

一维的卷积搞清楚了,二维的就好说了。

参考总结的博文:我对卷积的理解 中对二维卷积的理解。

图像处理中的卷积

参考图像处理(卷积)作者太棒了

总结

理解卷积,就要理解卷积的四个核心概念:

  • (翻转)(图像处理中很多情况不用翻转?)
  • 移动
  • 乘积
  • 求和

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