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二叉排序树(Binary Sort Tree)

 野渡书生
发布于 2016/04/28 21:55
字数 3550
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1、定义 

    二叉排序树(Binary Sort Tree)又称二叉查找(搜索)树(Binary Search Tree)。其定义为:二叉排序树或者是空树,或者是满足如下性质的二叉树:

    ①  若它的左子树非空,则左子树上所有结点的值均小于根结点的值;

    ②  若它的右子树非空,则右子树上所有结点的值均大于根结点的值;

    ③  左、右子树本身又各是一棵二叉排序树。

    上述性质简称二叉排序树性质(BST性质),故二叉排序树实际上是满足BST性质的二叉树。

注意:

     当用线性表作为表的组织形式时,可以有三种查找法。其中以二分查找效率最高。但由于二分查找要求表中结点按关键字有序,且不能用链表作存储结构,因此,当表的插入或删除操作频繁时,为维护表的有序性,势必要移动表中很多结点。这种由移动结点引起的额外时间开销,就会抵消二分查找的优点。也就是说,二分查找只适用于静态查找表。若要对动态查找表进行高效率的查找,可采用下二叉树或树作为表的组织形式。不妨将它们统称为树表。

2、特点

    由BST性质可得:

    (1) 二叉排序树中任一结点x,其左(右)子树中任一结点y(若存在)的关键字必小(大)于x的关键字。

    (2) 二叉排序树中,各结点关键字是惟一的。

    注意:

    实际应用中,不能保证被查找的数据集中各元素的关键字互不相同,所以可将二叉排序树定义中BST性质(1)里的"小于"改为"大于等于",或将BST性质(2)里的"大于"改为"小于等于",甚至可同时修改这两个性质。

    (3) 按中序遍历该树所得到的中序序列是一个递增有序序列。

    【例】下图所示的两棵树均是二叉排序树,它们的中序序列均为有序序列:2,3,4,5,7,8。

      

3、存储结构

二叉树结构体定义;

typedef struct BiTNode
{
    int data;
    //结点数据
    struct BiTNode *lChild,*rChild;
}BiTNode,*BiTree;

或如下定义:

typedef int KeyType; 
//假定关键字类型为整数

typedef struct node { 
  KeyType key; 
  //关键字项
  InfoType otherinfo; 
  //其它数据域,InfoType视应用情况而定,下面不处理它
  struct node *lchild,*rchild; 
  //左右孩子指针
} BSTNode;
typedef BSTNode *BSTree; 
//BSTree是二叉排序树的类型

4、二叉排序树运算

(1)二叉排序树的插入和生成

    ①  二叉排序树插入新结点的过程

    在二叉排序树中插入新结点,要保证插入后仍满足BST性质。其插入过程是:

    a、若二叉排序树T为空,则为待插入的关键字key申请一个新结点,并令其为根;

    b、若二叉排序树T不为空,则将key和根的关键字比较:

            (i)若二者相等,则说明树中已有此关键字key,无须插入。

                                                        (ii)若key<T→key,则将key插入根的左子树中。

                                                        (iii)若key>T→key,则将它插入根的右子树中。

    子树中的插入过程与上述的树中插入过程相同。如此进行下去,直到将key作为一个新的叶结点的关键字插入到二叉排序树中,或者直到发现树中已有此关键字为止。

    ②  二叉排序树插入新结点的递归算法 

    ③  二叉排序树插入新结点的非递归算法

    void InsertBST(BSTree *Tptr,KeyType key)
      { //若二叉排序树 *Tptr中没有关键字为key,则插入,否则直接返回
        BSTNode *f,*p=*TPtr; //p的初值指向根结点
        while(p){ //查找插入位置
          if(p->key==key) return;//树中已有key,无须插入
          f=p; //f保存当前查找的结点
          p=(key<p->key)?p->lchild:p->rchild;
            //若key<p->key,则在左子树中查找,否则在右子树中查找
         } //endwhile
        p=(BSTNode *)malloc(sizeof(BSTNode));
        p->key=key; p->lchild=p->rchild=NULL; //生成新结点
        if(*TPtr==NULL) //原树为空
           *Tptr=p; //新插入的结点为新的根
        else //原树非空时将新结点关p作为关f的左孩子或右孩子插入
          if(key<f->key)
            f->lchild=p;
          else f->rchild=p;
       } //InsertBST

    ④  二叉排序树的生成

    二叉排序树的生成,是从空的二叉排序树开始,每输入一个结点数据,就调用一次插入算法将它插入到当前已生成的二叉排序树中。生成二叉排序树的算法如下:

  BSTree CreateBST(void)
   { //输入一个结点序列,建立一棵二叉排序树,将根结点指针返回
    BSTree T=NULL; //初始时T为空树
    KeyType key;
    scanf("%d",&key); //读人一个关键字
    while(key){ //假设key=0是输人结束标志
      InsertBST(&T,key); //将key插入二叉排序树T
      scanf("%d",&key);//读人下一关键字
     }
    return T; //返回建立的二叉排序树的根指针
   } //BSTree

     注意:

    输入序列决定了二叉排序树的形态

    二叉排序树的中序序列是一个有序序列。所以对于一个任意的关键字序列构造一棵二叉排序树,其实质是对此关键字序列进行排序,使其变为有序序列。"排序树"的名称也由此而来。通常将这种排序称为树排序(Tree Sort),可以证明这种排序的平均执行时间亦为O(nlgn)。

    对相同的输入实例,树排序的执行时间约为堆排序的2至3倍。因此在一般情况下,构造二叉排序树的目的并非为了排序,而是用它来加速查找,这是因为在一个有序的集合上查找通常比在无序集合上查找更快。因此,人们又常常将二叉排序树称为二叉查找树。

(2)二叉排序树的删除

    从二叉排序树中删除一个结点,不能把以该结点为根的子树都删去,并且还要保证删除后所得的二叉树仍然满足BST性质。

    ①  删除操作的一般步骤

    a、进行查找

        查找时,令p指向当前访问到的结点,parent指向其双亲(其初值为NULL)。若树中找不到被删结点则返回,否则被删结点是*p。

   b、删去*p。

        删*p时,应将*p的子树(若有)仍连接在树上且保持BST性质不变。按*p的孩子数目分三种情况进行处理。

    ②  删除*p结点的三种情况

    a、*p是叶子(即它的孩子数为0)

        无须连接*p的子树,只需将*p的双亲*parent中指向*p的指针域置空即可。

    b、*p只有一个孩子*child

        只需将*child和*p的双亲直接连接后,即可删去*p。

    注意:

    *p既可能是*parent的左孩子也可能是其右孩子,而*child可能是*p的左孩子或右孩子,故共有4种状态。

    c、*p有两个孩子

        先令q=p,将被删结点的地址保存在q中;然后找*q的中序后继*p,并在查找过程中仍用parent记住*p的双亲位置。*q的中序后继*p一定是*q的右子树中最左下的结点,它无左子树。因此,可以将删去*q的操作转换为删去的*p的操作,即在释放结点*p之前将其数据复制到*q中,就相当于删去了*q。。

    ③  二叉排序树删除算法 

    分析:

     上述三种情况都能统一到情况(2),算法中只需针对情况(2)处理即可。

     注意边界条件:若parent为空,被删结点*p是根,故删去*p后,应将child置为根。

    算法: 

void DelBSTNode(BSTree *Tptr,KeyType key)
 {//在二叉排序树*Tptr中删去关键字为key的结点
  BSTNode *parent=NUll,*p=*Tptr,*q,*child;
  while(p){ //从根开始查找关键字为key的待删结点
    if(p->key==key) break;//已找到,跳出查找循环
    parent=p; //parent指向*p的双亲
    p=(key<p->key)?p->lchild:p->rchild; //在关p的左或右子树中继续找
   }
  if(!p) return; //找不到被删结点则返回
  q=p; //q记住被删结点*p
  if(q->lchild&&q->rchild) //*q的两个孩子均非空,故找*q的中序后继*p
    for(parent=q,p=q->rchild; p->lchild; parent=p,p=p=->lchild);
  //现在情况(3)已被转换为情况(2),而情况(1)相当于是情况(2)中child=NULL的状况
    child=(p->lchild)?p->lchild:p->rchild;//若是情况(2),则child非空;否则child为空
    if(!parent) //*p的双亲为空,说明*p为根,删*p后应修改根指针
      *Tptr=child; //若是情况(1),则删去*p后,树为空;否则child变为根
    else{ //*p不是根,将*p的孩子和*p的双亲进行连接,*p从树上被摘下
      if(p==parent->lchild) //*p是双亲的左孩子
        parent->lchild=child; //*child作为*parent的左孩子
      else parent->rchild=child; //*child作为 parent的右孩子
      if(p!=q) //是情况(3),需将*p的数据复制到*q
        q->key=p->key; //若还有其它数据域亦需复制
     } //endif
    free(p); /释放*p占用的空间
  } //DelBSTNode

(3) 二叉排序树上的查找

    ①  查找递归算法

    在二叉排序树上进行查找,和二分查找类似,也是一个逐步缩小查找范围的过程。

    递归的查找算法:

/*在二叉排序树T上查找关键字为key的结点,成功时返回该结点位置,否则返回NUll*/
BSTNode *SearchBST(BSTree T,KeyType key)
{ 
    if(T==NULL||key==T->key) 
    //递归的终结条件
        return T; 
        //T为空,查找失败;否则成功,返回找到的结点位置
    if(key<T->key)
        return SearchBST(T->lchild,key);
    else
        return SearchBST(T->rchild,key);
      //继续在右子树中查找
}

    ②  算法分析

    在二叉排序树上进行查找时,若查找成功,则是从根结点出发走了一条从根到待查结点的路径。若查找不成功,则是从根结点出发走了一条从根到某个叶子的路径。

    a、二叉排序树查找成功的平均查找长度

    在等概率假设下,下面(a)图中二叉排序树查找成功的平均查找长度为

         

    在等概率假设下,(b)图所示的树在查找成功时的平均查找长度为:

           ASLb=(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)/10=5.5

    注意:

    与二分查找类似,和关键字比较的次数不超过树的深度。

    b、在二叉排序树上进行查找时的平均查找长度和二叉树的形态有关

    二分查找法查找长度为n的有序表,其判定树是惟一的。含有n个结点的二叉排序树却不惟一。对于含有同样一组结点的表,由于结点插入的先后次序不同,所构成的二叉排序树的形态和深度也可能不同

    【例】下图(a)所示的树,是按如下插入次序构成的:

        45,24,55,12,37,53,60,28,40,70

    下图(b)所示的树,是按如下插入次序构成的:

        12,24,28,37,40,45,53,55,60,70

  

    在二叉排序树上进行查找时的平均查找长度和二叉树的形态有关:

    ①  在最坏情况下,二叉排序树是通过把一个有序表的n个结点依次插入而生成的,此时所得的二叉排序树蜕化为棵深度为n的单支树,它的平均查找长度和单链表上的顺序查找相同,亦是(n+1)/2。

    ②  在最好情况下,二叉排序树在生成的过程中,树的形态比较匀称,最终得到的是一棵形态与二分查找的判定树相似的二叉排序树,此时它的平均查找长度大约是lgn。

    ③  插入、删除和查找算法的时间复杂度均为O(lgn)。

5、二叉排序树和二分查找的比较

    就平均时间性能而言,二叉排序树上的查找和二分查找差不多。

    就维护表的有序性而言,二叉排序树无须移动结点,只需修改指针即可完成插入和删除操作,且其平均的执行时间均为O(lgn),因此更有效。二分查找所涉及的有序表是一个向量,若有插入和删除结点的操作,则维护表的有序性所花的代价是O(n)。当有序表是静态查找表时,宜用向量作为其存储结构,而采用二分查找实现其查找操作;若有序表里动态查找表,则应选择二叉排序树作为其存储结构。

6、平衡二叉树

     为了保证二叉排序树的高度为lgn,从而保证然二叉排序树上实现的插入、删除和查找等基本操作的平均时间为O(lgn),在往树中插入或删除结点时,要调整树的形态来保持树的"平衡。使之既保持BST性质不变又保证树的高度在任何情况下均为O(lgn),从而确保树上的基本操作在最坏情况下的时间均为O(lgn)。

注意:

     ①平衡二叉树(Balanced Binary Tree)是指树中任一结点的左右子树的高度大致相同。

     ②任一结点的左右子树的高度均相同(如满二叉树),则二叉树是完全平衡的。通常,只要二叉树的高度为O(1gn),就可看作是平衡的。

     ③平衡的二叉排序树指满足BST性质的平衡二叉树。

     ④AVL树中任一结点的左、右子树的高度之差的绝对值不超过1。在最坏情况下,n个结点的AVL树的高度约为1.44lgn。而完全平衡的二叉树度高约为lgn,AVL树是接近最优的。


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