向量点乘(内积)和叉乘(外积、向量积)概念及几何意义解读
向量点乘(内积)和叉乘(外积、向量积)概念及几何意义解读
小叮当_加V 发表于5个月前
向量点乘(内积)和叉乘(外积、向量积)概念及几何意义解读
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向量是由n个实数组成的一个n行1列(n*1)或一个1行n列(1*n)的有序数组;

 

向量的点乘,也叫向量的内积、数量积,对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,点乘的结果是一个标量

 

点乘公式

 

对于向量a和向量b:

 

                                                           

 

a和b的点积公式为:

 

 

 

要求一维向量a和向量b的行列数相同。

 

点乘几何意义

 

点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角,以及在b向量在a向量方向上的投影,有公式:

 

 

推导过程如下,首先看一下向量组成:

 

 

 

定义向量:

 

 

根据三角形余弦定理有:

 

 

根据关系c=a-b(a、b、c均为向量)有:

 

 

即:

 

向量a,b的长度都是可以计算的已知量,从而有a和b间的夹角θ:

 

 

根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向,是否正交(也就是垂直)等方向关系,具体对应关系为:


     a·b>0    方向基本相同,夹角在0°到90°之间

     a·b=0    正交,相互垂直  

     a·b<0    方向基本相反,夹角在90°到180°之间 

 

叉乘公式

 

两个向量的叉乘,又叫向量积、外积、叉积,叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。

 

对于向量a和向量b:

 

 

a和b的叉乘公式为:

 

 

其中:

 

 

根据i、j、k间关系,有:

 

 

 

 

叉乘几何意义

 

 

在三维几何中,向量a和向量b的叉乘结果是一个向量,更为熟知的叫法是法向量,该向量垂直于a和b向量构成的平面。

 

在3D图像学中,叉乘的概念非常有用,可以通过两个向量的叉乘,生成第三个垂直于a,b的法向量,从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示: 

 

 

在二维空间中,叉乘还有另外一个几何意义就是:aXb等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。

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小叮当_加V
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