# 14种16阶群、13种60阶群的结构与表示(附GAP软件的使用) 转

wangxuwei

gap> L:=Factors(16);
[ 2, 2, 2, 2 ]
gap> G:=AbelianGroup(L);;IdGroup(G);AbelianInvariants(G);
[ 16, 14 ]
[ 2, 2, 2, 2 ]
gap> L1:=[L[1],L[2],L[3]*L[4]];
[ 2, 2, 4 ]
gap> G:=AbelianGroup(L1);;IdGroup(G);AbelianInvariants(G);
[ 16, 10 ]
[ 2, 2, 4 ]
gap> L2:=[L[1]*L[2],L[3]*L[4]];
[ 4, 4 ]
gap> G:=AbelianGroup(L2);;IdGroup(G);AbelianInvariants(G);
[ 16, 2 ]
[ 4, 4 ]
gap> L3:=[L[1]*L[2]*L[3]*L[4]];
[ 16 ]
gap> G:=AbelianGroup(L3);;IdGroup(G);AbelianInvariants(G);
[ 16, 1 ]
[ 16 ]
gap> L4:=[L[1],L[2]*L[3]*L[4]];
[ 2, 8 ]
gap> G:=AbelianGroup(L4);;IdGroup(G);AbelianInvariants(G);
[ 16, 5 ]
[ 2, 8 ]
20151029：陈松良等人的《论60阶群的构造》一文证明了60阶群是单群的充要条件是它的Sylow 5-子群不正规，其余的12个60阶非单群的Sylow 5-子群正规。原文中漏掉了2种60阶群：GAP4[60,7]、GAP4[60,8]。
gap> F:=FreeGroup(1);;G1:=F/[F.1^60];;StructureDescription(G1);IdGroup(G1);
"C60"
[ 60, 4 ]
gap> F:=FreeGroup(2);;G2:=F/[F.1^12, F.2^5,F.1^(-1) * F.2 * F.1*F.2];;StructureDescription(G2);IdGroup(G2);
"C3 x (C5 : C4)"
[ 60, 2 ]
gap> F:=FreeGroup(2);;G3:=F/[F.1^12, F.2^5,F.1^(-1) * F.2 * F.1*(F.2^2)^(-1)];;StructureDescription(G3);IdGroup(G3);
"C3 x (C5 : C4)"
[ 60, 6 ]
gap> F:=FreeGroup(2);;G4:=F/[F.1^30, F.2^2,F.2^(-1) * F.1 * F.2*(F.1)^(-1)];;StructureDescription(G4);IdGroup(G4);
"C30 x C2"
[ 60, 13 ]
gap> F:=FreeGroup(3);;G5:=F/[F.1^6, F.2^2,F.3^5,F.1^(-1) * F.2 * F.1*(F.2)^(-1),F.3^(-1) * F.2 * F.3*(F.2)^(-1),F.1^(-1) * F.3 * F.1*F.3];;StructureDescription(G5);IdGroup(G5);
"C6 x D10"
[ 60, 10 ]
gap> F:=FreeGroup(4);;G6:=F/[F.1^2, F.2^2,F.3^3,F.4^5,F.2^(-1) * F.1 * F.2*(F.1)^(-1),F.3^(-1) * F.1 * F.3*(F.2)^(-1),F.3^(-1) * F.2 * F.3*(F.1*F.2)^(-1),F.1^(-1)*F.4*F.1*F.4^(-1),F.2^(-1)*F.4*F.2*F.4^(-1),F.3^(-1)*F.4*F.3*F.4^(-1)];;StructureDescription(G6);IdGroup(G6);
"C5 x A4"
[ 60, 9 ]
gap> F:=FreeGroup(3);;G7:=F/[F.1^6, F.2^2,F.3^5,F.1^(-1) * F.3 * F.1*(F.3)^(-1),F.2^(-1) * F.3 * F.2*(F.3)^(-1),F.2^(-1) * F.1 * F.2*F.1];;StructureDescription(G7);IdGroup(G7);
"C10 x S3"
[ 60, 11 ]
gap> F:=FreeGroup(2);;G8:=F/[F.1^30, F.2^2,F.2^(-1) * F.1 * F.2*F.1];;StructureDescription(G8);IdGroup(G8);
"D60"
[ 60, 12 ]
gap> F:=FreeGroup(3);;G9:=F/[F.1^6, F.2^2*(F.1^3)^(-1),F.3^5,F.1^(-1) * F.3 * F.1*(F.3)^(-1),F.2^(-1) * F.3 * F.2*(F.3)^(-1),F.2^(-1) * F.1 * F.2*F.1];;StructureDescription(G9);IdGroup(G9);
"C5 x (C3 : C4)"
[ 60, 1 ]
gap> F:=FreeGroup(2);;G10:=F/[F.1^30, F.2^2*(F.1^15)^(-1),F.2^(-1) * F.1 * F.2*F.1];;StructureDescription(G10);IdGroup(G10);
"C15 : C4"
[ 60, 3 ]
gap> F:=FreeGroup(3);;G11:=F/[F.1^3, F.2^3,F.3^3,(F.1 * F.2)^2,(F.1 * F.3)^2,(F.2 * F.3)^2];;StructureDescription(G11);IdGroup(G11);
"A5"
[ 60, 5 ]
gap> for n in [1..13] do G:=SmallGroup(60,n);idn:=IdGroup(G);Print(idn);Print(":");L:=List(Elements(G),Order);;M:=[1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60];;for i in M do Print(Size(Positions(L,i)),","); od;Print("是否幂零：",IsNilpotentGroup(G),",","自同构群：",IdGroup(AutomorphismGroup(G)),",",StructureDescription(G),"\n");od;
[ 60, 1 ]:1,1,2,6,4,2,4,0,8,24,8,0,是否幂零：false,自同构群：[ 48, 35 ],C5 x (C3 : C4)
[ 60, 2 ]:1,1,2,10,4,2,4,20,8,0,8,0,是否幂零：false,自同构群：[ 80, 50 ],C3 x (C5 : C4)
[ 60, 3 ]:1,1,2,30,4,2,4,0,8,0,8,0,是否幂零：false,自同构群：[ 240, 195 ],C15 : C4
[ 60, 4 ]:1,1,2,2,4,2,4,4,8,8,8,16,是否幂零：true,自同构群：[ 16, 10 ],C60
[ 60, 5 ]:1,15,20,0,24,0,0,0,0,0,0,0,是否幂零：false,自同构群：[ 120, 34 ],A5
[ 60, 6 ]:1,5,2,10,4,10,0,20,8,0,0,0,是否幂零：false,自同构群：[ 40, 12 ],C3 x (C5 : C4)
[ 60, 7 ]:1,5,2,30,4,10,0,0,8,0,0,0,是否幂零：false,自同构群：[ 120, 36 ],C15 : C4
[ 60, 8 ]:1,23,2,0,4,10,12,0,8,0,0,0,是否幂零：false,自同构群：[ 120, 36 ],S3 x D10
[ 60, 9 ]:1,3,8,0,4,0,12,0,32,0,0,0,是否幂零：false,自同构群：[ 96, 186 ],C5 x A4
[ 60, 10 ]:1,11,2,0,4,22,4,0,8,0,8,0,是否幂零：false,自同构群：[ 80, 50 ],C6 x D10
[ 60, 11 ]:1,7,2,0,4,2,28,0,8,0,8,0,是否幂零：false,自同构群：[ 48, 35 ],C10 x S3
[ 60, 12 ]:1,31,2,0,4,2,4,0,8,0,8,0,是否幂零：false,自同构群：[ 240, 195 ],D60
[ 60, 13 ]:1,3,2,0,4,6,12,0,8,0,24,0,是否幂零：true,自同构群：[ 48, 35 ],C30 x C2
gap> Factors(60);
[ 2, 2, 3, 5 ]
gap> for n in [1..13] do g:=SmallGroup(60,n);;gid:=StructureDescription(g);Print(gid,"是否超可解：",IsSupersolvableGroup(g));s:=Elements(g);;sl2:=SylowSubgroup(g,2);;Print(IdGroup(sl2),IsSubnormal(g,sl2));sl3:=SylowSubgroup(g,3);;sl5:=SylowSubgroup(g,5);;Print(IdGroup(sl3),IsSubnormal(g,sl3),IdGroup(sl5),IsSubnormal(g,sl5),"\n");od;
C5 x (C3 : C4)是否超可解：true[ 4, 1 ]false[ 3, 1 ]true[ 5, 1 ]true
C3 x (C5 : C4)是否超可解：true[ 4, 1 ]false[ 3, 1 ]true[ 5, 1 ]true
C15 : C4是否超可解：true[ 4, 1 ]false[ 3, 1 ]true[ 5, 1 ]true
C60是否超可解：true[ 4, 1 ]true[ 3, 1 ]true[ 5, 1 ]true
A5是否超可解：false[ 4, 2 ]false[ 3, 1 ]false[ 5, 1 ]false
C3 x (C5 : C4)是否超可解：true[ 4, 1 ]false[ 3, 1 ]true[ 5, 1 ]true
C15 : C4是否超可解：true[ 4, 1 ]false[ 3, 1 ]true[ 5, 1 ]true
S3 x D10是否超可解：true[ 4, 2 ]false[ 3, 1 ]true[ 5, 1 ]true
C5 x A4是否超可解：false[ 4, 2 ]true[ 3, 1 ]false[ 5, 1 ]true
C6 x D10是否超可解：true[ 4, 2 ]false[ 3, 1 ]true[ 5, 1 ]true
C10 x S3是否超可解：true[ 4, 2 ]false[ 3, 1 ]true[ 5, 1 ]true
D60是否超可解：true[ 4, 2 ]false[ 3, 1 ]true[ 5, 1 ]true
C30 x C2是否超可解：true[ 4, 2 ]true[ 3, 1 ]true[ 5, 1 ]true

gap> for n in [1..14] do G:=SmallGroup(16,n);idn:=IdGroup(G);Print(idn);Print(":");L:=List(Elements(G),Order);;M:=[1,2,4,8,16];;for i in M do Print(Size(Positions(L,i)),","); od;Print("秩：",RankPGroup(G),",","是否幂零：",IsNilpotentGroup(G),",","自同构群：",Order(AutomorphismGroup(G)),",",StructureDescription(G),"\n");od;
[ 16, 1 ]:1,1,2,4,8,秩：1,是否幂零：true,自同构群：8,C16
[ 16, 2 ]:1,3,12,0,0,秩：2,是否幂零：true,自同构群：96,C4 x C4
[ 16, 3 ]:1,7,8,0,0,秩：2,是否幂零：true,自同构群：32,(C4 x C2) : C2
[ 16, 4 ]:1,3,12,0,0,秩：2,是否幂零：true,自同构群：32,C4 : C4
[ 16, 5 ]:1,3,4,8,0,秩：2,是否幂零：true,自同构群：16,C8 x C2
[ 16, 6 ]:1,3,4,8,0,秩：2,是否幂零：true,自同构群：16,C8 : C2
[ 16, 7 ]:1,9,2,4,0,秩：2,是否幂零：true,自同构群：32,D16
[ 16, 8 ]:1,5,6,4,0,秩：2,是否幂零：true,自同构群：16,QD16
[ 16, 9 ]:1,1,10,4,0,秩：2,是否幂零：true,自同构群：32,Q16
[ 16, 10 ]:1,7,8,0,0,秩：3,是否幂零：true,自同构群：192,C4 x C2 x C2
[ 16, 11 ]:1,11,4,0,0,秩：3,是否幂零：true,自同构群：64,C2 x D8
[ 16, 12 ]:1,3,12,0,0,秩：3,是否幂零：true,自同构群：192,C2 x Q8
[ 16, 13 ]:1,7,8,0,0,秩：3,是否幂零：true,自同构群：48,(C4 x C2) : C2
[ 16, 14 ]:1,15,0,0,0,秩：4,是否幂零：true,自同构群：20160,C2 x C2 x C2 x C2
gap> for n in [1..14] do G:=SmallGroup(16,n);idn:=IdGroup(G);Print(idn);Print(":");L:=List(Elements(G),Order);;M:=[1,2,4,8,16];;for i in M do Print(Size(Positions(L,i)),","); od;Print("秩：",RankPGroup(G),",","是否幂零：",IsNilpotentGroup(G),",","自同构群：",IdGroup(AutomorphismGroup(G)),",",StructureDescription(G),"\n");od;
[ 16, 1 ]:1,1,2,4,8,秩：1,是否幂零：true,自同构群：[ 8, 2 ],C16
[ 16, 2 ]:1,3,12,0,0,秩：2,是否幂零：true,自同构群：[ 96, 195 ],C4 x C4
[ 16, 3 ]:1,7,8,0,0,秩：2,是否幂零：true,自同构群：[ 32, 27 ],(C4 x C2) : C2
[ 16, 4 ]:1,3,12,0,0,秩：2,是否幂零：true,自同构群：[ 32, 27 ],C4 : C4
[ 16, 5 ]:1,3,4,8,0,秩：2,是否幂零：true,自同构群：[ 16, 11 ],C8 x C2
[ 16, 6 ]:1,3,4,8,0,秩：2,是否幂零：true,自同构群：[ 16, 11 ],C8 : C2
[ 16, 7 ]:1,9,2,4,0,秩：2,是否幂零：true,自同构群：[ 32, 43 ],D16
[ 16, 8 ]:1,5,6,4,0,秩：2,是否幂零：true,自同构群：[ 16, 11 ],QD16
[ 16, 9 ]:1,1,10,4,0,秩：2,是否幂零：true,自同构群：[ 32, 43 ],Q16
[ 16, 10 ]:1,7,8,0,0,秩：3,是否幂零：true,自同构群：[ 192, 1493 ],C4 x C2 x C2
[ 16, 11 ]:1,11,4,0,0,秩：3,是否幂零：true,自同构群：[ 64, 138 ],C2 x D8
[ 16, 12 ]:1,3,12,0,0,秩：3,是否幂零：true,自同构群：[ 192, 955 ],C2 x Q8
[ 16, 13 ]:1,7,8,0,0,秩：3,是否幂零：true,自同构群：[ 48, 48 ],(C4 x C2) : C2
Error, the group identification for groups of size 20160 is not available called from
[ 16, 14 ]:1,15,0,0,0,IdGroup( AutomorphismGroup( G ) ) called from
<function "unknown">( <arguments> )
called from read-eval loop at line 13 of *stdin*
you can 'quit;' to quit to outer loop, or
you can 'return;' to continue

2014-7-5补充:
16阶群G16_6的中心是C_2×C_2，换位子群是C_2。
0
1
6
7
|Z(K8C2)|=4
0
6
|(K8C2)'|=2

16阶Pauli群的中心是C_4，换位子群是C_2。
0
1
14
15
|Z(P)|=4
0
1
|(P)'|=2
20140705证明了16阶Pauli群P是Q_8的扩群；D_4×C_2是D_4的扩群；C_4×C_4是C_4的扩群；S_4是C_4的扩群。
gap> F:=FreeGroup(2);;QD_16:=F/[F.1^8,F.2^2,F.2*F.1*F.2*(F.1^3)^(-1)];;IdGroup(QD_16);
[ 16, 8 ]
gap> F:=FreeGroup(2);;QD_8:=F/[F.1^4,F.2^2,F.2*F.1*F.2*(F.1)^(-1)];;IdGroup(QD_8);
[ 8, 2 ]
gap> F:=FreeGroup(2);;QD_32:=F/[F.1^16,F.2^2,F.2*F.1*F.2*(F.1^7)^(-1)];;IdGroup(QD_32);
[ 32, 19 ]
gap> F:=FreeGroup(2);;QD_64:=F/[F.1^32,F.2^2,F.2*F.1*F.2*(F.1^15)^(-1)];;IdGroup(QD_64);
[ 64, 53 ]
gap> F:=FreeGroup(2);;M_32:=F/[F.1^16,F.2^2,F.2*F.1*F.2*(F.1^9)^(-1)];;IdGroup(M_32);
[ 32, 17 ]
gap> F:=FreeGroup(2);;M_16:=F/[F.1^8,F.2^2,F.2*F.1*F.2*(F.1^5)^(-1)];;IdGroup(M_16);
[ 16, 6 ]
gap> F:=FreeGroup(2);;D_8:=F/[F.1^4,F.2^2,F.2*F.1*F.2*(F.1^3)^(-1)];;IdGroup(D_8);
[ 8, 3 ]
gap> F:=FreeGroup(2);;M_64:=F/[F.1^32,F.2^2,F.2*F.1*F.2*(F.1^17)^(-1)];;IdGroup(M_64);
[ 64, 51 ]
20140706证明了16阶拟二面体群QD_16是Q_8的扩群；D_8是C_8的扩群；D_4是C_4的扩群；C_4×C_2是C_4的扩群；D_4×C_2是C_4×C_2的扩群；G16_6是C_4×C_2的扩群；
Q_8：
0,0,0,0,0,0,0,0
5,6,8,7,2,1,3,4
3,4,2,1,7,8,6,5
2,1,4,3,6,5,8,7
16阶Pauli群P：
0,0,0,0,0,0,0,0
5,6,8,7,2,1,3,4
3,4,2,1,7,8,6,5
2,1,4,3,6,5,8,7
5,6,7,8,1,2,3,4
16阶拟二面体群QD_16：
0,0,0,0,0,0,0,0
5,6,8,7,2,1,3,4
3,4,2,1,7,8,6,5
2,1,4,3,6,5,8,7
8,7,5,6,2,1,4,3
D_4：
0,0,0,0,0,0,0
3,4,1,2,5,7,6
1,3,2,4,5,6,7
D_4×C_2：
0,0,0,0,0,0,0
3,4,1,2,5,7,6
1,3,2,4,5,6,7
1,2,3,4,5,7,6
C_4：
0,0,0,0,0,0,0,0
2,3,4,1,5,6,7,8
C_4×C_4：
0,0,0,0,0,0,0,0
2,3,4,1,5,6,7,8
1,2,3,4,6,7,8,5
C_4×C_2：
0,0,0,0,0,0,0,0
2,3,4,1,5,6,7,8
1,2,3,4,6,5,7,8
D_4：
0,0,0,0,0,0,0,0
2,3,4,1,5,6,7,8
1,4,3,2,6,5,7,8
S_4：
0,0,0,0,0,0,0,0
2,3,4,1,5,6,7,8
1,2,4,3,5,6,7,8
C_8：
0,0,0,0,0,0,0,0
2,3,4,5,6,7,8,1
D_8：
0,0,0,0,0,0,0,0
2,3,4,5,6,7,8,1
8,7,6,5,4,3,2,1
C_4×C_2：
0,0,0,0,0,0,0,0
2,3,4,1,5,6,7,8
4,1,2,3,7,8,5,6
D_4×C_2：
0,0,0,0,0,0,0,0
2,3,4,1,5,6,7,8
4,1,2,3,7,8,5,6
4,3,2,1,8,7,6,5
2014-6-1补充:

1.1  问题的提出及研究意义

2.1  群论的发展及内容
2.2 群论的研究方法及应用

20151101猜想：有理数域上的分圆扩张的伽罗瓦群不可能是GAP4[16,14]=E_16、GAP4[16,2]=C_4×C_4。或者说对任意n，(Z/nZ)^*≠E_16、C_4×C_4。
gap> n:=16;;for i in [n..500] do Ui:=Units(Integers mod i);;gid:=IdGroup(Ui);if n=gid[1] then Print(i,":",gid,"\n");fi;od;
17:[ 16, 1 ]
GAP4[16,1]=G16_1=C_16
32:[ 16, 5 ]
GAP4[16,5]=G16_3=C_2×C_8=U32有1个1阶元，3个2阶元，4个4阶元，8个8阶元，0个16阶元
34:[ 16, 1 ]
40:[ 16, 10 ]
GAP4[16,10]=G16_4=C_2×C_2×C_4=U40=U48有1个1阶元，7个2阶元，8个4阶元，0个8阶元，0个16阶元
48:[ 16, 10 ]
60:[ 16, 10 ]
16阶非循环阿贝尔群：K_4⊕C_4=U40=U48≠K_4⊕K_4≠C_8⊕C_2=U32≠C_4⊕C_4
16阶阿贝尔群：K_4×C_4≠ K_4×K_4≠C_8×C_2≠C_4×C_4

The exponent of a group is defined as the least common multiple of the orders of all elements of the group. If there is no least common multiple, the exponent is taken to be infinity (or sometimes zero, depending on the convention).

16阶初等阿贝尔群C_2×C_2×C_2×C_2的指数为2
16阶阿贝尔群C_4×C_4、C_2×C_2×C_4的指数为4
16阶阿贝尔群C_2×C_8的指数为8
16阶循环群C_16的指数为16

rank(Q_8)=2
rank(D_4)=2

1  1  循环  8  C8  C8  8  --  --  --
2  2  阿贝尔  4  C2×C4  C2×C4  8  --  --  --
3  5  阿贝尔  2  C23  C23  8  --  --  --
4  4  幂零  4  C2  C22  5  6  6  6
5  3  幂零  4  C2  C22  5  10  8  6

rank(A_4)=2
rank(Q_12)=2
http://groupprops.subwiki.org/wiki/Symmetric_group:S3

(1,2)和(2,3)不交换

S_3的2阶群不唯一，所以不是正规子群，从而非幂零（群G幂零当且仅当所有Sylow子群都正规）

e是1阶元
c,d,f是2阶元，c^2=e，d^2=e，f^2=e
a,b是3阶元，ab=ba=e=a^3=b^3
{e,a,b}=C_3是S_3的正规子群

e(x)=x
a(x)=(x-1)/x
b(x)=1/(1-x)
c(x)=1-x
d(x)=x/(x-1)
f(x)=1/x

http://www.docin.com/p-808223186.html

http://www.doc88.com/p-384777328732.html

1定义及引理

2主要结果及其证明

（i）是可解群；（ii）是3阶循环群或者6阶群。

http://www.docin.com/p-541668648.html

C_2 e c_2
χ^(1) 1 1
χ^(2) 1 -1

1确定不可约表示的个数和相应维数
2.必有单位表示
3.单位表示的特征标等于表示的维度
4.利用特征标的正交性、完备性定理
5.利用某些群元的特殊性质
6.利用商群

http://www.docin.com/p-558256003.html

http://www.docin.com/p-376188524.html

http://www.docin.com/p-255348858.html
Frobenius群及其某些性质的特征标证明

http://www.docin.com/p-706802731.html

Frobenius群的若干刻划
http://www.docin.com/p-706287836.html

Frobenius定理是德国数学家F.G.Frobenius在1901年提出的，定理内容是：若群H≠{1}是群G的真子群，且对任意g∈G-H都有H∩H^g={1}，则存在N?G，使得G=N:H。具有这种性质的群后来被命名为Frobenius群。另外，N=G-∪[g∈G](H^g-{1})是G的正规子群，称之为群G的Frobenius核，自上世纪初由Frobenius给出了利用特征标理论的证明后，就引发了找出该定理纯群论证明的挑战，同时也导致了对Frobenius群的研究热潮。

Frobenius群除本身具有很多独特的性质之外，在它的性质和结构逐渐清楚之后，使得Frobenius群在有限群的研究和构造中成为一个重要的工具。例如：若非平凡群无不动点地作用在非平凡群N上，则半直积G=N:H就构成Frobenius群，进而可刻划出该群的结构。

http://www.docin.com/p-778073095.html

http://oeis.org/wiki/Number_of_groups_of_order_n
52种48阶群：5种Abel群，9种非Abel幂零群，38种非幂零可解群
http://pari.math.u-bordeaux.fr/galpol/48/
13种60阶群：2种Abel群，0种非Abel幂零群，10种非幂零可解群，1种非可解群
http://pari.math.u-bordeaux.fr/galpol/60/

Q12C5有1个1阶元，1个2阶元，2个3阶元，6个4阶元，4个5阶元，2个6阶元，4个10阶元，0个12阶元，8个15阶元，24个20阶元，8个30阶元，0个60阶元

Q20C3有1个1阶元，1个2阶元，2个3阶元，10个4阶元，4个5阶元，2个6阶元，4个10阶元，20个12阶元，8个15阶元，0个20阶元，8个30阶元，0个60阶元

Q60有1个1阶元，1个2阶元，2个3阶元，30个4阶元，4个5阶元，2个6阶元，4个10阶元，0个12阶元，8个15阶元，0个20阶元，8个30阶元，0个60阶元

C60有1个1阶元，1个2阶元，2个3阶元，2个4阶元，4个5阶元，2个6阶元，4个10阶元，4个12阶元，8个15阶元，8个20阶元，8个30阶元，16个60阶元

A5有1个1阶元，15个2阶元，20个3阶元，0个4阶元，24个5阶元，0个6阶元，0个10阶元，0个12阶元，0个15阶元，0个20阶元，0个30阶元，0个60阶元
20140621
GL(2,5)有1个1阶元，31个2阶元，20个3阶元，152个4阶元，24个5阶元，20个6阶元，40个8阶元，24个10阶元，40个12阶元，0个15阶元，0个16阶元，48个20阶元，80个24阶元，0个30阶元，0个32阶元，0个40阶元，0个48阶元，0个60阶元，0个80阶元，0个96阶元，0个120阶元，0个160阶元，0个240阶元，0个480阶元
SL(2,5)有1个1阶元，1个2阶元，20个3阶元，30个4阶元，24个5阶元，20个6阶元，0个8阶元，24个10阶元，0个12阶元，0个15阶元，0个20阶元，0个24阶元，0个30阶元，0个40阶元，0个60阶元，0个120阶元
SL(2,5)的中心是C_2，换位子群是120阶群，射影中心是60阶群，射影换位子群是C_1
60阶群PSL(2,5)同构于60阶群A_5。
gap> IdGroup(AlternatingGroup(5));
[ 60, 5 ]
gap> IdGroup(PSL(2,5));
[ 60, 5 ]
GL(2,5)是(25-1)(25-5)=480阶群，SL(2,5)是480/4=120阶群，PSL(2,5)是120/2=60阶群。
gap> IdGroup(GL(2,5));
[ 480, 218 ]
gap> IdGroup(PGL(2,5));
[ 120, 34 ]
20140620
GL(2,4)有1个1阶元，15个2阶元，62个3阶元，0个4阶元，24个5阶元，30个6阶元，0个9阶元，0个10阶元，0个12阶元，48个15阶元，0个18阶元，0个20阶元，0个30阶元，0个36阶元，0个45阶元，0个60阶元，0个90阶元，0个180阶元
GL(2,4)=A_5×C_3=D(GL(2,4))×Z(GL(2,4))，即这个180阶群的换位子群、射影中心是A_60，中心、射影换位子群是C_3

F20C3有1个1阶元，5个2阶元，2个3阶元，10个4阶元，4个5阶元，10个6阶元，0个10阶元，20个12阶元，8个15阶元，0个20阶元，0个30阶元，0个60阶元

D5D3有1个1阶元，23个2阶元，2个3阶元，0个4阶元，4个5阶元，10个6阶元，12个10阶元，0个12阶元，8个15阶元，0个20阶元，0个30阶元，0个60阶元

A4C5有1个1阶元，3个2阶元，8个3阶元，0个4阶元，4个5阶元，0个6阶元，12个10阶元，0个12阶元，32个15阶元，0个20阶元，0个30阶元，0个60阶元

D5C6=D10C3有1个1阶元，11个2阶元，2个3阶元，0个4阶元，4个5阶元，22个6阶元，4个10阶元，0个12阶元，8个15阶元，0个20阶元，8个30阶元，0个60阶元

C10D3有1个1阶元，7个2阶元，2个3阶元，0个4阶元，4个5阶元，2个6阶元，28个10阶元，0个12阶元，8个15阶元，0个20阶元，8个30阶元，0个60阶元

D15C2有1个1阶元，31个2阶元，2个3阶元，0个4阶元，4个5阶元，2个6阶元，4个10阶元，0个12阶元，8个15阶元，0个20阶元，8个30阶元，0个60阶元

C15C2C2有1个1阶元，3个2阶元，2个3阶元，0个4阶元，4个5阶元，6个6阶元，12个10阶元，0个12阶元，8个15阶元，0个20阶元，24个30阶元，0个60阶元
52种48阶群

1  2  循环  48  C3×C16  C3×C16  48  --  --  --
2  23  阿贝尔  24  C2×C3×C8  C2×C3×C8  48  --  --  --
3  20  阿贝尔  12  C3×C42  C3×C42  48  --  --  --
4  44  阿贝尔  12  C22×C3×C4  C22×C3×C4  48  --  --  --
5  52  阿贝尔  6  C24×C3  C24×C3  48  --  --  --
6  7  两面体  24  C2  C22  15  68  22  11
7  27  幂零  24  C2×C3  C22×C3  21  22  18  14
8  26  幂零  24  C2×C3  C22×C3  21  30  20  14
9  25  幂零  24  C2×C3  C22×C3  21  38  22  14
10  24  幂零  24  C3×C4  C2×C3×C4  30  22  20  18
11  47  幂零  12  C3×C4  C23×C3  30  46  40  34
12  22  幂零  12  C22×C3  C2×C3×C4  30  30  26  22
13  21  幂零  12  C22×C3  C2×C3×C4  30  46  34  22
14  46  幂零  12  C22×C3  C23×C3  30  38  38  38
15  45  幂零  12  C22×C3  C23×C3  30  70  54  38
16  1  可解  48  C8  C16  24  12  10  9
17  28  可解  24  C2  C2  8  35  13  5
18  29  可解  24  C2  C2  8  55  16  5
19  18  可解  24  C2  C22  12  32  18  11
20  16  可解  24  C2  C22  12  40  20  11
21  17  可解  24  C2  C22  12  48  20  11
22  15  可解  24  C2  C22  12  56  22  11
23  8  可解  24  C2  C22  15  36  18  11
24  6  可解  24  C2  C22  15  52  20  11
25  10  可解  24  C4  C2×C4  18  28  20  15
26  5  可解  24  C4  C2×C4  18  36  20  13
27  4  可解  24  C8  C2×C8  24  36  22  15
28  9  可解  24  C2×C4  C2×C8  24  28  22  19
29  3  可解  12  1  C3  8  36  10  4
30  30  可解  12  C2  C4  10  52  19  7
31  48  可解  12  C2  C22  10  98  33  9
32  40  可解  12  C2  C23  15  64  38  25
33  39  可解  12  C2  C23  15  72  40  23
34  41  可解  12  C2  C23  15  80  40  23
35  38  可解  12  C2  C23  15  120  54  25
36  33  可解  12  C4  C2×C3  14  37  15  7
37  37  可解  12  C4  C23  18  76  40  23
38  31  可解  12  C4  C3×C4  16  42  19  9
39  32  可解  12  C22  C2×C3  14  41  18  9
40  12  可解  12  C22  C2×C4  18  44  26  17
41  13  可解  12  C22  C2×C4  18  44  26  19
42  19  可解  12  C22  C2×C4  18  60  34  19
43  14  可解  12  C22  C2×C4  18  76  34  17
44  34  可解  12  C22  C23  18  60  38  27
45  43  可解  12  C22  C23  18  108  54  27
46  36  可解  12  C22  C23  18  124  54  27
47  11  可解  12  C2×C4  C42  24  44  30  23
48  35  可解  12  C2×C4  C22×C4  24  92  54  35
49  42  可解  12  C23  C22×C4  24  76  54  43
50  50  可解  6  1  C3  8  104  34  8
51  49  可解  6  C22  C22×C3  16  92  39  15
52  51  可解  6  C23  C24  24  236  134  83
13种60阶群

1  5  单  30  1  1  5  59  9  2
2  4  循环  60  C3×C4×C5  C3×C4×C5  60  --  --  --
3  13  阿贝尔  30  C22×C3×C5  C22×C3×C5  60  --  --  --
4  12  两面体  30  C2  C22  18  80  20  11
5  7  可解  60  1  C4  9  40  12  7
6  3  可解  60  C2  C4  18  32  12  9
7  6  可解  60  C3  C3×C4  15  28  12  8
8  2  可解  60  C2×C3  C3×C4  24  20  12  10
9  1  可解  60  C2×C5  C4×C5  30  16  12  10
10  8  可解  30  1  C22  12  72  20  10
11  9  可解  30  C5  C3×C5  20  20  10  6
12  10  可解  30  C2×C3  C22×C3  24  44  20  14
13  11  可解  30  C2×C5  C22×C5  30  32  20  14
15种24阶群

1  2  循环  24  C3×C8  C3×C8  24  --  --  --
2  9  阿贝尔  12  C2×C3×C4  C2×C3×C4  24  --  --  --
3  15  阿贝尔  6  C23×C3  C23×C3  24  --  --  --
4  6  两面体  12  C2  C22  9  34  16  9
5  11  幂零  12  C2×C3  C22×C3  15  12  12  12
6  10  幂零  12  C2×C3  C22×C3  15  20  16  12
7  1  可解  24  C4  C8  12  10  8  7
8  12  可解  12  1  C2  5  30  11  4
9  3  可解  12  C2  C3  7  15  7  4
10  4  可解  12  C2  C22  9  18  12  9
11  8  可解  12  C2  C22  9  30  16  9
12  5  可解  12  C4  C2×C4  12  26  16  11
13  7  可解  12  C22  C2×C4  12  22  16  13
14  13  可解  6  C2  C2×C3  8  26  12  6
15  14  可解  6  C22  C23  12  54  32  21
14种16阶群

1  1  循环  16  C16  C16  16  --  --  --
2  5  阿贝尔  8  C2×C8  C2×C8  16  --  --  --
3  2  阿贝尔  4  C42  C42  16  --  --  --
4  10  阿贝尔  4  C22×C4  C22×C4  16  --  --  --
5  14  阿贝尔  2  C24  C24  16  --  --  --
6  9  幂零  8  C2  C22  7  11  9  7
7  8  幂零  8  C2  C22  7  15  10  7
8  7  幂零  8  C2  C22  7  19  11  7
9  6  幂零  8  C4  C2×C4  10  11  10  9
10  13  幂零  4  C4  C23  10  23  20  17
11  4  幂零  4  C22  C2×C4  10  15  13  11
12  3  幂零  4  C22  C2×C4  10  23  17  11
13  12  幂零  4  C22  C23  10  19  19  19
14  11  幂零  4  C22  C23  10  35  27  19

http://www.math.niu.edu/~beachy/courses/algebra/pedersen/small_groups.html
2种10阶群：
GAP4[10,2]=G10_1=C_10有1个1阶元，1个2阶元，4个5阶元，4个10阶元
GAP4[10,1]=G10_2=D_5有1个1阶元，5个2阶元，4个5阶元，0个10阶元
5种20阶群：
GAP4[20,2]=G20_1=C_20有1个1阶元，1个2阶元，2个4阶元，4个5阶元，4个10阶元，8个20阶元
GAP4[20,5]=G20_2=C_2×C_2×C_5有1个1阶元，3个2阶元，0个4阶元，4个5阶元，12个10阶元，0个20阶元
GAP4[20,1]=G20_3=Q_20有1个1阶元，1个2阶元，10个4阶元，4个5阶元，4个10阶元，0个20阶元
GAP4[20,3]=G20_4=F_20(Frobenius group F_20)有1个1阶元，5个2阶元，10个4阶元，4个5阶元，0个10阶元，0个20阶元

F上一维仿射群AGL_1(F)构成F的对称群Sym(F)的一个子群。

F_5上的1维一般仿射群GA(1,5)=Sz(2)=GAP4[20,3]是F_5的加法群和乘法群的半直积。
Sz(2)是唯一的非单铃木群。铃木群以日本数学家铃木通夫(M.Suzuki,1926-1998)的姓氏命名
gap> G:=SuzukiGroup(2);IdGroup(G);
Sz(2)
[ 20, 3 ]

GA(1,2)=C_2=GAP4[2,1]
GA(1,3)=S_3=GAP4[6,1]
GA(1,4)=A_4=GAP4[12,3]
GA(1,5)=SuzukiGroup(2)=GAP4[20,3]
GA(1,7)=GAP4[42,1]
GA(1,8)=GAP4[56,11]
GA(1,9)=GAP4[72,39]

GAP4[20,4]=G20_5=D_10=D_5×C_2有1个1阶元，11个2阶元，0个4阶元，4个5阶元，4个10阶元，0个20阶元
4种30阶群：
GAP4[30,4]=G30_1=C_30有1个1阶元，1个2阶元，2个3阶元，4个5阶元，2个6阶元，4个10阶元，8个15阶元，8个30阶元
GAP4[30,1]=G30_2=D_3×C_5有1个1阶元，3个2阶元，2个3阶元，4个5阶元，0个6阶元，12个10阶元，8个15阶元，0个30阶元
GAP4[30,2]=G30_3=D_5×C_3有1个1阶元，5个2阶元，2个3阶元，4个5阶元，10个6阶元，0个10阶元，8个15阶元，0个30阶元
GAP4[30,3]=G30_4=D_15有1个1阶元，15个2阶元，2个3阶元，4个5阶元，0个6阶元，0个10阶元，8个15阶元，0个30阶元
GL(2,Z[i])的有限子群http://www.docin.com/p-717625929.html
16阶模群<{0,1,0,0,0,0,1,0},{0,1,1,0,1,1,-1,-1}>=<{0,1,0,0,0,0,1,0},{1,0,0,-1,0,0,0,0}>的C++程序实现：
CIM2 g_CIM2Elem[16]={
{1,0,0,1,0,0,0,0},//I=Y^2
{-1,0,0,-1,0,0,0,0},//-I=X^4
{0,1,0,0,0,0,1,0},//X
{0,1,1,0,1,1,-1,-1},//Y
{0,0,0,0,1,0,0,1},//X^2
{0,0,-1,0,0,1,0,0},//X^3
{1,0,-1,-1,-1,-1,0,1},//XY
{-1,0,1,1,1,1,0,-1},//YX=-XY
{0,-1,0,0,0,0,-1,0},//-X
{0,-1,-1,0,-1,-1,1,1},//-Y
{0,0,0,0,-1,0,0,-1},//-X^2
{0,0,1,0,0,-1,0,0},//-X^3
{-1,-1,1,1,0,1,1,0},//X^2Y=YX^2
{1,1,0,-1,1,0,-1,-1},//X^3Y
{-1,-1,0,1,-1,0,1,1},//YX^3=-X^3Y
{1,1,-1,-1,0,-1,-1,0}//-X^2Y=-YX^2
};

CIM2 g_CIM2Elem[16]={
{1,0,0,1,0,0,0,0},//I=Y^2
{-1,0,0,-1,0,0,0,0},//-I=X^4
{0,1,0,0,0,0,1,0},//X
{1,0,0,-1,0,0,0,0},//Y
{0,0,0,0,1,0,0,1},//X^2
{0,0,-1,0,0,1,0,0},//X^3
{0,-1,0,0,0,0,1,0},//XY
{0,1,0,0,0,0,-1,0},//YX=-XY
{0,-1,0,0,0,0,-1,0},//-X
{-1,0,0,1,0,0,0,0},//-Y
{0,0,0,0,-1,0,0,-1},//-X^2
{0,0,1,0,0,-1,0,0},//-X^3
{0,0,0,0,1,0,0,-1},//X^2Y=
{0,0,-1,0,0,-1,0,0},//X^3Y
{0,0,1,0,0,1,0,0},//YX^3=-X^3Y
{0,0,0,0,-1,0,0,1}//-X^2Y=
};
int g_M16Mul[16][16]={
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15},
{1,0,8,9,10,11,7,6,2,3,4,5,15,14,13,12},
{2,8,4,6,5,1,12,15,10,7,11,0,13,9,3,14},
{3,9,7,0,12,14,8,2,6,1,15,13,4,11,5,10},
{4,10,5,12,1,8,13,14,11,15,0,2,9,7,6,3},
{5,11,1,13,8,10,9,3,0,14,2,4,7,15,12,6},
{6,7,15,2,13,3,10,4,12,8,14,9,5,0,1,11},
{7,6,12,8,14,9,4,10,15,2,13,3,11,1,0,5},
{8,2,10,7,11,0,15,12,4,6,5,1,14,3,9,13},
{9,3,6,1,15,13,2,8,7,0,12,14,10,5,11,4},
{10,4,11,15,0,2,14,13,5,12,1,8,3,6,7,9},
{11,5,0,14,2,4,3,9,1,13,8,10,6,12,15,7},
{12,15,14,4,9,6,11,5,13,10,3,7,1,2,8,0},
{13,14,3,5,7,12,0,1,9,11,6,15,8,4,10,2},
{14,13,9,11,6,15,1,0,3,5,7,12,2,10,4,8},
{15,12,13,10,3,7,5,11,14,4,9,6,0,8,2,1},
};
G16ElementToOrder(0)=1
G16ElementToOrder(1)=2
G16ElementToOrder(2)=8
G16ElementToOrder(3)=2
G16ElementToOrder(4)=4
G16ElementToOrder(5)=8
G16ElementToOrder(6)=8
G16ElementToOrder(7)=8
G16ElementToOrder(8)=8
G16ElementToOrder(9)=2
G16ElementToOrder(10)=4
G16ElementToOrder(11)=8
G16ElementToOrder(12)=4
G16ElementToOrder(13)=8
G16ElementToOrder(14)=8
G16ElementToOrder(15)=4
GL(2,Z[i])的16阶子群 G16_8=M_16有1个1阶元，3个2阶元，4个4阶元，8个8阶元，0个16阶元
SU(2)的16阶子群Pauli group G_1=P=G16_14的C++程序实现：
struct CIM2
{
int a,b,c,d;
int ai,bi,ci,di;
};
CIM2 g_CIM2Elem[16]={
{1,0,0,1,0,0,0,0},//I
{-1,0,0,-1,0,0,0,0},//-I
{0,0,0,0,1,0,0,1},//iI
{0,0,0,0,-1,0,0,-1},//-iI
{0,1,1,0,0,0,0,0},//X
{0,-1,-1,0,0,0,0,0},//-X
{0,0,0,0,0,1,1,0},//iX
{0,0,0,0,0,-1,-1,0},//-iX
{0,0,0,0,0,-1,1,0},//Y
{0,0,0,0,0,1,-1,0},//-Y
{0,1,-1,0,0,0,0,0},//iY
{0,-1,1,0,0,0,0,0},//-iY
{1,0,0,-1,0,0,0,0},//Z
{-1,0,0,1,0,0,0,0},//-Z
{0,0,0,0,1,0,0,-1},//iZ
{0,0,0,0,-1,0,0,1}//-iZ
};
int g_PMul[16][16]={
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15},
{1,0,3,2,5,4,7,6,9,8,11,10,13,12,15,14},
{2,3,1,0,6,7,5,4,10,11,9,8,14,15,13,12},
{3,2,0,1,7,6,4,5,11,10,8,9,15,14,12,13},
{4,5,6,7,0,1,2,3,14,15,13,12,11,10,8,9},
{5,4,7,6,1,0,3,2,15,14,12,13,10,11,9,8},
{6,7,5,4,2,3,1,0,13,12,15,14,8,9,10,11},
{7,6,4,5,3,2,0,1,12,13,14,15,9,8,11,10},
{8,9,10,11,15,14,12,13,0,1,2,3,6,7,5,4},
{9,8,11,10,14,15,13,12,1,0,3,2,7,6,4,5},
{10,11,9,8,12,13,14,15,2,3,1,0,5,4,7,6},
{11,10,8,9,13,12,15,14,3,2,0,1,4,5,6,7},
{12,13,14,15,10,11,9,8,7,6,4,5,0,1,2,3},
{13,12,15,14,11,10,8,9,6,7,5,4,1,0,3,2},
{14,15,13,12,9,8,11,10,4,5,6,7,2,3,1,0},
{15,14,12,13,8,9,10,11,5,4,7,6,3,2,0,1},
};
G16ElementToOrder(0)=1
G16ElementToOrder(1)=2
G16ElementToOrder(2)=4
G16ElementToOrder(3)=4
G16ElementToOrder(4)=2
G16ElementToOrder(5)=2
G16ElementToOrder(6)=4
G16ElementToOrder(7)=4
G16ElementToOrder(8)=2
G16ElementToOrder(9)=2
G16ElementToOrder(10)=4
G16ElementToOrder(11)=4
G16ElementToOrder(12)=2
G16ElementToOrder(13)=2
G16ElementToOrder(14)=4
G16ElementToOrder(15)=4
Pauli group P=G16_14有1个1阶元，7个2阶元，8个4阶元，0个8阶元，0个16阶元

SU(2)的基本表示（二维表示）是g={{z_1,-~z_2},{z_2,~z_1}}∈SU(2)

SU(2)群流形相当于R^4中的单位球S^3
|i|=|j|=|k|=1

a_0+a_1x+…+a_(n_1)x^(n-1)+<p(x)>，a_i∈F_p，但由于系数取自于F_p，每个a_i都有p种取法，故系数共有p^n种取法。亦即域F_p/<p(x)>共包含p^n个元素。

p(x)=x^2+x+1是F_2上一个不可约多项式。因为p(0)=1,p(1)=1,p(x)=0在F_2上无解。

F_4=F_2[x]/<x^2+x+1>的加法运算表：

 + 0 1 x x+1 0 0 1 x x+1 1 1 0 x+1 x x x x+1 0 1 x+1 x+1 x 1 0

 * 0 1 x x+1 0 0 0 0 0 1 0 1 x x+1 x 0 x x^2=x+1 x(x+1)=x^2+x=(x^2+x+1)+1=1 x+1 0 x+1 1 x^2+1=x

F_4的域元编号

0——(0,0)

1——(1,0)

2——(0,1)

3——(1,1)

0 1 2 3
1 0 3 2
2 3 0 1
3 2 1 0

0 0 0 0

0 1 2 3

0 2 3 1

0 3 1 2

p(x)=x^2+1在F_3上不可约，因为p(0)=1,p(1)=2,p(2)=2,p(x)=0在F_3上无解。

p(x)=x^3+x+1在F_2上不可约，因为p(0)=1,p(1)=1，所以F_8=F_2[x]/<x^3+x+1>。

f(x)在F上的分裂域E是包含F且f(x)能在其中完全分解的最小域。

12阶循环环(加法群是C_12)有T(12)=|{1,2,3,4,6,12}|=6个
12阶非循环环(加法群是C_2×C_2×C_3)有22-6=16个

Z/8Z是一个交换局部环,J(Z/8Z)={0,2,4,8}=(2)
R={{{a,b,c},{0,a,0},{0,0,a}}|a,b,c∈Z/2Z}<=M_3(Z/2Z)是8阶交换局部环
C_2×C_2×C_2——>R8_C2C2C2_28_4a
R’={{{a,0,c},{0,a,b},{0,0,a}}|a,b,c∈Z/2Z}<=M_3(Z/2Z)是8阶交换局部环
C_2×C_2×C_2——>R8_C2C2C2_28_4b
R=R'

14种16阶群的结构与表示

rank(G)=min{|X|:X{<=}G,<X>=G}

http://users.minet.uni-jena.de/~green/Coho_v3/16gps/index.html
http://users.minet.uni-jena.de/~green/Coho_v3/index.html
http://groupprops.subwiki.org/wiki/Groups_of_order_16
http://escarbille.free.fr/group.php
http://www.math.niu.edu/~beachy/aaol/grouptables1.html
16阶非Abel群有9个：D_8,P_2,Q_16,D_4×C_2,P_5,Q_8×C_2,P_7,P_8,P_9

GAP4[16,1]=G16_1=C_16有1个1阶元，1个2阶元，2个4阶元，4个8阶元，8个16阶元
GAP4[16,2]=G16_2=C_4×C_4有1个1阶元，3个2阶元，12个4阶元，0个8阶元，0个16阶元
GAP4[16,5]=G16_3=C_2×C_8有1个1阶元，3个2阶元，4个4阶元，8个8阶元，0个16阶元
GAP4[16,10]=G16_4=C_2×C_2×C_4有1个1阶元，7个2阶元，8个4阶元，0个8阶元，0个16阶元
GAP4[16,14]=G16_5=C_2×C_2×C_2×C_2有1个1阶元，15个2阶元，0个4阶元，0个8阶元，0个16阶元
GAP4[16,3]=Rank=2非Abel幂零群G16_6=K8C2有1个1阶元，7个2阶元，8个4阶元，0个8阶元，0个16阶元
GAP4[16,4]=Rank=2非Abel幂零群G16_7=C4C4有1个1阶元，3个2阶元，12个4阶元，0个8阶元，0个16阶元
GAP4[16,6]=G16_8=M_16有1个1阶元，3个2阶元，4个4阶元，8个8阶元，0个16阶元
GAP4[16,7]=G16_9=D_8有1个1阶元，9个2阶元，2个4阶元，4个8阶元，0个16阶元
GAP4[16,8]=G16_10=QD_16有1个1阶元，5个2阶元，6个4阶元，4个8阶元，0个16阶元
GAP4[16,9]=G16_11=Q_16有1个1阶元，1个2阶元，10个4阶元，4个8阶元，0个16阶元
GAP4[16,11]=G16_12=D_4×C_2有1个1阶元，11个2阶元，4个4阶元，0个8阶元，0个16阶元
GAP4[16,12]=Rank=3非Abel幂零群G16_13=Q_8×C_2有1个1阶元，3个2阶元，12个4阶元，0个8阶元，0个16阶元
GAP4[16,13]=Rank=3非Abel幂零群G16_14=Cb8C2=P有1个1阶元，7个2阶元，8个4阶元，0个8阶元，0个16阶元
gap> G:=SmallGroup(16,3);IdGroup(G);RankPGroup(G);L:=List(Elements(G),Order);M:=[1,2,4,8,16];for i in M do Print(Size(Positions(L,i)),","); od;
<pc group of size 16 with 4 generators>
[ 16, 3 ]
2
[ 1, 4, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 2, 4 ]
[ 1, 2, 4, 8, 16 ]
1,7,8,0,0,
gap> G:=SmallGroup(16,13);IdGroup(G);RankPGroup(G);L:=List(Elements(G),Order);M:=[1,2,4,8,16];for i in M do Print(Size(Positions(L,i)),","); od;
<pc group of size 16 with 4 generators>
[ 16, 13 ]
3
[ 1, 2, 2, 4, 2, 4, 4, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 4, 4, 2 ]
[ 1, 2, 4, 8, 16 ]
1,7,8,0,0,

O(2,7)有1个1阶元(e=1,0,0,1)，9个2阶元(x=0,1,1,0,a^4=6,0,0,6,xa=5,2,2,2,xa^2=6,0,0,1,xa^3=5,5,5,2,xa^4=0,6,6,0,xa^5=2,5,5,5,xa^6=1,0,0,6,xa^7=7=2,2,2,5)，2个4阶元(a^2=0,1,6,0,a^6=0,6,1,0)，4个8阶元
(a=2,2,5,2,a^3=5,2,5,5,a^5=13=5,5,2,5,a^7=2,5,2,2)，0个16阶元
e=1,x=2,a=8
a^2=3=0,1,6,0
a^4=3*3=16=6,0,0,6
a^3=12=5,2,5,5
a^5=13=5,5,2,5
a^6=4=0,6,1,0
a^7=9=2,5,2,2
xa=2*8=11=5,2,2,2
xa^2=11*8=15=6,0,0,1
xa^3=15*8=14=5,5,5,2
xa^4=14*8=5=0,6,6,0
xa^5=5*8=10=2,5,5,5
xa^6=10*8=6=1,0,0,6
xa^7=6*8=7=2,2,2,5

D_8=<a,x|a^8=x^2=e,xax^(-1)=a^-1>
D_4=<b=a^2,x|b^4=a^8=x^2=e,xa^2x^(-1)=(a^2)^-1>={e,a^2,a^4,a^6,x,xa^2,xa^4,xa^6}
1 2 3 4 5 6 7 8
2 3 4 1 8 5 6 7
3 4 1 2 7 8 5 6
4 1 2 3 6 7 8 5
5 6 7 8 1 2 3 4
6 7 8 5 4 1 2 3
7 8 5 6 3 4 1 2
8 5 6 7 2 3 4 1
1
4
2
4
2
2
2
2

### wangxuwei

14种16阶群、13种60阶群的结构与表示（2014-5-25,5-28,5-29）(附GAP软件的使用)

wangxuwei
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2015/04/04
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1 前言 从时间上看，订单量时间序列有两个明显的特征： 1）周期性。每天订单量的变化趋势都大致相同，午高峰和晚高峰订单量集中； 2）实时性。当天的订单量可能会受天气等因素影响，呈现整体...

jmqAPI
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IT公司100题-27-跳台阶问题

2016/01/08
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Windows平台下搭建Git服务器 1、在自己电脑搭建Git服务器，且只有自己的电脑能访问。 即使是自己一个人在开发代码也强烈建议使用Git来管理代码。当然也可以只使用本地Git仓库的形式来管理代码...

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JackFace
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java_集合

grace_233
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^((?!xxx).)*\$

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