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时间复杂度 空间复杂度

一个能打的都没有
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发布于 2014/08/15 15:50
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①时间复杂度

      一般情况下,算法的基本操作重复执行的次数是模块n的某一个函数f(n)。

      因此,算法的时间复杂度记做:T(n)=O(f(n))。

      当我们评价一个算法的时间性能时,主要标准就是算法的渐近时间复杂度T(n),因此,在算法分析时,往往对两者不予区分,经常是将渐近时间复杂度T(n)=O(f(n))简称为时间复杂度,其中的f(n)一般是算法中频度最大的语句频度。此外,算法中语句的频度不仅与问题规模有关,还与输入实例中各元素的取值相关。但是我们总是考虑在最坏的情况下的时间复杂度。以保证算法的运行时间不会比它更长。

       在计算时间复杂度的时候,先找出算法的基本操作,然后根据相应的各语句确定它的执行次数,再找出T(n)的同数量级(它的同数量级有以下:1,Log2n ,n ,nLog2n ,n的平方,n的三次方,2的n次方,n!),找出后,f(n)=该数量级,若T(n)/f(n)求极限可得到一常数c,则时间复杂度 T(n)=O(f(n))。常见的时间复杂度,按数量级递增排列依次为:常数阶O(1){Hash表的查找}、对数阶O(log2n){二分查找}、线性阶O(n)、线性对数阶 O(nlog2n){快速排序的平均复杂度}、平方阶O(n^2){冒泡排序}、立方阶O(n^3){求最短路径的Floyd算法}、k次方阶 O(n^k)、指数阶O(2^n){汉诺塔}。

       规则:有如下复杂度关系:c < log2N < n < n * Log2N < n^2 < n^3 < 2^n < 3^n < n!

       其中c是一个常量,如果一个算法的复杂度为c 、 log2N 、n 、 n*log2N ,那么这个算法时间效率比较高 ,如果是 2^n , 3^n ,n!,那么稍微大一些的n就会令这个算法不能动了。

       我们常需要描述特定算法相对于 n(输入元素的个数 )需要做的工作量。在一组未排序的数据中检索,所需的时间与 n成正比;如果是对排序数据用二分检索,花费的时间正比于logn。排序时间可能正比于n^2或者nlogn。

       我们希望能够比较算法的运行时间和空间要求,并使这种比较能与程序设计语言、编译系统、机器结构、处理器的速度及系统的负载等复杂因素无关。

        为了这个目的,人们提出了一种标准的记法,称为“大O记法”.在这种描述中使用的基本参数是 n,即问题实例的规模,把复杂性或运行时间表达为n的函数 。这里的“O”表示量级 (order),比如说“二分检索是 O(logn)的”,也就是说它需要“通过logn量级的步骤去检索一个规模为n的数组”记法O ( f(n) )表示当n增大时,运行时间至多将以正比于f(n)的速度增长。这种渐进估计对算法的理论分析和大致比较是非常有价值的,但在实践中细节也可能造成差异。 例如,一个低附加代价的O(n2)算法在n较小的情况下可能比一个高附加代价的O(nlogn)算法运行得更快。当然,随着n足够大以后,具有较慢上升函 数的算法必然工作得更快。

       Temp=i;i=j;j=temp;

       以上三条单个语句的频度均为1,该程序段的执行时间是一个与问题规模n无关的常数。算法的时间复杂度为常数阶,记作T(n)=O(1)。如果算法的执行时 间不随着问题规模n的增加而增长,即使算法中有上千条语句,其执行时间也不过是一个较大的常数。此类算法的时间复杂度是O(1)。

②实例

1、设三个函数f,g,h分别为 f(n)=100n^3+n^2+1000 , g(n)=25n^3+5000n^2 , h(n)=n^1.5+5000nlgn
请判断下列关系是否成立:
(1) f(n)=O(g(n))
(2) g(n)=O(f(n))
(3) h(n)=O(n^1.5)
(4) h(n)=O(nlgn)
这 里我们复习一下渐近时间复杂度的表示法T(n)=O(f(n)),这里的"O"是数学符号,它的严格定义是"若T(n)和f(n)是定义在正整数集合上的 两个函数,则T(n)=O(f(n))表示存在正的常数C和n0 ,使得当n≥n0时都满足0≤T(n)≤C?f(n)。"用容易理解的话说就是这两个函数当整型自变量n趋向于无穷大时,两者的比值是一个不等于0的常 数。这么一来,就好计算了吧。

(1)成立。题中由于两个函数的最高次项都是n^3,因此当n→∞时,两个函数的比值是一个常数,所以这个关系式是成立的。
(2)成立。与上同理。
(3)成立。与上同理。
(4)不成立。由于当n→∞时n^1.5比nlgn递增的快,所以h(n)与nlgn的比值不是常数,故不成立。

2、设n为正整数,利用大"O"记号,将下列程序段的执行时间表示为n的函数。

i=1; k=0 
while(i<n){ 
   k=k+10*i;
   i++;
}

解答:T(n)=n-1, T(n)=O(n), 这个函数是按线性阶递增的。
3、将下列程序段的执行时间表示为n的函数。

x=n; // n>1 
while (x>=(y+1)*(y+1)){
   y++;
}

解答:T(n)=n1/2 ,T(n)=O(n1/2), 最坏的情况是y=0,那么循环的次数是n1/2次,这是一个按平方根阶递增的函数。

4、将下列程序段的执行时间表示为n的函数。

x=91; y=100; 
while(y>0){
    if(x>100){
       x=x-10;
       y--;
    }else {
       x++;
    }
}


解答: T(n)=O(1), 这个程序看起来有点吓人,总共循环运行了1000次,但是我们看到n没有? 没。这段程序的运行是和n无关的,就算它再循环一万年,我们也不管他,只是一个常数阶的函数。

5、交换i和j的内容

sum=0;                      //  一次
for(i=1;i<=n;i++){           //  n次
    for(j=1;j<=n;j++){       //  n^2次
      sum++;                //  n^2次
    }  
}

       解:T(n)=2n^2+n+1 =O(n^2)

6、另一种循环

for (i=1;i<n;i++){
     y=y+1;                      //语句1
     for (j=0;j<=(2*n);j++){ 
        x++;                     //语句2
     }
}

解:语句1的频度是n-1, 语句2的频度是(n-1)*(2n+1)=2n^2-n-1 。 f(n)=2n^2-n-1+(n-1)=2n^2-2,该程序的时间复杂度T(n)=O(n^2).

7、继续循环

a=0;b=1;                        //语句一
for (i=1;i<=n;i++)             //语句二
{
  s=a+b;                     //语句三
  b=a;                      //语句四
  a=s;                      //语句五
}

解:语句1的频度:2,  语句2的频度: n,  语句3的频度: n-1,   语句4的频度:n-1, 语句5的频度:n1,                                   则:T(n)=2+n+3(n-1)=4n-1=O(n).

8、继续循环

i=1;  
while (i<=n){
  i=i*2;                     //语句二
}

解:语句1的频度是1,   设语句2的频度是f(n),  则:2^f(n)<=n;f(n)<=log2n  ,取最大值f(n)= log2n,

     则该程序的时间复杂度T(n)=O(log2n )

9、继续循环

for(i=0;i<n;i++){  
    for(j=0;j<i;j++){  
        for(k=0;k<j;k++){
             x=x+2;  
        }
    }
}

解:当i=m, j=k的时候,内层循环的次数为k。当i=m时, j 可以取 0,1,...,m-1 ,  所以这里最内循环共进行了0+1+...+m-1=(m-1)m/2次。所以,i从0取到n, 则循环共进行了: 0+(1-1)*1/2+...+(n-1)n/2=n(n+1)(n-1)/6。所以时间复杂度为O(n^3).

      

③总结一下

      下面是一些常用的记法:

  •        访问数组中的元素是常数时间操作,或说O(1)操作。

  •        一个算法如果能在每个步骤去掉一半数据元素,如二分检索,通常它就取O(logn)时间。

  •        一层循环次数于n相关或者间接与n相关的话那么为O(n),两层就为O(n^2),,两层就为O(n^3),例题中有很多

  •         常规的矩阵乘算法是O(n^3),因为算出每个元素都需要将n对元素相乘并加到一起,所有元素的个数是n^2。

  •         我们还应该区分算法的最坏情况的行为和期 望行为。如快速排序的最坏情况运行时间是O(n^2),但期望时间是O(nlogn)。通过每次都仔细地选择基准值,我们有可能把平方情况 (即O(n^2)情况)的概率减小到几乎等于0。在实际中,精心实现的快速排序一般都能以(O(nlogn)时间运行。

  •          指数时间算法通常来源于需要求出所有可能结果。例如,n个元 素的集合共有2n个子集,所以要求出所有子集的算法将是O(2n)的。指数算法一般说来是太复杂了,除非n的值非常小,因为,在这个问题中增加一个元素就 导致运行时间加倍。不幸的是,确实有许多问题 (如著名 的“巡回售货员问题”),到目前为止找到的算法都是指数的。如果我们真的遇到这种情况, 通常应该用寻找近似最佳结果的算法替代之。



本文转载自:http://blog.csdn.net/flyyyri/article/details/5154618

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