经营类游戏:由轴对齐矩形相交判定到判定菱形构成的平行四边形相交判定(一)
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经营类游戏:由轴对齐矩形相交判定到判定菱形构成的平行四边形相交判定(一)
李勇2 发表于3年前
经营类游戏:由轴对齐矩形相交判定到判定菱形构成的平行四边形相交判定(一)
  • 发表于 3年前
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普通多边形之间的相交测试是个复杂的问题,我们只考虑 轴对齐的 菱形问题即菱形的对角线和坐标轴平行的相交问题。

和坐标轴平行的矩形的相交问题:

矩形A B由左上角定点和右下角定点描述, x轴正方向右, y正方向 向下。

             图1

设:A的左上定点 x0y0, 右下 x1 y1    B 左上 x2 y2  右下 x3 y3

二维问题一般降维度处理:

有 如果两个矩形 在 x轴y轴投影都相交, 则两个矩形相交

即: x0 < x3  &&  x2 < x1 && y0 < y3 && y2 < y1

因为两个坐标轴上的相交区域唯一确定一个 矩形

具体的矩形 范围受 坐标的实际大小关系确定


现在我们需要考虑菱形的问题:

菱形的轴是倾斜的, 那么如何求轴上的投影范围, 来进行相交测试呢?

                            图2

好吧,这样计算的确有些困难, 我们参见图1, 可以有个思路, 首先确定一个菱形的包围盒, 任意一个菱形都有唯一的轴对称包围盒。

设一个菱形的坐标轴x方向宽度 2* sizeX,  坐标轴y方向  2* sizeY

考虑:以下三种情况

我们需要求得这些菱形组合的包围盒的大小:

设从左上到右下的为菱形的 轴x方向, 从 右上到坐下 为 菱形轴y方向, sx 为x向 菱形的个数, sy 为y方向个数

情况1:

除了第一个菱形块之外, 其它菱形块每增加一个宽度增加一个sizeX 高度增加 一个 sizeY


宽度 = (2+sy-1)*sizeX (sizeX是单个菱形宽度的一半)  

高度=(2+sy-1)*sizeY (sizeY 是单个菱形高度的一半)

情况2:(最下面的那个)

宽度 = (2+sx-1)*sizeX

高度=(2+sx-1) *sizeY

最后的复杂情况:

先考虑 沿x 方向的 值, 再加上 y方向的值

宽度 = (2+sx-1 + sy-1)*sizeX

高度 = (2+sx-1 + sy-1)*sizeY


实际上简化之后:

宽度 = (sx+sy)*sizeX

高度 = (sx+sy)*sizeY


这些拼接图形的中点 , 就是他们 包围盒的中点?

可以做上辅助线。 我们根据平线线的分割原理就可以证明


下一个问题是求得这个拼接图形的四个定点的位置; 首先我们需要假定 坐标轴的 0,0点在包围盒的左上角, x向右 ,y向下

上图就是四个顶点的所在位置的值。


最后如何判定相交?

考虑倾斜的轴构成的坐标系:

求一个点在这两个轴上的投影长度 , 可以采用内积:

x轴向: (sizeX, sizeY)

y轴向:(-sizeX, sizeY)

t1 = (x, y) *(sizeX, sizeY)/ ( |(x, y)|)

t2 = (x, y)*(-sizeX,  sizeY) /|(x, y)|



所以向判断 矩形一样判断 t1 t2的范围就可以了



下面是pyhon代码:

import math
sizeX = 135/4
sizeY = 67/4

#菱形拼图的x y 长度 和 中心位置
ab = sx1, sy1, x1, y1 = 2, 2, 0, 0
bb = sx2, sy2, x2, y2 = 2, 2, -40, 20

#求得一个拼图的左上角点和右下角点
def getBoundary(arg):
    sx, sy, x, y = arg
    x0 = x - (sx+sy)/2*sizeX
    y0 = y - (sx+sy)/2*sizeY
    x1 = x0 + sy*sizeX
    y1 = y0
    x2 = x0 + sx*sizeX
    y2 = y0 + (sx+sy)*sizeY
    print [x0, y0, x1, y1, x2, y2, sizeX, sizeY]
    return [x1, y1, x2, y2]

#求得一个点在x方向的投影
def getT1(x, y):
    if x == 0 and y == 0:
        return 0
    return (x*sizeX+y*-sizeY)/math.sqrt(x*x+y*y)/math.sqrt(sizeX*sizeX+sizeY*sizeY)
#求得一个点在y方向的投影
def getT2(x, y):
    if x == 0 and y == 0:
        return 0
    return (x*-sizeX+y*-sizeY)/math.sqrt(x*x+y*y)/math.sqrt(sizeX*sizeX+sizeY*sizeY)
def getABound(a):
    a = getBoundary(a)
    t1 = getT1(a[0], a[1])
    t2 = getT2(a[0], a[1])
    t11 = getT1(a[2], a[3])
    t22 = getT2(a[2], a[3])
    print [a, t1, t2, t11, t22]
    return [t1, t2, t11, t22]
def main():
    aBound = getABound(ab)
    bBound = getABound(bb)
    print aBound
    print bBound
main()


错了:

不能通过 求内积来求 点在菱形边上的投影, 只有当菱形的边互相垂直的时候才成立;

这是因为 非直角 不是 普通的几何。


那么该怎么办呢? 如何计算相交?

这个我 再想想



如果我们约束 所有的菱形拼图都是 n*n的话, 存在一种解法:

可以计算两个拼图中心的 x y 差值

再根据 拼图的 边的宽度 = sx*sizeX,  sx*sizeY    

只要保证两个拼图的 x , y 差值 不 小于 边的宽度 就可以了


拼图中心相差的 x y 方向的格子数目, abs(difx)+abs(dify) >= boundA + boundB  则不相交


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