OpenGL投影矩阵的构造
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OpenGL投影矩阵的构造
李勇2 发表于3年前
OpenGL投影矩阵的构造
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参考:

http://www.songho.ca/opengl/gl_projectionmatrix.html


3D空间中的对象,最终显示在屏幕上,需要进行一系列的矩阵变化,将其从世界空间,转化到屏幕上。

坐标的具体转化过程是:


世界坐标world---->视坐标eye-----》不同的投影方法(平行投影,透视投影)投影面上坐标--->正则坐标(将可视体转化成2*2*2的正方体)---->屏幕坐标(像素点)

其中modelView矩阵 将世界坐标转化到eye坐标,  而projection矩阵将视坐标转化到正则坐标, 之后的像素生成不由我们控制。


Opengl使用的矩阵和一般数学中使用的矩阵不同,两者互为转置(transpose), 这有点类似于2维数组存储时行有先还是列优先的问题, 普通是行优先, 而OPENGL采用的是列优先的存储方式。(详细见数据结构---数组---多维数组的存储方式)


有了以上讨论,要构造一个投影矩阵就需要知道:

   采用的投影方法, 如何转化到正则坐标


照相机的坐标系:照相机在原点, 面朝Z负方向, 向上是y轴。


可视体:平行投影中是一个和照相机坐标轴平行的立方体, 由left right bottom top near 和 far 6个值来定义, 其中near表示 近平面距离照相机的位置, far表示远平面距离照相机的距离

下图是一个平行投影的可视体。

1:平行投影

        对于任意在这个可视体中的点,我们需要将其转化到一个正则可视体的坐标系中2*2*2

        即将[left, right]->[-1, 1]  [-near, -far]-->[-1, 1]  [bottom, top]->[-1, 1]

        假设点的eye坐标: xe ye ze we

        则正则坐标  xn yn zn wn


        其中wn 应该是1 表示没有透视效果

        xn = (1-(-1))/(R-L)*(xe-L)+-1

        yn = (1-(-1))/(T-B)*(ye-B) + -1 

        zn = (1-(-1))/(-F-(-n))*(ze-(-n)) + -1

        wn = 1

         

        xn = 2/(R-L)*xe- (R+L)/(R-L)

        yn = 2/(T-B)*ye-(T+B)/(T-B) 

        zn = 2/(N-F)*ze - (-F+-N)/(N-F)

       wn = 1

       通常视坐标中的we = 1

       所以数学上的投影矩阵形式是:

      2/(R-L)       0         0       -(R+L)/(R-L)

      0           2/(T-B)     0       -(T+B)/(T-B)

      0                0     2/(N-F)      (F+N)/(N-F)

      0                0          0                1               

      

2: 透视投影

        透视投影需要首先将视坐标转化到可视体的近面上, 接着再进行正则化。

       

            因此有3钟坐标:

           xe ye ze we  视坐标

           xp yp zp wp 近平面投影坐标

           xc yc zc wc 切割空间坐标

           xn yn zn wn 正则坐标


           因为透视投影有近大远小的特点,需要引入切割空间坐标 用于转化到 正则坐标 xn = xc/wc  yn = yc/wc  zn = zc/wc

            其中wc 和 ze 相关:  wc = -ze  

            而投影矩阵 * 视坐标的结果是 切割空间坐标  即: projectionMatrix * (xe, ye, ze, we) = (xc, yc, zc, wc)

     

第一步:

           缩放x y 方向           

           xp = -n/ze * xe

           yp = -n/ze * ye

第二步 正则化 可视体:          

          设近平面的 范围是 Left  Right Bottom Top

           两个平面的z位置是  [-Near,   -Far]

          所以 [L, R] ->[-1, 1]  [B, T]--->[-1, 1]  [-N, -F]--->[-1, 1]

           类似于平行投影我们得到 xn xp yn yp zn ze 之间的关系,   需要注意zn 是和 ze 之间存在关系, 因为ze范围才是在[-N, -F] 

           xn = 2/(R-L)*xp- (R+L)/(R-L)

           yn = 2/(T-B)*yp-(T+B)/(T-B) 

           zn = zc/wc 

           zc 和 ze 之间的关系不明确, 但是必须是线性关系  即 zc = A*ze + B*xe + C*ye + D*we


计算xn yn 和 xe ye 的关系: 将1/-ze 提出来, 作为wc 坐标缩放因子

           xn = (2/(R-L)*n*xe+(R+L)/(R-L)*ze ) / -ze

           yn = (2/(T-B)*n*ye+(T+B)/(T-B)*ze)/ -ze

           所以

               xc = 2/(R-L)*n*xe+(R+L)/(R-L)*ze 

              yc = 2/(T-B)*n*ye+(T+B)/(T-B)*ze

              wc = -ze

 初步的投影矩阵 xe ye we  xc yc wc 的关系是:                   

            2/(R-L)*n          0               (R+L)/(R-L)       0

            0                  2/(T-B)*n       (T+B)/(T-B)        0

            ?                          ?                       A                B

             0                        0                       -1                0

而ze 和 zc之间存在关系   zc 和 xe, ye 之间是独立的, 所以上面的投影矩阵的第3行前两列为0, 后两列 系数是 A B  

           zn = (Aze + Bwe)/wc = (Aze+B)/ -ze  视坐标的we = 1

           根据[-N, -F] ---> [-1, 1] 的正则关系

           -1 = (A*-N+B)/ N

            1 = (A*-F+B) /  F

           A*-N + B = -N

           A*-F + B = F

          determ = F-N

          A = -(N+F)/(F-N)

          B = -2NF/(F-N)   


          zn = Aze+B/-ze  =  -A + B/-ze = (N+F)/(F-N) - B/ze            zn的值最后将存储在深度缓存中, 取值范围[-1, 1]

         设 F-N = diff           zn = 2N/diff + 1 + 2NF/(diff*ze)

         其中 ze [-N, -F], ze 越靠近 -F 则zn 变化率越小 d(zn)/d(ze) = -2NF/(diff*ze*ze)


所以得到了整个透视投影矩阵:

         求解矩阵采用待定系数法, 已知 坐标轴之间的独立关系, 以及变换后 取值范围的关系, 求解系数。

          

          

 

   

 


                      


           

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