傅里叶变换中的负频率的物理意义

2015/04/27 12:00
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傅里叶变换中的负频率的物理意义


  现实的世界中,我们认为一般只有实信号(人为地将s1作为实部,s2作为虚部合成的信号不算,因为它不是物理信号)。而频率的概念是什么呢?信号一般可以表示成不同频率的信号的叠加的形式,而叠加的方式是这样的(1/2pi系数忽略了)
s(t) = ∫S(ω)e(jwt)dt
  我们这里面的单频率信号就是e(jwt),而世界上存在这个信号么?我觉得没有,e(jwt)和e(-jwt)都是不存在的,所以说所谓的正频率和负频率都对应着非物理意义下的信号,所以自然复频率(没写错,从与实际对应的角度讲,正的复信号频率也没物理上的对应)就不具有对应的物理意义。但是它有什么用呢?我们知道,上面这个积分实际可以换成cos(wt)和sin(wt),它们才是真正有意义的信号,但是它们是在同一个频率上! 
  假设我们不要sin(wt)了,会怎么样呢?某些信号肯定无法表达了,为什么呢?cos与sin虽然是同频率的信号,但是它们的脚步是不一致的!实际上 sin(wt) = cos(wt - pi/2),也就是它们一前一后嘛,用什么来表示这个脚步呢?答案是相位!同一频率下我们需要两个信号(就足够了),任何其它相位的信号都可以表示成它们的线性叠加。所以,当我们提到某一物理频率处的信号时,我们指的是“一族”具有不同步伐进度的信号,它们可以由其中的两个来表示。 
  再来看看e(jwt)和e(-jwt)是什么东西? 
sin(wt) = (e(jwt) - e(-jwt))2j 
cos(wt) = (e(jwt) + e(jwt))2
  不就是个线性变换嘛!换了一组基而已。所以e(jwt)和e(-jwt)实际上可以认为是一个频率,它们本质上的联系(体现在物理意义上)是相位!它们联合起来反映了w频率的信号的相位信息。(当然,从复信号的角度讲,它们不是一个频率)。所以,我们从实信号(cos(wt),sin(wt))的角度去说 e(-jwt)的负频率没有物理意义,我认为不是特别恰当,只能说现实中没有负频率的信号,但是e(-jwt)的负频率是有物理意义的! 
 而 Hilbert变换是什么呢?就是90度的相移。而0,加上90度相移,就可以表示任何的相位信息了。之所以在窄带信号进行复包络表示的时候,选择了 Hilber变换来构造解析信号,并且0度在实部,90度在虚部,就是因为这样的表示可以完整保留相位信息。在QAM(Quadrature AM)、雷达的正交双通道处理中,复信号模型的采用都是为了利用相位信息。 
  复数在electrical engineering的意义就在于它在表示相位时的简洁、恰当、美。从ac电路到电容电感,包括后来的电磁场与电磁波理论,信号处理的理论,复数实际上就是为了相位而引入的。而相位又是通信和信号处理热衷的地方 
  最后强调,关心信号就关心频率,相位(当然也有方位、极化等),而正频率+负频率 = 频率+相位。 
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